Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Зададим е и подберем б,так,'как зто сказано в первом определении.'Затем подберем натуральное а„так, чтобы;~ х„а~ < 6 длил >.гье Но тогда ) 1(х„) — А ~ < е . для п > а„ а зто значит, что последовательность чисел (~(х„)) стремится к А, и так как это свойство .всрно для любой сходящайся к а последовательности (х,,'), лишь бы х„те а и все х„цринадлежали к.области оцределения функции, то доказано, что из.перзого определения цредела следует второе. 'Набборот, пусть функция ~(х) имеет цредел в смысле второго определения.
Допустим, что при атом она не имеет предела в смысле первого определения. Зто значит, что существует хотя бы одно е, которое мы обозначим через е„ для которого яельчя подобрать.нужнее:6, т. е. для любого 6 среди х, удовлетворяющих соотношениям О < ~ х — а(< 6, должно найтись хотя бы одно х=х'в гтакое, что дли него ~ Г (хм') — А ~ ) е,. В качестве 6 мы берем все числа вида 6=14 (гг=1, 2, ...) и 'для каждого из них найдем точку х„= хм', для которой О < ) х„— а ~ < 11й (хь ~ а) и Д'(х,) — А~Э.е, (й=1, 2, ...). -Из зтих соотношений видно, что х„- и (ха~а), в то время как ~(х,) заведомо не стремится к числу А.
Таким ГЛ. 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ образом, допущение, что из второго определения предела не следует первое, приводит к противоречию. Эквйвалентность двух определений доказана. Выражение предел функции в точке а часто заменяют выражением предел функции при х, стреляи(елея к а или, короче, предел функции при х- а. Если угодно, это выражение больше соответствует духу понятия предела потому, что выражение 1!ш г(х) говорит о поведении функции в малой окрестности точки а, нз которой выбрасывается точка а. Оно говорит о том, что если х приближается к а по любому закону, оставаясь ие равным а, то соответствующее значение 1(х) в свою очередь приближается к А, т.
е. делается как угодно близким к А. Пр им ер 1. Рассмотрим функцию1(х)=(х' — 4)!(х — 2). Опа определена для всех хуь2. Попробуем найти ее прехк — 4 дел при х 2. ((Ля любого хчь2:=х+2, а так как при определении предела при х- 2 совсем не принимаются во внимание значения г в точке х=2, то хк — 4 1пп — Вш (х+2).
к 2 к 2 к 2 Это равенство пока написано в том смысле, что если один из пределов существует, то существуег и второй и равен ему. Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более сложной функции (х' — 4)!(х — 2), достаточно вычислить предел более простой функции х+ 2, Этот последний при х 2, очевидно равен 4. Ведь если подставить ах+2 вместо х произвольную переменную х„, стремящуюся к 2, то независимо от способа стремления ее к 2 1пп (х„+2)=2+2=4. кл е Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно располагают следующим образом: хк — 4 !Ип — = !Ип (х+ 2) = 1пп х+ 2 = 4.
к Ех — 2 к Е е Подчеркнем, что функции ~ (х) = (х' — 4)/(х — 2) и ~р (х) =- = х+ 2 являются разными функциями. Первая из них определена для х~2, в то время как вторая определена для всех х. Однако при вычислении предела функций прн х- 2 нас совершенно не интересует, определены или не определены эти функции в самой точке х=2, и так как $ аа пгвдзл Функции Т(х) !Р(х) для х~2, то 11т ~(х) = !пп !2(х)=я!(2). Пример 2.
Очевидно, что 1!т х' 1, потому что, к 1 если х„— 1, х„~1, то Нтх„'=!них„!ппх„=1 1=1. Зтат факт можно доказать н нз языке а н 6. Определим какой-либо интервал, содержащий тачку 1, например (1/2, 312). Для любого х, принадлежзщего ему, очевидно, выполняется неравенство )х" — 1!=!х+ ! ))х — 1 !(,! !х — 1~.
Зададим теперь произвольное е>О и положим 6 11 2 = т!и 2, -е~. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству ~ х — 1 ~ < 6, будет иметь место соотношение 5 2 2 5 Пример 3. Функция зрл (1/х) определена для всех значений хчьО и является нечетной (график ее для х > О изображен на рис. 14). Она апре. делена, таким образом, в окрестностй точки х=О, за исклю- Рис, 14. чением самой точки х=О.
Эта функция не имеет предела при х — О, потому что последовательность отличных от пуля значений хз = 21п (22+ 1) (й=О, 1, 2, ) стремится к нулю и в то же время 1(х,) =( — 1)" не стремится при й — са ни к какому пределу, Введем еще следующее определение. Будем писать А= !пп ~(х) и говорить, что числа А есть предел функции Г(х) при х, стремящемся к бесконечности, если Г определена для всех х, удовлетворяющих неравенству ! х! > К при некотором К > О„н для любого з>О мегино найти число гл.з.эвикция. пэвдвл эвикции М> К такое, что ~((х) — А~ <е для всех х, удовлетворяющих неравенству ~х~> М, Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему.
