Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 25
Текст из файла (страница 25)
На рис. 49 Изображен гра- фнк функции у=((х), непрерыв! ной на [а, Ь1. Точки х, н х4— зто точки локального мнннмума Г, а х„х,— точки локального Рис. вн максимума (, Конечно, можно сказать, что Ь есть точка локального одностороннего максимума (, а а †локально одностороннего минимума (. Но а не есть точка локального минимума, а Ь не есть точка локального максимума. Теорема 1 (Ферма' )). Если сЬункнил (' илаеет производную в точке с и достигает в втой нивке локального вкстрелтума, то (' (с) = О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем счн. рать, что ) имеет в точке с локальный максимум. По оптеделенню производной имеем р (с) 1(т ! (с+ лх) 1 (с) ах -ь а ах Так как у нас Г(с)>[(х) тухЕУ(с), то для достаточно малых Лх > 0 ах ~~о, откуда в пределе прн ах- 0 получим, что Г (с) ч:,О.
") П. Ферма (1601 †16) †французск математик, 3 Ь.1а теоремы о сРвднвм знАчений 15! Теорема 2 (Ролля')). Если функция у=у(х) непрерьени ни [а, 61, дифференцируема ни (а, 6) и 7(и) =) (6), то суи1естиует точка 9 Е (а, 6), такал, что у' (9) = О. Доказательство.
Если 7 постоянна на [а, 61, то для всех $Е(а, Ь) производная )'(9) =О. Будем теперь считать, что 7" непостоянна на [и, Ь1. Так как у непрерывна на [а, 61, то существует точка х, Е[и, 61, в которой 1' достигает максимума на [а, Ь1 (см. 9 3.5, теорема 2) и существует точка х,Е[и, 6), в которой у достигает минимума на [и, 61. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а, Ь1, потому что иначе гпах 1(х)= ш)п у(х) =7" (а) =1(Ь) хе[а, Ь1 ке1а, ь) и у была бы постоянной на [а, Ь!.
Следовательно, одна из точек х„х, принадлежит к интервалу (а, 6). Обозначим ее через $. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, у' ($) существует, потому что по условию 7' (х) существует для всех хЕ(а, Ь). Поэтому потеореме Ферма У'($) =О. Замечание 2. Теорема Ролля сохраняет силу также для интервала (а, 6), лишь бы выполнялось соотношение 1ппу(х)= !пи 7(х). к -к а х-~Ь х>а к<а Замечание 3. Теорема Ролля теряет силу, если хотя бы в одной точке (а, Ь) 1'(х) не существует, Пример: у=:!х~ на [ — 1, 1[. В теореме также нельзя заменить непрерывность на а, 6] на непрерывность на (а, 6) При- У мером является функция 1, х=О, х, О (х(1. 1 ! ! Точка х=Π— точка разрыва.
Замечание 4. Теорема Ролля имеет простой геометри- Рис. ЗО. ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике (рис. БО) функции у=у(х) существует точка (9, 7(9)), касательная в которой параллельна осн х. х) М. Ролль (1652 — 1719) — фраииузский математик, доказавший зту теорему дли мкогочлеиов. 152 гл, е диееврвицияльнов исчисланив Теорема 3 (Коши). Если функции у(х) и д(х) непрерывны на [а, Ь1 и дифференцируемы на (а, Ь), и й" (х) ~ 0 в (а, Ь), то суи(ествует точка а ~(а, Ь) такая, что ( (Ь) — ( (а ~У' (И) (4) в (ь) -в (а> в'(Ь) ' Доказательство.
Отметим„что д(Ь) — д(а)ФО, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка $ такая, что д'($) =О, него быть не может по условию теоремы, Составим вспомогательную функцию г'(х) =.7(х) — ((а) — ( ) (а) [д(х) — у(а)), В силу условия теоремы зта функция г" непрерывна на [а, Ь), дифференцируема на (а, Ь) и Е(а)=0, г (Ь) =О.
Применяя теорему Ролла, получим, что существует точка 5Е(а, Ь), в которой г'($)=0. Но г"'(х) ~'(х) — ~() ~() у'(х), е (ь) — в (в) поэтому, подставляя вместо х точку $, получаем утверждение теоремы. Замечание 5. В формуле (4) Коши, как нетрудно видеть, не обязательно считать а < Ь. Но тогда [а, Ь| и (а, Ь) обозначают соответственно множества точек х, для которых Ь < х < а, Ь < х < а.
