Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 16
Текст из файла (страница 16)
16. екель нипвнаивность ж'пинии (4) Дадим определение непрерывности функции Г в точке, Функция Г(х) называется непрерывной в точке х„если она определена в некоторой окрестности втой точки, в том числе в самой точке х„и если ее приращение в втой точке, соответствующее прираи(ению аргуиента Лх, стре. матея к нулю при. Лх — 0: !пп, Лу = 1!т:.11,(хе+ Лх).— (:(х,)) =О. (3) ьл.+в ль е Если положить х.=.х,+-Лх, то получим следующее эквивалентное определение непрерывности Г в х,: функция Г непрерывна в точке х„если. она определена в некоторой окрестности гогой. точки, в том числе в самой тоще х„, и.если нй !!т ~(х) =Р(;); 35 или еще на языке'е,.б: если для всякого ! е > 0 найдется 6 > 0 такое, что ! 45 У (х) — ) (х,н < е Ух1 ( х — х, ! < 6.
Равенство (4) можно еще записать следующим образом: -го у в 1пп~(х)=~~!!т.х~ (4') пя, Х-~Мр яхтах л Оно показывает! что- ~юуэ знаком непрерывной функции можно переходить к пределу. Пример 1. Постоянная у=С есть функция, непрерывная в люббй точке. х. В: самом деле; точке х соответствуег значение функции у=-С, точке х-1-Лх соответст вуетто же значение у(х+Лх) =С. Поэтому Лу=-у(х+Лх)— — У(х)=С вЂ” 'С=О и!пи Лу = 1!п1 О = 0 лл- а ьл в . Пример 2. Функция у=х непрерывна для любого значения х, потому что. Лу=-Лх и, следовательно, Лу- 0 при Лх 0: Пример 3, Функция у.=з!пх непрерывна, для..
любого х. В.. самом деле,. )Лу~=)з!п(х+Лх) — з1пх!=~2з)п — сов(х+ — ) (е" Ах Г ах~ к. 2.! з)п(Лх/2)!. (б) 88 ГЛ. 3. ФУНКЦИЯ, ПРВДВЛ ФУНКЦИИ Но для любого и имеет место неравенство 1в!п и1 <1я !. (6) (Лу!(! Ьх!, Но тогда, очевидно, Гас. !7. !Ип Ау=О. кк О Можно еще сказать, что для всякого е > 0 можно найти 6 > О, именно 6 = и такое, что !Лу!(е чбх: !Лх! <б=е. Отметим важную теорему. Теорема 1. Если Функции 1" и р непрерывны в точке х=а, то непрерывны также в этой точке их сумма, разность, произведение и частное (при ср(а) ~0). Эта теорема непосредственно вьпекает из теоремы 6 6 3.2, если учесть, что в данном случае г (а) = Иш 7 (х), ср (а) = 11ш ~р (х). к-аа Справедлива также важная теорема о непрерывности функции от функции (сложной функции).
Теорема 2. Пусть задана Функция г(и), непрерывная в точке и= А, и еи!е другая Функция и=ср(х), непрерывная в точке х=а, и пусть ср(а)=А. Тоеда слоэхная Функция р(х) = р(х)1 непрерывна в точке х= а. Локазательство. Заметим, что по определению непрерывности функции 7 в точке А следует, что она опре- Если 0 < и < и/2, то это следует нз рис.
17, где изображена окружность радиуса 1 (дуга длины 2и больше стягиваемой ею корды, имеющей длину 2 81пи). При и=О неравенство (6) обращается в равенство, Если же 0( <)я)<п72, то !в!Ия!=в!п~и~ =!я), Наконец, если !и! > и!2, то !в!пи!(! < и/2( !я'р Нз (6) на основании (6) следует ! Лу ( ~ «2 ~ ~!и л ~(22— = !Ьх), л т, е. з а.з 89 делена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому !пп Р (х) = 1пп ) (кр (х)1 =- Пю / [и) = !' (А) = ! 1кр (а)1 = Р (и).
к-»а к-ка а л Здесь введена подстановка и=кр(х) и учтена непрерывность ~р в точке х=а: ко(х) —.~э(и) =А. к-ка Пример 4. Функция Р(х)=а,ха+а,х" '+ . +и где а„— постоянные коэффициенты, называется многочле- нож степени л. Она непрерывна для любого х. Ведь чтобы получить Р(х), надо, исходя из постоянных чисел и„... ,, а„и функции х, произвести конечное число арифме- тических действий — сложения, вычитания и умножения.
Но постоянная есть непрерывная функция (см. пример 1), а функция и=х тоже непрерывна (см. пример 2), поэтому непрерывность Р(х) следует из теоремы 1. Пр имер 5. Функция у=-сов х непрерывна, Она яв- ляется композицией двух непрерывных функций: р =- =з1пи, и= — — х, 2 Пример 6. Функция д=1цх= — '(ХФ вЂ” '+йп, й.=О, -а.-1, ~-2, ...), Б!Пк / и соа х непрерывна для указанных х, потому что (см. теорему!) она равна частному от делении непрерывных функций и при этом делитель ие равен нулю (при указанных х). П р и мер 7. Функция ф=з)п х непрерь1вна для любого х, потому что она является композицией непрерывных функций: д = иа, и = з1п э, о =х' (см.
теорему 2), Пр имер 8. Функция у=(х! непрерывна Ух, потому 1Лу!=))х+Лх! — !Х11< 1х+Лх — х1=1ЛХ! — О при Лх О. Пример 9. Если функция 7(х) нейрерывна в точке х„ то непрерывна также в этой точке и функция !~(х)1. Это следует из теоремы 2 и примера 8, потому что функция !1(Х)! есть композиция двух непрерывных функ, ций: 8=!и!, и=7(х). 99 гл а, аюикция. пввдвл екнкции Отметим еще две теоремы, которые непосредственно следуют нз соответствующих теорем 1 и 2 9 3.2 для предела функции. Теорема 3.