Число А есть предел функции ((х) при х- оо, если функция ((х) определена для всех х о ~х~>М при некотором М и для любой сходящейся к оо последовательности (х„). Доказательство эквивалентности этих двух определений проводится по той же схеме, что и в разобранном выше случае предела ( в конечной точке а. Воэбще, многие свойства пределов ((х) при х- а, где а †конечн число, и прн х- оо являются аналогичными; Можно изложить этн свойства единым образом, так что изложение будет одновременно относиться как к случаю х- а, где а — конечное число, так и к случаю х- оо. Для этого под буквой а надо понимать либо число (конечное), либо симнол оо.
Если а есть число, то под окрестностью точки а понимается любой интервал (с, Л), содержащий в себе точку а. Таким образом, сяреспиюсть (конечной) тачки а есть множество всех точек х, удовлетворяющих неравенствам с < х<А Если жеа=со (или + оо, нли — оо), то под окрестностью а мы условимся понимать множество всех х, удовлетворяющих неравенству ~ х ~ > М (или х > М, нли х <' — М', М > О); Мы будем писать 1ип ((х) = А', где а может быть конечным числом нли оо (нли + оо, или — оо), если функция Цх) определена на некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а (эта оговорка нужна только в случае конечной точки а), н если для любого е>0 найдется такая окрестность точки а, что для всех х, принадлежащих к ней и отличных от а, имеет место неравенство ~((х) — А~ <ж Это определение объединяет в себе, оченидно, оба разобранных выше случая предела г; когда х стремится з зл. иввдвл егнкиии к конечному числу а и когда х стремится к ьо, +во, Функция р, для которой !пп Дх)=О, называется бес.
в+а кан од при х а, Приступим к изложению свойств функции /(х), имею- щей пределы при х- а, где а есть число или оо, + ьь, — ьь. Условимся произвольную окрестность а обозначать символом У(а). Легко проверить, что пересечение двух окрестнсстеи Уг(а) и У,(а) есть снова некоторая окрест- ность У (а). Теорема 1. Если !пп ~(х) А, где А — конечное число, в -~ а то на некоторой окрестности У(а) 4ункиия /(х) огра- ничена, т, е.
существует полоскательное число М таксе, что 1/(х)(~~М для всех хм У(а), хчьа. Д ок аз а тел ь с та о. Из условия теоремы следует существование окрестности У (а), такой, что 1 > ~ / (х) — А ~ ~ ~ / (х) ~ — ( А ~ (х й У (а)„х чь а).
Отсюда для указанных х 1/(х) ~ 1+1А ~, где надо считать М = 1+! А ~, Теорема доказана, Теорема 2. Если йп~(х)=А и АФΠ— конечное ~ "~ в число, то существует окрестность У(а) такая, что ~/(х)~> )А(/2 (хЕУ(а), хеба). Более того, для указанных х /(х) > А/2, села А >О, Р(х) < А/2, если А < О. Доказательство.
Из условии теоремы следует существование для е=~ А 1/2 окрестности 1/ (а) такой, что ~ А 1/2 > ~ А — /(х) ~ Ъ ~ А ~ — ! /'(х) ~ (х ~ У (а), х чьи), откуда 1/(х)1>~ А1/2 для указанных х. Первое нз этих неравенств можно заменить следующими: А — ~ </(х)<А+ д 1А1 1А1 зо ГЛ. 3.
ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ При А> 0 отсюда следует 2 2 А 1А1 а при А < 0 следует р(х) < А+— 1А1 А что и требовалось доказать. Теорема 3. Если 1пп'~~(х)=Ам 11щ 1,(х)=А, и на некоторой окрестности У (а), хЯ а, 1 (х)~1а(х) пю А,:А,. Доказательство. Пусть х„- а, х„Фа; тогда для достаточно большого и„имеет место неравенство (, (х„) е Га (х„) (и > п,) и после перехода к пределу неравенство А, ( А,.
Теорема 4. Если 1пп ~г(х)=А, 1ип г,(х)=А а-~ а ,,а и на некоторой окрестности () (а), хна, Р~ (х); ~р (х) (1, (х), (2) то (3) 1цп ~р (х) = А. а ь О Доказательство. Пусть х„а, х„~а; тогда при достаточно большом и, для и > и, гг(х„)(<р(х„) (~а(х„) и в силу (1) существует предел ~р(х„), равный А, а так как (х„) есть произвольная сходящаяся к а последовательность, то имеет место (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