Как следствие из теоремы Коши, при д(х)=х получим теорему Лагранжа. Теорема 4 (о среднем Лагранжа' )). Пусть функция Г'(х) непрерывна на отрезке [а, Ь1 и имеет пройзводную на интервале (а, Ь). Тогда существует на интервале (а, Ь) точка с, для которой выполняется равенство ((Ь) — 1" (а) =(Ь вЂ” а)('(с) (а <с < Ь). (5) Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде ٠— (() ~ () ( <() Левая часть етого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (а, 1(а)) и (Ь, ((Ь)) ') ж.
А, Лаграиж (17аа — 1813) — французский математик. В ь!а. Твоьвмы о сгаднам эньчанин 153 графика функции у ~(х), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой сЕ (а, Ь). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис. 51) есть график непрерывной на [а, Ь"1 функции, имеющей производную на (а, Ь), то на этой кри- ' вой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < Ь) такая, что касательная к кривой в этой точке параллелы1а хорде, стягивающей концы ргс в1. кривой (а, 7'(а)) и (Ь, 7'(Ь)). Равенство (5) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+9 (Ь вЂ” а), где 9 есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам О < 9 < 1.
Тогда формула Лагранжа примет вид ~ (Ь) — 1(а) (Ь вЂ” а) ~' (а+ 9 (Ь вЂ” а)) (О < 9 < 1). (5) Она верна, очевидно, не только для а < Ь, но и для а~~Ь. Теорема 5. Функция, непрерывная на отрезке [а, Ь1, где а < Ь, и имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервале (а, Ь), не убывает (строго возрастает) на [а, Ь1, Действительно, пусть а < х, < х, < Ь; тогда на отрезке [х„х.,| выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале (х„х,) точка с, для которой 7'(х,) — 1(х,) = (х,— х,) г' (с) (х, < с < х,). Если по условию 7':ьО на (а, Ь), то 1" (с))~О и 7' (х,) — г" (х,) ) О; (7) если же г' ) О на (а, Ь), то К'(с) > О и г (х„) — ~ (х;) > О.
(8) Так как неравенства (7) и (8) имеют место, каковы бы ни были х,, х„где а<ха < х,<Ь, то в первом случае Г не убывает, а во втором 1 строго возрастает на отрезке [, Ь1. !54 гл. л. циоовевнциьльнов исчислении Пример 1. Возвратимся к примеру 1 й 4.7, где надо было оценить величину 1=ь''8,001 — т~'8. Применим формулу Лагранжа к функции ф(х) ° хыь.
Имеем Х ф(8,001) — ф(8)=0,001 ф'(с) 0,001 — х-мь(„, 1 1 1 зооо зев !!азово = — с-м' < — 8-ыь = —. В примере 1 й 4.7 мы получили такой же результат, но сейчас он получил полное обоснование. Пример 2. Функция у=з)1х=-й.(е' — е ") имеет непрерывную производную (з)1х)'=-к (е*+е ") =с)1х > О Ухб( — оо, оо), и обладает свойствами Ит з)1 х = — оо, !1т вГ! х = + оо. К ~ аю .с-++ е Следовательно, она строго возрастает и непрерывно диф- ференцируема на ( — оо, оо) и отображает интервал ( — оо, оо) на ( — оо, оо), Поэтому она имеет обратную одно- значную непрерывно дифференцнруемую функцию, обоз- НаиаЕМуЮ таК: Х=АГЗ)1У, У~( — оо, оо).
Теорема 6. Если функция имеет на интервале(а, Ь) производную, равную нулю, то она постоянна на (а, Ь). В самом деле, иа основании теоремы Лагранжа имеет место равенство И )-Их,) -( —.М'(), где х,— фиксированная точка интервала (а, Ь), х — про- извольная его точка (она может находиться справа и слева от х,) н с — некоторая, зависящая от х, и х точка, находящаяся между хг и х. Так как по условию11(х) = 0 на а, ь), то г" (с)=0 и )'(х)=7(х,)=сдля всех хц(а, ь). аметим, что в приведенных теоремах ослабление на- лагаемых в них условий может привести к неверности утверждений (см.
