Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Читатель, который найдет нужным познакомиться с этими рассуждениями, увидит, что арифметические действия над бесконечными дробями сопряжень1 с необходимостью совершать некоторые бесконечные процессы. На практике арифметические действия над действительными числами производятся приближенно. На этом пути возможны и формальные определения этих действий. Об этом будет идти речь в 5 1.8.
В следующем параграфе перечисляются свойства действительных чисел, вытекающие из сделанных определений. Мы формулируем этн свойства. Их можно доказать, но мы доказываем их лишь в отдельных случаях (полное доказательство см., например, в учебняке С. М. Никольского «Математический анализ», т. 1, гл. 2). Эти свойства собраны в пять групп (1 — 7). Первые три из них содержат элементарные свойства, которыми мы руководствуемся прн $ Ьв, ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЬРИфЬЗЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ (9 арифметических вычислениях и решении неравенств. Группа 17 составляет одно свойство (Архимеда).
Наконец, груп. па Ч также состоит из одного свойства. Это свойство формулируется на языке пределов. Оно будет доказано, но позже — в $ 2.5. 1.62. Стабилизирующиеся последовательн ост и. Пусть каждому неотрицательному целому числу (индексу) и в силу некоторого закона приведено в соот. ветствие число хос Совокупность хоо хзо Х, (1) называется последовательностью (чисел). Отдельные числа х„последовательности (1) называются ее влелгентами. Элементы х„и х„при ттьп считаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой (х„=х ).
Последовательность называется неубываюи(ей (невозрастаюи(ей), если хь(х„+, (хьЪхь+„) для всех й=О, 1, 2,,... Будем говорить, что последовательность (1) огр ничена сверху (числом М), если существует число М такое, что х„(М для всех й=О, 1, 2, ... Последовательность (1) ограничена снизу (числом т), если существует число пз такое, что ха.-- т для всех А=О, 1,2, Если числа х„последовательности (1) целые, то будем говорить, что она стабилизируется к числу с, если найдется такоейю птаха=$для всех й~)с„и писать х е.
Л е м м а 1. Если последовательность цельзх неотрт(а- тельных чисел не убывает и ограничена сверху числом М, то она стабилизируется к некоторому целому числу $(М. Доказательство. Хотя количество элементов у нашей последовательности бесконечно, но она пробегает конечное число пелых чисел. Ведь эти числа ие превышают М. Пусть с — наибольшее среда этих чисел. Таким образом, $(М и существует такое натуральное з, пря котором ко=$. Но наша последовате.тьиость не Убывает, н потомУ ха=седла всех йсьз, т. е, наша последовательность стабилизируется к числу $ (х„ = Со- Лт).
Рассиотрим теперь последовательность неотрицательных десятичных дробей (только конечных нчи только бесконечных): оз = ихо,аз сиз аш", а,=а„,иззпысс,з..., (2) пз = азо Мзтмззазз ° Правые части в (2) образуют таблнпу (бесконгчную матрацу), 20 гл. г. вввдвнив Будем говорить, что ггосгедовательность (2) стабилизируется к числу а=уз,угу»..., и писать (3) если й-й столбец таблицьг (2) стабилизируется к у», каково бы ни было й = О, 1, 2, ..., т. е, а,» — у„ для любого фиксированного й. Л е м ма 2. Если неубываюи(ая последовательность (2) десялгичных дробей (' только конещых или только бесконечных) огратгчена сверху числом М, пго она заведомо стабилизируелтся к неко!порол!у числу а, удовлетворлюи(ел!у неравенствам а„-а М (гг««1, 2, ...).
(4) В самом леле, в условиях леммы целые числа нулевого столбца матрицы (2) агз !газ азз также яе убывают н ограни!сны сверху числои М, поэюлгу, согласно лемме 1, оии стабилизируются к некоторому целому неотрицательному числу тзм М. Пусть зта стабилизация имеет место, начиная с номера лз, т. е, а«=у„а«га«з... ~ М, л»лз. Докажем теперь, что первый столбец в (2) сзы мзг ссз, также стабилизируется к некоторой цифре ут и имеет место неравенство уз,у! сМ.
