Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Например, если азь.-.=1,0...011..., озь„с=0,9...911... (л=1, 2, ...), где восле ззпятой стоят Ф нулей илн А девяток, то последовательность (и„) имеет предел, равный 1 (а„- 1), одизко, кек легко видеть, эте последавзтельность не стзбилизируется. Пр и мер 1. Приведем новое доказательство равенства (ср. пример 8 9 2.1) Ет аь = О (~ д ! < 1), (4) Пусть пока д' О.
Тогда переменная д" (я=1, 2, ...) не возрастает и ограничена снизу числом О. Но тогда по теореме1существует число А)~ О, к которому стремится а": «1тп д»= А Имеем также А = 1(пт Че+' = д 1ип 0" = 0А, откуда А(1 — д)=О и А=О, потому что а < 1. Если теперь д < О, то на основании уже доказанного !4")-)д~" О л Равенство (4) доказано полностью. Это доказательство (4), пожалуй, более элегантное, чем то, которое было приведено в примере 8 4 2.1, но оно не дает возможности судить о скорости стремления д" к нулю — не дается эффективно число а,=п,(е), начиная с которого )д" (< В. П р и м е р 2. Справедливо равенство 1(пт — = О, и1 (5) где а — произвольное число. При !а~~1 оно очевидно. Пусть а > 1.
Положим о» а л! ТОГда — "е 1 = — — О (а — оо). ОтСЮда СЛЕдуЕт, Чта и„„< и„чга > а„где ае достаточно велико, 48 ГЛ Е ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЫ!ОСТИ Таким образом, переменная и„для и> л, убывает. Кроме того, она ограничена снизу числом О, Но тогда существует предел 11!п и„= А е О. а -+ а Но также А= ИГП и„+!=!(ГП ~иа — ", ~ = А1ПП вЂ” '=-А.О=:О, и мы доказали равенство (б) для любого а =:О. Но оно верно н для любого а < О, потому что а" ! (а(а — — О при п оа. л! ~ л! б 2.6. Число е Рассмотрим последовательность (х„) = ((1+ — ) ~. Пока>кем, что эта последовательность возрастающая и огранвчена сверху. На основании формулы бинома Ньютона а (л !)' ''(а !" + !) а «(!л л = о имеем !» х„=(1+ — „! =!+и — „+...
а(а — !)...(л-а+!) ! а(л-!)...(л — л+!) ! '''+ а! л+' '+ а! л" ! (1 !) ! (1 !) (1 а — !) + ! (1 !) (! л — !) (1) Из данного равенства видно, что последовательность х„ ~е 2 Ул. Докажем, что последовательность (ха) огРанйчена сверху. Из равенства (1) имеем ! ! ! ! х, ~ 2 + —, +... + — „! .-~ 2+ -~ +... + аее; +... + + —,...=1+ (1+ —,+ „,+,— „+...) -1+ —, =3.
! ! — у 4 2.6. число е Покажем, что последовательность (х„) возрастающая, По аналогии с (1) имеем х =2+ — (! — — )+... с 1 7 1 "+' 2! (, и+1 Сравнивая (1) и (2)„видим, что хи < х„+„!уиц )ь) (в (2) каждое слагаемое больше, чем соответствующее слагаемое в (1), и, кроме того, имеется на одно положительноеслагаемое больше). По теореме 1 ~~ 2.8 последовательность (х„) сходится. Обозначим ее предел буквой е, как зто предложил впервые Л. Эйлер ') 1ип (1+ —,) = е. и-е ее И,1 Из сказанного ясно„что 2 < е < 3. Более точное значение е = 2,718281 В будущем (в 4 4.16) будет доказала формула, из которой следует, что е = г — + — (и > 2), гс 1 О й! и! (3) а о где Π— некоторое зависящее от и число, удовлетворяющее неравенствам О < О < 1.
С помощью втой формулы нетруднодоказать, что е есть число иррациональное. Допустнм, что е=р(о, где л и 4 натуральные. Тогда, положив в (3) ее=о, будем иметь о с". д= ~~а! д1 Умножая на с)1, получаем л(ч — !)! — (=О, (4) е где 1е й! ьч — — натуральное число.
