Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

$ 3.8, д)). Пр имер 4. !и (! +*) 1 Ип! !Од» (! +х) 1ол е «з.«в поеядок пвгеменнои. эквивалентность 1«д и 3.10. Порядок переменной. Эквивалентность Будем рассматривать две функции ~р(х) и ф(х), заданные в некоторой окрестности У (а) точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Точка а может быть конечная или бесконечная ( + оэ, — ьо, нлн со). Будем считать еще, что ф (х) ~ О на («(а). Если 'Ф (х) (1) то будем зтот факт записывать так« ~р(х) =о(ф(х)), х- а, (1') есть о«малое от ф(х) при х а.

и говорить, что <р(х) Например: х'=о(х), х" = о (х'"), х" = 0 (х" ), (х — а)' = о ((х — а)'"), ! — соз х = о (х), х- О; х- О, если т<п; если т ) гг; х — сю, х- а; потому что Игп ~ = О. К~О к х О, Выражение о(!), х а, обозначает ',бесконечно малую при х а, т, е, некоторую функцию р(х), которая стремится к нулю при х- а (<р(х)- О, х- а). Например, ~р(х)= — =о(1), х +оо. 1 Свойство (1), очевидно, выражает тот факт, что функцию ~р(х) можно записать в виде ~р(х)=*е(х)ф(х), где е(х)- О при х- а. Если функции ~р и ф, участвующие в соотношении (1) (илн, что все равно, в (Г)), суть бесконечно малые при х- а, то говорят еще, употребляя более старинную термянологию, что ~р(х) при х — а есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к (бескояечно малой) ф(х).

Если же ~р и ф в (1) бесконечно большие при х а, то говорят, что гр(х) при х- а есть бесконечно большая более низкого порядка, чем ф(х), или еще что ф(х) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем «р(х). Будем еще писать гр (х) яз ф(х), х- а (2) ГЛ. З ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ (зо н называть функции ~р (х) и ф (х) эквивалентными (асиматотически равными) при х а, если выполняется свойство хэ (х) (2') Например, з!Пхж х, х- О, (б) Отметим, что если 1ппр(х)=А =~О, то это эквивалентно факту Вш — =1, 1 (х) , л что мы условились обозначать также так. 1(х) ж А, х- а (А эьО). Терминология, которую мы здесь ввели, нужна для того чтобы упрощать вычисления и сокращать записи формул.

Важно при этом усвоить несколько простых свойств асимптотически равных (эквивалентных) функций, которые выражены в теоремах ниже. Теорема 1. Если <р(х)жф(х), х- а, (й) (РО) ф (х) — <р (х), х — а. Доказательство. Дело в том, что если ф(х)чьО на У(а) и выполняется (9), то, очевидно, и гр(х)ФО, быть может, на несколько уменьшенной окреспюстн. Но тогда 1пп — = 1пп — = — = 1, 'р рб Ф(х) х,хе (х) 1 т' (х) пли еще (см. примеры 1, 4, 5 2 1 — соз х хх/2, 1п(1+ х) х, ех — 1- х, а" — 1ж х!па, з.й) х — О, х- О, х — О, х- О. (4) (5) (б) (7) е з.~ь. погядок пвэвмвнноп. эквивчлвнтность )э) Т е о р е м а 2. Для выполнения свойства (9) необходи.чо и достаточно, чтобы «р (х) =- «р (х) + о («р (х)), х а.

(11) Равенство (11) надб читать следующим образом: сла- гаемое, которое добавляется к ~1(х), чтобы получить ~р(х), обладает следующим свойством: если разделить его на «р(х), то полученное частное будет стремиться к нулю, если устремить х к а, Доказательство. Пусть имеет место (9).