В свмом деле, раз десятичные разложения чисел п„при п»пз имеют вид уз п«га«зо«з ° ° «= М (" » пз) и, кроме того, п„не убывает, то для указанных и цифры первого столбца о«г (~9) тоже не убьвагот и, следовательно, по лемме 1 стабилизируются к некоторой цифре у,. Пусть эта вторая стабилизация наступает, начиная с номера и, > лз, т. е. прн л та лг и«= уз у!о«зо«з ° ° -- М. При этом очевидно, что тз,т,~п« -'М (и"-:зл,). Рассуждая теперь по индукцвн, допустим, что уже доказано, что столбцы матрипы (2) с номерами, яе превышавшими», стабя- 4 !.а.
ОпРеделение АРиФметических дейстВий 2! лизнРУоотса соответственно к 7о, 7,, ..., 7» н уо,7! "° 7»м М (7!... „7» — цифры). (Б) Докажем, что (»+1)-й столбец в (2) также стабилизируется к некоторой цифре 7»+„и имеет место неравенстно Топу! °" 7»7»+о~ М (6) В самом деле, раз десятичные разложения чисел ап прн л~п» имеют внд ап=7о,7! ° ° ° 7»ап, »-дап, »+о... а М и, кроме того, ап не убывает, то для указанных л цифры а„»п! (~9) не убывают и, следовательно, стабилизируются Ври л мл»+о, где л»п! достаточно велико, к некоторой цяфре 7„+ы Прн этом очевидно, что то 7!" ° 7»+!~а ~М (л~л»+!), и мы доказали неравенство (6).
Положим а=7„7,7о .... Очевидно, что ап .„, а=-7о 7!уз Докажем первое неравенство (4). Сравним числа оп= жпо но!аполло. ° ° а= 7о ут7оуз Если все соответствующие компоненты обоих разложенкй равны (ало=уз, з=О, 1, 2, ...), то оп=а. В противном случае при неко- тором з ап)=7) ()=О, 1, ..., з — Ц, ~ апо ( уо. При этом, если з=О, то равенства в (7) надо опустить. При рас- сматриваемом л числа азу=Ту ((=О, 1, ..., з — 1) уже стабилизи- рованы, поэтому аз~ало,ап! ° соп, о-! (ало+1) =уоу!" 7,-! Рхп,+ 1) ~жуат!" 7о-!уз~ а, и мы доказали первое неравенство (4). Остается доказать нторое неравенство (4).
Если а=уз,7,...7!у— конечная десятичная дробь, то опо следует из (Ь) при »= Л!. Пусть теперь а=-уо,у!у»" (8) — бесконечная десятиюсяя дробь. Разложим число М тоже в беско. печную дробь М =то,т,т, Веля допустить, что доказываемое неравенство неверно, то найдется такое », что 7 =тт (( — --О, 1, ..., » — 1),~ 7» > т». (9) Волн».=-О, то равенства в (9) опускаются. Так как разложение (6) бесконечно, то найдется тяное з, что 7»+о > О.
Поэтому 70 7! 7»-17» 7»оо>уз*у! 7»-ъу»=то тъ т»-17»гв ~ то т, ... т» ! (т»+1) =тют! ... то от»99... ~ Св я!о!тото. ° ° = М и получилось противоречие с неравенством (Б). ГЛ.!. ВВВДЕНИВ 1.6.3. Определение арифметических действий. Теперь у нас есть возможность дать определение арифметн(вских действий нэд действительныии числами. Для произвольного числа а «„«(«,... введем его л-ю срээку а(л(=«„«,... «л — конечную десятичну(о дробь.