й!ы получили противорерд е=о чие †лев часть (4) есть целое число, а правая, равная О, есть правильная дробь. ') Л. Эйлер (1707 †17) — великий математик, академик Российской академии наук, швейцарец по происхождению. Гл, з пвздвлпослгдовзтяльиости ф 2.7. Принцип вложенных отрезков Теорема 1 (принцип вложенных отр езкоп). Пусть задана последовательность отрезков (сегментов) о»=(аю Ь„1 (и=1, 2, ...), влозсенных друг в друга, т. е. таких, тпо ои+,~о„ (и= 1, 2, ...), с длинами, стремящимися к нулю: д,:» Ьи — а„- 0 (п оо).
Тогда существует и прииюм единственная точка с (число), одновременно принадлгзкащая всел1 отрезкам о„ (с~о„, п=1, 2, ...). Доказательство. Очевидно, что а, ".- а, ~ а„(... ~ Ь„ прн любом заданном натуральном т. Это показывает, что числа а„пе убывают и ограничены сверху числом Ь при любом т и, согласно теореме 1 $ 2.5, существует число с, к которому стремится переменная а„(Ит а„=с). При этом а, (с ~ Ь .
Так как в этих неравействах натуральные и и т произвольные, то, в частности, а„ (~с» Ь„ (и = 1, 2, ...). Следовательно, с ~а„, каково бы ни было и ~ Х. Найденная точна с — единственная. Допустим, что существует другая точка с, ~а„Уп. Тогда аи(с, с,. Ь„, откуда ܄— а,)(с — с,[) О еп, но зто противоречит тому, что ܄— а„- О. Отметим, что И из Ь„= Ига 1(܄— а„) + а„) с. Замечание. В теореме 1 существенно, что в ней рассматриваются отрезки 1а„, Ь,1 а не интервалы, как показывает следующий пример. Йнтервалы (О, 1/п) (п=1, 1 1 2,...) вложеныдругв друга, их длииад = — О= — — О, и и но нет ни одной точки, принадлежащей одновременно ко всем этим интервалам.
В самом деле, любая точка с~ 0 не принадлежит к любому из интервалов (О, 1/а). Вели же с,я'О, тонайдекся такое п, что 11п < с и с Е(О, 1/п). $ Вь. точные ВеРхняя и нижняя ГРАни множестВА гп й 2,8. Точные верхняя и нижняя грани множества Рассмотрим произвольное множество Е действительных чисел х. Может случиться, что в ием имеется наибольшее (максимальное) число, которое мы обозначим через М. В этом случае пишут М= шахЕ=пГахх. яяг Может случиться также, что среди чисел х Е Е имеется наименьшее (минимальиое), равное числу т, Тогда пишут т = пип Е = пип х. я е Р.
Если множество Е конечно, т. е. состоит из конечного числа чисел х1, хм ..., хр, то среди ннх всегда есть наибольшее и наименьшее. Однако это не всегда так, если Š— бесконечное мно- жество, Приведем примеры: 1) Х = 1 ..., — 3, — 2, — 1, О, 1, 2, 2) !Ч=(1, 2, 3, 3) !ч = (..., — 2, — 1), 4) [а, Ь1, 5) [а, Ь), 6) (а, Ь). Множество г, не имеет наибольшего и наименьшего чисел.
Интервал (а, Ь) тоже ие имеет наибольшего и наи- меньшего чисел. Прн этом здесь не имеет значения, бу- дут ли числа а, Ь конечными или бесконечными. Каково бы ни было число сЕ(а, Ь), т. е, число, удовлетворяющее неравенствам а<с<Ь, всегда найдутся числа сг, с, та- кие, что а<с, <с<с,<Ь. Множество й не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший х= 1. Множество же Ь! имеет иаиболыпий элемент х= — 1, но не имеет наименьшего. Очевиднотакжеш!п[а, Ь1=а, шах[а, Ь|=Ь, лип[а, Ь)= =а, однако максимального числа в [а, Ь) нет.