Тогда ч (х) ф (х) — =1+в(х), где е(х) О при х- а. Следовательно, гр(х)=«р(х)+в(х)«р(х)=ф(х)+о(«р(х)), х — а, и мы доказали (11), Обратно, если верно (11), то «р(х) =-ф(х)+о(ф(х))=«р(х)+е(х)«р(х), где е(х) О прн х а. Поэтому «е («) «е (х) — =1+в(х) — 1, и мы получили (9), Т е о р е м а 3. Если ф(х) ж«р,(х), х- а, !ип (~р (х)«р(х)1 = !(а (гв (х)«р, (х)1, шп — = йт —. и («) . '«г («) «>а«ь (х) «„«««1«( ) (12) (1З) Эти равенства надо пони«вать в том смысле', чпю если сущесгп ует в них предел справа, то существует предел и слева, и они равны, и обратно.

Отсюда следует, что если какой-либо из этих пределов не существует, то 'не существует и второй. Доказательство. Приведем только одно из этих рассуждений. Пусть существует предел справа в (!2). гл, з. оункция. пгвдил охнкции Тогда Вт(ф(х)ф(х)1=.1!т ~ф(х)ф,(х)+Д = = !пп (ф (х) ф, (х)1 1пп ! (' = 1пп !" ф (х) фр (х)1 1 = Х-~Х 1 1Р (Х) =-!пп !ф(х)ф,(хИ. Пример 1. 1нхжх, х- О, потому что 1йп — =-!11п ! — ° — ) =1. 1я х ° те10 х ! Х, „Х СОХ Х Пример 2. 1Н' х 0 "+Х 0 ХХ+Х 0 Х'+! то говорят, что функция А (х — а) 'есть 'главный степенной член функции ф(х) в окрестности пючки а. Правые части соотношений (3) — (7) суть, очевидно, главные степенные члены левых частей при х- О.

Будем говорить, что ! на множестве Е имеет порядок ф или еще 7" есть 0-болыиое от ф на Е и при этом будем Писать р(х) = О (ф (х)) на Е, )~(х)1~С(ф(х)! Чх~Е, (14) если где С вЂ” не зависящая от х положительная константа. В частности, равенство 1(х) =0 (1) на Е обозначает тот факт, что 7 ограничена на Е. Пр и мер ьп 1) з1п х = 0 (1), з1пх= 0 (х) на ( — оо, оо); 2) х=О(х') на 11, оо); 3) х'=0(х) на 10, 11. Определение. Если для функции ф(х) можно лодобрагпь числа А и т, где А=~О, такие, чою ф(х) ж А(х — а)", х- а, гллвл е дифферинцилльное исчисление функциИ одной пн еменной $ 4.1. Производная Понятие производной †важнейш понятие математического анализа наряду с понятием интеграла.

Производной от функции ~ в точке х называется предел отношения ее прираи1ения Лу в втой точке к соответствуюи1еид прираи1ению аргумента Лх, когда последнее стремится к нулю. Производную принято обозначать так-. Г( ) И лу 1! Р(х+лх) — РРО л ОЛх Л О Но широко употребляются и другие обозначения: у', в( (х) ву — — Удобство того или иного из них читатель впоследствии оценит сам, При фиксированном х величина — есть функция Лу лх от ох1 ф(бх) = —," (Лх~О). Для существования производной от ~ в точке х необ. ходимо, чтобы функция ~ была определена в некоторой окрестности точки х, в том числе всамой точке х. Тогда функция ф(бх) определена для достаточно малых не равных нулю Ьх, т. е.

для ах, 'удовлетворяющих неравенствам О < ~бх~ <6, где 6 достаточно мало. Конечно, не для всякой функции ~, определенной в окрестности точки х, существует предел (1). Обычно, когда говорят, что функция Г имеет в точке х производную Т'-(х), подразумевают, что она конечна, т. е. предел щв гл.4. диооррзицихльное исчислвние ( 1) конечный. Однако может случиться, что существует бесконечный предел (1)„равный + оо, — оо, или оо. В этих случаях полезно говорить, что функция 1 имеет в точке х бесконечную производную (равную +оо, — оо, или оо), Если в формуле (!) предполагаетчя, что Лх — О, принимая только положительные значения (Лх> 0), то соответствующий предел (если он существует) называется правой производной огп г в точке х, Его можно обозначить так: )„'р(х).