Если функция 1 непрерывна в оючке а, то существует окрестность У(а) втой точки, на которой )' ограничена. Теорема 4. Если функция ! неирероана в точка а И 1 (а) чьО, то существует окрестность 0(а) точки а, на которой )!" (х)) >)!(а))~2., Болыие того, если ~(а) > О, то 1(аК2 <1(х» (хй.У(а)», а гели 1'(а) < О, то Г( ) < И»Л ( Е и( )). 3 3.4. Разрывы первого и, второго рода По определению функция г непрерывна в точке х=а справа (слева), если ~(а) =!'(а+0) (соответственно 1(а) =!' (а — 0)) (см. конец 9 3.2).
Непрерывность ~ в точке а можно определить также следующим образом: функция Г непрерывна в. точке х=а, в Й Ряс, 19. Рвс, 18. Ряс. 20. если она определена в некоторой окрестности втой точки, в том числе и в самой точке х=а, и существуют пределы )(а+0) и 1(а — 0) такие, что ~(а) = ~(а+О) =г(а — О). (1) Если функция» такова, что для иее существуют пределы 1(а+0), 1(а — 0), однако равенства (1) не выполняются, $ зл. Разэывы пиввого н втоэого РОДА 91 то, очевидно, оиа разрывла (не непрерывна) в точке а, В этом случае говорят, что функция 1 в точке а имеет разрыв первом рода.
На рис. 18 — 23 приведены шесть графиков функций, имеющих разрыв первого рода в точке а. Буква А обозначает точку А = (а, 1(а)) графика функций. Стрелка на конце куска кривой обозначает, что концевая точка, где находится стрелка, выброшена. На рис, 18 — 21 даны графики функций, для которых все три числа )".(а), )(а+О), 1(а — О) имеют смысл. На рнс. 18 три числа 1(а), 1" (а+0), ~(а — 0) попарно различны — функция не только разрывиа в а, но разрывиа также справа и слева.
На рис. 19 функция непрерывна слева в а, но разрывна справа. На рис. 21 )(а+О) = =1(а — 0)Ф~(а). В этом случае говорят, что функция 1 имеет в ~очке а устрапимый разрыв — ведь ее можно видоизменить в точке а, положив ) (а) =1(а+О) 1(а — О), и она сделается непрерывной в этой точке. На рис. 22 функция не определена в точке а. На рис. 23 функция тоже не определена в точке а, но 1(а+0)=)(а — О), поэтому, если доопределить | в этой точке, положив ~ (а) =1(а+О) = = )(а — 0), то функция 1 стаяет непрерывной в точке а. ю .и Рис, 21. Ри, 22. Рис.
22. В случаях рис. 22 и 23 функция 1 определена в окрестности точки, за исключением самой точки а. В таких случаях часто говорят, что ) разрывна в а, хотя идея непрерывности и разрывности в точке а есть идея сопоставления 1(а) с 1(х) при х, близких к а. Если у функции ~ не существует правого предела или левого предела в точке а, или не существует как правого, так и левого предела, нли же эти пределы бесконечны, то говорят, что она имеет разрыв второзо рода в этой точи. ГЛ. К ФУНКЦИЯ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пря мер 1. Функция 1 ) з!и —, х~О, О, х=О в точке х=О не имеет правого и левого пределов (см. пример 3 4 3.2).
Следовательно, она имеет разрыв второго рода в точке х = О. Пример 2. Функция 1, х>0, з)япх= О, х=О, ( — 1, х< 0, очевидно, непрерывна для хФО, а в точке х=О имеет разрыв первого рода. При этом з!дп (О+О)=1, з!яп (Π— О) = — 1. П р и м е р 3, Функция [х1 — целая часть х — для х Ъ 0 имеет график, изображенный на рис. 24. Она непрерывна для нецелых х, а если х целое, то [х+0)=х=[х1 и [х — 01 = х — 1, и, следовательно, имеет место разрыв первого рода. 4 В Пример 4. Функция. Д) [!1х, х-ьО, =- о 4 с непрерывна для хФО.
Правый и левый пределы в точке х=О равРис. 24. ны бесконечности, поэтому функ- ция имеет разрыв второго рода в этой точке, В этом случае также говорят, что функция имеет бесконечныб разрыв в этой точке. Теор ем а 1. Если функция !" не убывает на отрезке [а, Ь~, то суи(ествуат пределы 1(а+О) ) Г (а) и 1(Ь вЂ” О) ( Ю(Ь) Доказательство. Из условия следует, что ~ (х) ( 1(Ь) Ух Е [а, Ь), т. е. ! ограничена сверху числом !" (Ь) на полуинтервале [а, Ь). Но тогда существует точная верхняя грань 1 на этом полуинтервале: зцр 1(х) = 34 «= 1(Ь). лв1ФЫ З З.р. РАЗРЫВЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА Оз В силу свойства точной верхней грани для всякого е ) 0 найдется х, Е [а, Ь) такое, что М вЂ” е <1(х,) <М, (2) а в силу того, что ) не убывает, имеет место р (хр)иор (х) ех( хр < х <Ь Из (2) и (3) следует, что М вЂ” е < ~ (х) и М ТУХ( х„< х < Ь, (3) и мы доказали, что существует левый предел 1 в точке Ь( Вщ / (х) =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