Возникает вопрос о введении для произвбльного мно- жества Е чисел, которые по возможности заменяли бы шахЕ и ш!пЕ. Такими числами (конечными или беско- нечными) являются точная верхняя грань епрЕ=зпрх=М яяе з ьа точима вагхпяя н нижняя ггьни множествы 1) — "<1 зтпЕЬ), 2) для зла>0 йп,ЕИ: 1 — в< и+ <1. ' т+ Мы дали определение точной верхней (нижней) грани для множества, ограниченного сверху (снизу).
Если множество Е не ограничено сверху (снизу), то его точной верхней (нпжней) гранью естественно назвать символ + оо ( — оо): апр Е = + со (соответственно 1п1 Е = =- — оо), Иногда, когда нет опасности путаницы, вместо + ос пишут оо. Примеры. Для множеств 1) — 6), приведенных выше, имеет место зпр Х =+со, 1п1 Х = — со, апр Ь( = со, ш1Х =ппп И=1, зпр Ь1 = шах 1ч = — 1, 1п1 Х =- — оо, зпр(а, Ь)=Ь, 1п1(а, Ь)=а, где а и Ь могут быть конечными и бесконечными числами. Можно дать обшее определение точной верхней (нижней) грани множества, которое годится для любого множества (ограниченного и неограниченного).
Число М (соответственно т), конечное или бесконечное, называется точной верхней (нижней) гранью множества Е (рис. 9 и 19), если выполняются условия: 1) х<М(т~<х) УхЕЕ; 2) для любого (конечного!) М, < М (т, > т) существует х, Е Е такое, что М, ( х, «- М (т < х, < т,). Фе~ Ф, Рис. Ю. В этой формулировке не приходится употреблять разность М вЂ” е (сумму т'+в), зто не имеет смысла при М=+со (т= — оо). Справедлива теорема принципиального значения.
Теорема 1. Если не пустое множество Е действительных чисел ограничено сверху (снизу) конечным числом К (соответственно й), то суи1ествует число М в К(т)~й), являющееся точной верхней (нижней) вранью Е. 54 ГЛ. 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Доказательство. Так как Š— не пустое множество, то оно содержит в себе по крайней мере 'одну точку ха. Рассмотрим отрезок аз=[а, Ь), где а < хм Ь К.
По условию правее аа иет точек Е. Разделим о, на дае равные части (два отрезка) и обозначим через а, самую правую половину, содержащую в себе хотя бы одну точку Е. Это надо повимать в том смысле, что если обе половины содержат в себе точки Е, то а„есть правая из ннх, а если только одна из ннх содержит точки Е, то именно она обозначается через оь Обозначим через х, какую либо точку из Е, принадлежащую ко,. Таким образом, х,Еаи ио правее о, нет точек Е. йелим теперь ат на два равных отрезка и обозначаем через а, самый правый из иих, содержащий в себе хотя бы одну точку Е, которчю обозначим через х,. Правее аз нет точек Е. Продолжив этот процесс по индукции, получим последователь.
ность вложенных отрезков а„=[а„, Ь„)(а„~а«ет), длины которых Ь вЂ” а Ь вЂ” а= — „О, я ю. 2" При этом при любом пц-6( правее о„иет точек Е, но а„содержат в себе некоторую точку х„ЕЕ. На основании принцийа вложенных отрезков существует един. ствеииая точка, которую мы обозначим через М, принадлежащая ко всем отрезкам а„(МЕа«, 'чл). х(окамгем, что М =апр Е. В самом деле: () имеет место неравенство х«. 2И, ЧхЕЕ, потому что если х'— какая-либо точка, принадлежащая к Е, то х«ц6„, Нп, переходч к пределу при л — ое, получим х~ гИ= Нга Ь„ЗГхЯЕ; «ю 2) для л|обого е > О Зх'ЕЕ М вЂ” е < х'~М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
