Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 17
Текст из файла (страница 17)
)" (Ь вЂ” 0) = М < )". (Ь). «а х<а Аналогично, рассматривая неравенство 1(а) =~(х) для хЕ(а, Ь1, докажем существование )(а+0)= 1п( )(х)~~~(а). «е ыыя Следствие, Если фунн цил ( не убываеп( на отрезке [а, Ь), то в любой точке хВ [а, Ь) сущее(пвуетп правый ' предел )'(х+О) =н("(х) а в любой точке ХЕ(а, Ь1 сущест- вует левый предел ) (х — 0) <~(х), В самом деле, для точек х=а, Ь это утверждение до- казана в теореме 1.
Пусть хр (а, Ь). На отрезках [а, Х1 и [х, Ь1 функция у не убывает, поэтому по теореме 1 суще- ствуют пределы ((х:0), ~(х+О) и ) (х — 0) <) (х) < =)". (я+0). В данном случае, очевидно, что для того чтобы функ- ция г была непрерывной в точке х, необходимо и доста- точно, чтобы г'(х — 0)=г" (х+О). Если 1(х — 0) < Г(х+0), то функция )". имеет в точке х разрыв первого рода. Т е о р ем а 2. Мнозхесн(ро точек разрыва бзункнии А нрубыро- юина на отрезке (о, б), не более чел счешно.
До к аз а тел ь от в о. Пусть функция (" имеет больше чем одну точну разрыва, и пусть х' и х" (х' < х") — две какие-либо из них. Так как ) (х'+0) = !п( 7 (х), 7 (х — О) = авр ((х), «е («и «и «а(«ь«О то ( (х' +0) «С( (х" — 0) н интервалы (((х' — О), ((х'+0)), (К(х" — О), 1(х"+О)) оси у не пе- ресекаются, гл..ла в мак[»ия:.пмнявл. еачикции- Каждой-.
точке, х[ раврывв; функмнн.*р соотвезствует интервал (1 (х' — 01, 1(х'+01): Внутрн.его выберем:одну- раннональную течку, а„.. После сказанного ясно, что разным точкам разрыва х' соответствуют разные точки и».. Не множество.всех раннональных чисел счетно Позтому множество всех точек их, так же как н множество всех точек х' (раарыва.
1), не более чем счехно. Теорема доказана. й 3.5. Функции, непрерывные иа отрезке Функция 1 называется непрерывной на отрезке [а, Ь~, если она непрерывна во всех точках интервала (а, Ь), непрерывна справа в толке а и непрерывна слева в точке Ь. Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замечательных свойств, к- изложению которых мы сейчас приступим. Сначала мы сформулируем теоремы, выражающие эти свойства, и разъясним их на: графинах и примерах, а затем докажем их формально.
Теорема 1, Если 4ункиия [, непрерывна на отрезке [а, Ь1, пю она ограничена' на нем, т. е. существует константа К ) 0 такая, что выполняется неравенство [у (к)) ~К чйх б [а„Ь1; м На: рис. 25 изображен график уу' а л Г непрерывной функции у,'на отрезке [а, Ь1; Очевидно, существует число К'> О'такое, что Г'находится ниже прямой у.=К, но Рнс, 25, выше прямой у= — К; Б этом и заключается теорема 1.
Заметим; что если функция непрерывна. на интервале (а, Ь) нлн на полуинтервале [а,,Ь) или (а,,Ь|, то она не обязательно ограничена на нем. Например, функция 1/х непрерывна на полуинтервале (О, 11, но не ограничена на нем, Если эту функцию:доопределить, положив г(О)'=О, то оиа брдет конечной' в любой тачке атрезка [0,.11, однако, не ограниченной" на' нем. Т ее р е м а 2 (В е й е р ш т р а с.с а). Если функция 1 непрерывна на [а, Ь|, пю существует ее л[инимум и макси. мум на [а, Ь1, т.
е. существуют точки сс, рЕ[а, Ь1 такие, что [(а) и ')(х) ~~7(й) для всех кЯа, Ь1. Иначе говоря, ппп Цх)=4(а)„я[ах,[(х) =/'(Р). хе[а,м хаба »1 з 3 а Аьункции,,напваяывиыв на,отгвзкв ов Непрерывная функция у=( (х),,изображенная на рис,.25, достигает своего минимума на 1а, Ь) в точке х= а и максимума в точке х й. 'В данном случае обе точки сс и 11 принадлежат к интервалу (а, Ь) (а, 1) Е(а, Ь)).
Непрерывная функция у=1(х), изображейная на рис. 2б, достигает минимума.иа отрезке,'1а, Ь1:на.левом;его конце и максимума — в некоторой внутренней точке б итого отрезка. Замечание 1, По теореме 1,иецрерывная па отрезке (а, Ь1.функция ограничена на нем. Следовательно, существуют конечные точные нижняя и всрхнял грзии Г иа .атом отрезке~ 1п1 г'(х) ~ зпр г(х), кс~а, Ь1 мс~а, ь1 Теорема 2 утверждает, ято зги,грани на (п, Ь) дости,гаютсн,.т, е.
здесь 1п1 и зпр можно заменить соответственно на ппп и щах (мннимум и максимум). Зам;ечание 2. Функция у=х иепрерывиа на интервале (О, 1) и ограничена на нем; верхняя,ее грань зпр к=1 не достигается, т, е..нет такого х, Е,(О, 1), .сс <о, П для которого эта функция равна 1. 'Таким образом, в теореме 2 условие непрерывности ) иа замкнутом (содержащем в себе оба его конца а и Ь) ощрезке существенно. 'Очевидно, что зпр аготц х=и12.