замечания 1, 2 к теореме Ролла). О и р е д е л е н и е. Будем говорить, что сзункция у=7 (х) возрастает (убывает) в тачке х„если сусцествует число 8>0 такое, что ав >О( — <О) при О<~Ах~<8. з ллв теоремы о средним зим!внии )йв Очевидно, что если функция «(х) возрастает (убываег) на (а, Ь), то оиа возрастает (убывает) в каждой точке хб(а, Ь). Теорема 7. Если «" (х„) > 0 (<О), то функция у=«(х) возрастает (убо!вает) в тачке х,, Доказательство.
Так как «'(х)= Ищ — Р, то, а~ахФФ задав е>0, можно найти такое б>0, что «'(х,) — е< < ~" <«'(х)+н при (бх! <б. Пусть «'(х) > О, Нзяв и<«'(х,), получаем, что — >О при (Лх(<б, т. е. ар функция «возрастает в точке х,. Замечание 6. Если функция «имеет производную и ие убывает иа (а, Ь), то «'(х) >О на этом интервале, При сказанных условиях невозможно, чтобы в какой-либо точке хЕ(а, Ь) производная от «была отрицательной— зто бы противоречило теореме 7.
Если «имеет производну1о и строго возрастает на (а, Ь) и если у нас других сведений об «нет, то все равно придется заключить, что «'(х) =-0 на (а, Ь)„потому что строго возрастающая функции в отдельных точках (а, Ь) может иметь производную, равную нулю, Такой, например, яв. ляется функция х", строго возрастающая на ( — оо, оо) и имеющая при х=О производную, равную нулю. Замечание 7, Если функция возрастает в точке х, то она не обязательно воарастает в некоторой окрестности точки хе. Примером может служить функция х о, Р(х) = х О, 1 -лк — ха а1п к' Очевидно, что х 1 — -х' в!и— Р' 10) = !1а 2 х ! в х 2 и Р (х) возрастает в точке х=б. Однако ата функция не монотонна, 1 1 1 так как пронаводная Р'(х)= — 2ха)п — +сов — в любой малой 2 к х окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения (см.
теорему 5). Для ха=!рис (а=1, 2, ...) прн Ф четном она равна 372, а при й нечетном она равна — 172. Теорема 8. Если функция «(х) четная (нечетная) и дифференцируема на ( — а, а|, то «'(х) нечетная (четная) функция. !56 гл. ь диеевэвнциальнов исчисланнв доказательство. Тан нан 1(х) г( — х) Ух6 Е1 — а, а), то производные левой и правой части также совпадают. )" (х)мэ — 1'( — х), т. е. у'(х) — нечетная функция. (Згот же факт можно доказать, исходя из определения производной.) й 4.13. Раскрытие неопределенностей Будем говорить, что отношение — представляетсобой 1 (х) д (к) неопределенность вида $ при х- а, если Иш Г(х) к к Иш й(х) О. Раскрыть эту неопределенность — это зна- ' чит найти Иш -х —, если он существует. , а (к) ' Теорема 1.
Пусть 1(х) и у(х) определены и дифференцируемы в окрестности точки х = а, за искллочением, быть л1осхет, самой точки а, 1пп Г(х) Иш а(х) =О, к а к-~ а ь(х) и у (х)ч60 в втой окрестности. Тоеда, если существует 1пп —, то существует Иш — и имеет р (х) 1 (х) . а' (к) ' к е(х) л1есто равенство 1пп — = Иш— 1(х) р (к) „„. а(4 „„, а'(х) ' (1) Доказательство. Будем считать, что а — конечное число. (В случае а=со см. ниже замечание 3.) Доопределим функции 1 и д в точке х а, полагая 1(а) = = д(а).=0. Тогда.эти функции будут непрерывны в точке а.
Рассмотрим отрезок (а, х), где х> а илн х < а (см. замечание 5 й 4.12). На !а, х) функции 1 и д непрерывны, а на (а, х) дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка $ такая, что е (х) -д (а) д' ($) — ($~(а, х)) или 1(х †1 (а) Р ($) 1 (х) Р (й) а(к) = е'6) ' Когда х- а, то и $ — а, поэтому в силу условия теоремы имеем 1(х) Р (э) . 1' (х) у (к) к „я' ($) к Е' (к) (2) при условии, что предел в правой части равенства существует Этим теорема доказана. э алз. Рлскиытиа наопивдяланноствв !вт Замечание 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