Аналогично предел (1), когда Лх — 'О, пробегая отрицательные значения (Лх < 0), называется левой производной от г' в х (/л (х)). л Конечно, для вычисления )'„'р (х) (соответственно 1; (х)) не. !з! Рис. 35 Если х> О, то х+Лх> 0 для достаточно малых Лх и лв х+лх — х лх 1 (х > 0) лх лх лх обходимо только, чтобы функция ~ была задана в точке х и справа от нее в некоторой ее окрестности (соответственно в х и слева от х). Типичным является случай, когда 1 задана на отрезке [а, Ь1 и имеет во всех внутренних точках этого отрезка, т. е. в точках интервала (а, Ь), производную, в точке же а имеет правую производную, а в точке Ь вЂ” левую. В таких случаях говорят, что функция Г' имеет производную на огпреэке (а, Ь], не оговаривая, что на самом деле в точке а она имеет только правую производную, а в точке Ь— только левую.

Нетрудно видеть, что если функция 1 имеет правую и левую производные в точке,х н они равны, то 1 имеет производную в рл 1;р (х) = 1;, (х) = г' (х). Но если правая и левая производные в х существуют и не равны между собой Ч'„р(х)~~;(х)), то производная в х не суи1есгпвует, Пример. Рассмотрим функцию и =1х~ (рис, 35). Для нее лу ~ х+лх ~ — ~ х ( лх лх $4.ь пгоизводнля 125 Если х < О, то х+Лх < 0 для достаточно малых Ьх и Лу — (х+ Лх) — 1 — х) Лх о. Ле Лх — — (х< ).

Ле Таким образом, лв ( 1, если х>0, 1х )' 11п1 — ~ = влх 1 — 1, если х<0. Пусть теперь х=О. Тогда 1, если Лх>0, — = — = з(йп Ьх — = з)яп Лх = Лх лх ' лх 1 — 1, если Лх<0. Поэтому 1пп — "=1, 1пп — "= — 1. лв . ло ве опх е вЛ" Ье>О ах< в Таким образом, функция )х~ имеет в точке х=О правую производную, равную 1, и левую — равную — 1, что показывает, что в точке х=О функция )х~ производной ие имеет.

Мы знаем (см. 2 3.3, пример 8), что )х~ есть непрерывная функция для всех значений х, в том числе и в точке х= О, поэтому она может служить примером непрерывной всюду функции, не имеющей в некоторой точке производной. В математике известны примеры функций, непрерывных на всей действительной оси и не имеющих в любой точке оси производной. С другой стороны, всякая функция, илеюи(ая производную (конечную)) в точке х, непрерывна в этой точке.

В самом деле, пусть предел (1) существует в точке х и конечен. Этот факт можно записать следующим образом~ Ц=Г (х)+в(Ьх), (2) где е(Лх) 0 при Лх — О, т. е. е(Ьх) есть бесконечно малая при Лх О. Из (2) следует: Ьу=)'(х) Ьх+Лх е(Лх). Переходя в этом равенстве к пределу, когда Лх- О, получим 1ип Лу=О, ЛА-~о что показывает, что Г непрерывна в точке х.

125 ГЛ. Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Отметим некоторые важные приложения производной. Мгновенная скорость. Пусть функция з=)(г) выражает закон движения точки на прямой, которая рассматривается как координатная ось з, Здесь з — координата движущейся точки в момент времени 1. Путь, пройденный точкой за проме. жуток времени (1, 1+Л(), равен Л з = ~ (1+ Л() — )' (1) . Средняя ее скорость в этом промежутке времени равна Лг ОСР,У ' Рес.

36. Истинную же (мгновенную) скорость в момент времени 1 естественно определить как предел о= 1пп — =~'(1). м- ЕЛ~ Сила тока, Пусть Я=~(Г) есть количество электричества, проходящее через сечение провода за время Л Тбгда ло 1(Ф+ле) — ) (1) лг м есть средняя сила тока за промежуток времени [Г, 1+Ы1, Л предел 1пп — = Я' =1 ю-о Л~ есть сила тока в момент времени 1.

Характеристики

Список файлов книги