'Однако иет такото и ,т~ о иа луче х"ьО, для которого функция агс1их принимает значение и)2, и она не достигает максимумн иа х~О. Рис. 26. Рас, 27. В данном случае условия теоремы ие выполняются: область задания непрерывной функции агс1их неограничепа. Если функция 1"..разрывна на 1а, Ь1, то оиа не обяза- тельно достигает своей точной верхней грани. Примером 96 гл. 3.
Фхг!кция. Пгвдвл Функции может служить функция ) х, 0(х<1!2, [ О, 1!2 «х ~~! . Теорема 3. Если функция ) непрерывна на отрезке [а, Ь1 и числа ~(а) и )(Ь) не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале (а, Ь) имеется по крайней мере одна точка с лгакая, что Цс) = О. Функция, график Г которой изображен на рис, 27, удовлетворяет условиям теоремы 3, Она непрерывна на [а, Ь1 и ~(а) <О, ~(Ь) >О. Из геометрических соображений очевидно, что график Г должен пересечь ось х по краяней мере в одной точке с~(а, Ь).
Это и утверждает теорема 3. Следствие 1, Если функция ) непрерывна на [а, Ь|, !'(а)=А гг(Ь)=В (АМ В) и С вЂ” произвольное число, находягцееся мезкду числами А и В, то на интервале (а, Ь) найдется по крайней мере одна точка с, для кото. рой ((с)=С. Эго следствие можно сформулировать итак: непрерывная на отрезке [а, Ь) функция ггринимает все промежуточные значения между ее значениялси на концах отрезка [а, Ь|.
Д о к а з а т ел ь с т в о. Определим новую функцию Р (х) = =[(х) — С, где С вЂ” константа — число, находящееся между А и В. Так как ) — непрерывная на [а, Ь1 функция, то и Р†непрерывн на [и, Ь] функция. При этом, очевидно, Р принимает на концах отрезка [а, Ь) значения разных знаков. Тогда по теореме 3 должна найтись на (а, Ь) такая точка с, что Р(с) =О нли )(с) — С=О, т. е. ((с) =С. Это и требовалось доказать. Следствие 2.
Непрерывн я на отрезке [а, Ь1 функция принимает все промежуточные значения между ее наименыиим и наибольшим значениями (которые существуют по теореме 2). Для доказательства достаточно применить следствие 1 к [гх, Я, где а, р — точки, в которых функция ((х) достигает своих наименьших и наибольших значений. Пример 1. Уравнение х — созх=О имеет корень на интервале (О, и). В самом деле, функция 1(х) = х †сов непрерывна на отрезке [О, п1 и иа концах его принимает значения разных знаков: ((О)= — 1, ((п)=я+1.
р за. еункции, нвпрврывныв нл отрезке 07 Ниже мы доказываем теоремы 1 — 3 формально. Доказательство теоремы 1. Допустим, что 7' не ограничена на [а, Ь1. Тогда для каждого натурального числа а найдется точка х„Е[а, Ь) такая, что ~7(х„)! > а (а=1, 2,,), (1) Последовательность (х„) ограничена (а и Ь вЂ” конечные числа!) и из нее можно выделить последовательность (х„„), сходящуюся к некоторому числу ср ~ [а, Ь) (см.' следствие из теоремы 4 3 2.1), Но в точке а функция 7 непрерывна (если и=-а(и=Ь), то в этой точке 7' непрерывна справа (слева)), и потому 1ип ~(х,,)=7(и). (2) 4-~ а Свойство (2) противоречит свойству (1).
Поэтому( может быть только ограниченной на [а, Ь). Доказательство теоремь1 2. По предыдущей теореме непрерывная на [а, Ь) функция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некоторым числом К: 7'(х)~К (хЕ[а, Ь)). Но тогда существует точная верхняя грань 1" на [а, Ь(: зцр 1 (х) М. (3) х61а, р] Число М обладает следующим свойством: для любого натурального числа п найдется на [а, Ь1 точка х„ такая, что М вЂ” -„(~(х„)~М (л 1, 2, ...).
Последовательность (х„), как принадлежащая к [а, Ь], ограничена, и потому из нее можно выделить подпоследовательность (х „), сходящуюся к некоторому числу которое заведомо принадлежит [а, Ь). Но функция 1 непрерывна в точке р, и потому 1ип ~(х„„) =~(13). С другой стороны, М вЂ” < 1'(х„) ч М (1=1, 2, ...) 1 ль !ип 7" (х„)=М. у Но так как 7(х„,) может стремиться только к одному пределу, то М=((р). Верхняя грань (3), таким образом, 4 я. с.
вугроо, с, и. 11икальаки» ГЛ. д. ФУНКЦИЯ. ПРБДБЛ ФУНКЦИИ достигается в точке р, т. е., как говорят, функция )' достигает в точке () свсегс максимума на отрезке (а, Ь1. Мы доказали, что существует точка р Е [а, Ь1, для которой шах ['(х)=[(р). хд[Ф Ы Доказательство другой части теоремы о минимуме аналогично, но его можно свести к доказательству первой части теоремы, учитывая, что пи'и ((х)= — шах ( — Г(х)). кд[а, Ы хд [Ф д[ Доказ ательство теоремы 3.
Обозначим отрезок (а, Ь1 через од. Разделим а, на две равнь[е части. Если в середине о, функция равна нулю, то теорема доказана; если этого нет, то одна из половинок ам такова, что иа концах ее наша функция принимает значения разных знаков. Обозначим именно эту половинку через а, и разделим ее на две равные части, Ь(ожет случиться, что в середине о, наша функция равна нулю, н тогда теорема доказайа. Если нет, то обозначим через о, ту из половинок, иа концах которой ( принимает значения разных знаков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