ойы счвтаем, что операннп с конечными десятичными дробями читателю известны. Зададим два положительных числа , ж", Ь=()о,й((1 ", разложенные в бесконечные десятичные дроби. Введем последова- тельность чисел а(л(+вол=«о,« ... ел+()о, й(, ° . О»=~Х",Мю... ),ю' (л=1, 2, ...). Очевидно, зта последовательность не убывает, кроме того, она огра- ничена сверху: а(л(+Ь'л>~ («о+ 1)+(6о+ !) (и 1, 2, ...). Но тогда на основании леммы 2 десятичные разложения нашей по- следовательности стабилизируются к некоторой десятичной дроби— действительному числу — уо,у(уз.... Это число и называется по опре- делению суммой чисел а и Ь: а+Ь уо,ухуо..., Итак, мы определяем сумму а+Ь как число, к которому ста- билизируется а(л>+ Ь(л>: 'л(+Ь' а+ Ь.
(1О) Чтобы определить произведение положительных чисел а в Ь, вводим срезку (а(л(Ь(л()(л( 1(ю( р)л( 1((л( (11) — конечную десятичную дробь. Послеловательность зтпх срезок, очевидно, не убывает (при возрастании »1) и ограничена сверху: (а(»(Ы»()(л(л~ («о+1) (()о+1) (л= 1, 2, ...). Поэтому по лемме 2 вырви(ение (11) стабилизируется к аекоторому числу, которое н нааывается лролэоедол(жм аЬ: (а(л(Ь(л>)(л( ; аЬ. Отметим неравенства а(л(лл«о «з ° «л ~ (хо,с(х ° ° «л ° ° л~ «о,«( ("л 99 =«о,«,...с(л, («»+11=«о,«!...«„+ !О-(*.
т. е а(л( М- а»- а(л(+ и-л Величина а(л( приближается к а (пои возрастания л), ае убывая. Что же касается величины а(л(+10-", то онэ приближается к а, ие зозрастач: а(л(+10-»=«о,«,...«„99... ~ «„«х...«л«ло,99... = +3>+!О" + Это обстоятельство будет использовано прн определении разности и частного положительных чисел. ь э,т. основныв своиствэ дииствитильных чисвл 22 Если а > Ь > О, то разность а — Ь определяешься как десятичная дробь (число), к которой стабилизируется последовательность конечных десятичных дробей: (Ь<ь~+1О-э) — ~ (а Ь) если а, Ь > О, то частное а/Ь определяетса как десятичная дробь, к которой стабилизируется последовательность конечных дробей: ( <э! 1<э) а зов+10"ь) Ь ' Надо учесть, что аао прн воарастаннн и не убывает, а Ь!ы+!О-" не возрастает, н потому вырэженни слева в (!2), (13) не убызжот, Кроме того, они ограничены сверху: а(и) (Ь(л|+ 10-ь) ы- а + 1 ( -) .„',.—.
Ыы ы1 а Ь'э'+!О ") Ра ))э ° ° ° Р ' где з таково, что Рэ > О. Поэтому по лемме 2 выражения слеза в (!2) и (13) действительно стабилизируются, Полоисим еи!с 0 О+а=а 4 О=а, а 0=-О=а — а= — (а~О, Ь > 0). (!4) Ь Мы определилп для неотрицательных чисел а, Ь их сумму, разность, произведение и частное, предполагая в случае раэностй, что а=ь Ь, и в случае частного, что Ь > О. Эти определения распростра.
ияются обычными способами на числа а и Ь произвольных знаков. Например, если а, Ь~О, то полагаем а+э=э+а= — йа)+)Ь)). Если же а и Ь вЂ” числа равных знаков и (а!сж(Ь), то полагаеы а+Ь=Ь+а=4 ()а) — )Ь!), где выбирается знак, одинаковый со знаком а. В частности, имеет место а+( — а)=0 для любого а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
