Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Введение рациональных чисел, однако, полностью ие решило важной практической задачи об измерении отрезков. Ведь существуют отрезки, длина которых не является рациональным числом. Примером может служить диагональ квадрата, сторона которого равна единице. В связи с этим возникла необходимость введения, кроме рациональных чисел, и других чисел — иррациональных. Произвольные числа — рациональные или иррациональные — называются действительными или оещестаенными. Множество действительных чисел обозначают через К. Существуют различные способы введения (определенна) действительных чисел.
Мы остановимся па способе представления их в виде бесконечных десятичных дробей а = ~- а„а,а,а,... (1) Здесь и,— целое неотрицательное число, а — десятичные цифры. Таким образом, а„может принимать только одно пз значений О, 1, 2, ..., 9. Знак + часто в этих записях опускают. Чтобы представить не равное нулю рациональное число +-т!и (гп > О, и > О) в виде десятичной дроби, производим процесс деления т на и по известному способу, которому нас учили в школе: т~ а а,, а,а,....
гл. ь введении Заметим, что если зтот способ применить к другой записи дроби ч-и>р)ар=~тра (р>О), то получим тот же результат. Полагаем (3) и правую часть (3) называем десна>ичнмм разложением числа ~- и>/а. Если знаменатель дроби имеет вид а=2'5', где з, 1— целые неотрицательные числа, то процесс (2) заканчивается после конечного числа шагов и получается коленная десшпичная дробь ~~ =+.а„а>...ам (ам>0). (4) Конечную десятичную дробь мы будем записывать так>не в виде бесконечной дроби; .- а„, а, ... ам = ->- а„а;... амО 0... = -~ а„а,...
ам (О) (5) Но пользу>отея также и другой записью: ~с а„а;... а > — — ч- а„аг... ам, (а,и — 1) 99... = =->-а„, а,... ам;(ам — 1)(9) (ам> О), (5') хотя ояз не возникает из процесса (2). Итак, имеют место равенства ~ а„о,... ам —— ~ а„, а,... ам (О) = =~=а„,а,...
ам,(ам — 1) (9) (а,и> О). Лробн -(-ам а,... ам(0) и -+-а„а, .. ал, „(ам — 1)(9) .огут служить примерами периодических дробей. Первая из них после цифры ом имеет период О, а вторая после цифры ам — 1 имеет период 9. Пусть теперь знаменатель нашей дроби не имеет вид 2'5'. Тогда процесс (2) бесконечный — на лк>бои шаге возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше л, и потому (после того, как цифры числа т снесены) уже среди первых а остатков окажутся по крайней мере два, равные между собой. Но как только возникает остаток, который уже был прежде, процесс становится повторяюшимся — периодическим. Позтому десятичное разложение з ье дейстзнтельныв числА произвольного рационального числа имеет вид — ~ а„а„... а„,Ь,...
Ь,Ь,... Ь,... = ~а„,а,... ам(Ь;... Ь,) (е (п). (6) е =0,166... =0,1(6), 1 О,(142357), з — — 0,22... =0,(2) 2 — '- 0,0707... - О,(07), щ = 0,00707... 0,0(07). (7) Разложение вида (6) называется бесконечной десятичной периодической дробью. Итак, каждое не равное нулю рациональное число можно разложить с помощью процесса (2), а в случае (4) и процесса (5) — в бесконечную десятичную периодическую дробь с периодом, отличным от 9. При етом можно доказать, что разным рациональным числам соответствуют разные бесконечные десятичные разложения.
Но и обратна любая бесконечная периодическая дробь (6), с периодом, отличным от 9, порождается нри помощи указанных процессов (2), (5) некоторым рациональным числом, которое вычисляется по формуле ~ ) а„а~...ам+-~-'-'-'- — 10- ре" ре м1 Здесь мы позволили себе через ()г... ~3, и 9 ...
9 обозя раЗ иачить целое число, записанное соответственно цифрами 5е, ..., ~3, и 9, ..., 9. ~ да~ Например, 1,237 (06) = 1,237+ 0,000 (06) = =1,237+зз10 ' 1,237+ о~щ. Разложения (5) н (5') можно рассматривать как частные случаи (6). Примеры: ГЛ. 1 ВВЕДЕНИЕ Кроме периодических десятичных дробей, существуют непериодические, например 0,1010010001...; 0,121122111222...
Вот еще пример: если извлекать корень квадратный нз 2 по известному правилу, то получим определенную бескоиечиусо непериодическую десятичную дробь )с'2 = = 1,41... . Она определена в том смысле, что любому натуральному числу сс соответствует определенная цифра а, стоящая на сс-м месте после запятой и однозначно вйчисляемая согласно правилу извлечения квадратного корня.
Мате»сатический анализ дает много путей вычисления числа и с любой наперед заданной точностью. Это при. Водит к вполне определенному бесконечному десятичному разложению и, которое, как оказывается, не является смеспанной периодической десятичной дробью. Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь а = с- а„а,а»а»..., (8, где сс,— целое неотрицательное число, а а» (А = 1, 2, ...)— цисрры, знак же равенства «=» выражает, что мы обо. значили правую часть (8) через а.
Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное разложение числа а. Рациональные и иррациональные числа называются действшпельньсми (или весцественнылси) числами, Из сказанного следует, что всякое не равное нулю деистгительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8). Если оно рассиональное, то его десятичное разложение есть бесконечная периодическая десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему определению, выражение (8) само определяет иррациональ.
ное чсссло. Ие равная нулю десятичная дробь может быть конечной, но она не определяет нового рационального числа; в силу соглашений, выраженных равенствами (5), (5'), она может быть заменена указанными в этих равенствах бесконечнымн периодическими дробями. Число а, где не все а равны нулю, называется положительныл! или отрицшпельным в зависимости от того, будет ли в (8) фигурировать «+» или « — »; при этом„ как обычно, «+» будем опускать. а ьв опРеделения РАВенстВА и неРАВенстВА Число 0 тоже может быль записано бесконечной десятичной дробью одного нз следующих видов: 0=+0,00... =0,00...
= — 0,00.... Действительные числа определены' пока формально, надо еще определить арифметические операции над ииыи, ввести для них понятие «»> и проверить, что зти операции и понятие «>» согласуются с уже нме>ощимися соответствующими операциями и понятием «>» для рациональных чисел, а также удовлетворяют свойствам, которые мы предъявляем к числам. 5 1,5. Определение раеенства и неравенства Зададим два числа а= ~ я„а,а»..., Ь= ~ (1«М«" определяемых бесконечиымн десятичными дробями, не имеющими период 9.
Будем считать, что они равны между собой тогда и только тогда, когда их знаки одинаковы и с« =р» (/г=О, 1, 2, ...). Пусть а и Ь вЂ” положительные числа. По определени>о а < Ь, илн, что все равно, Ь > а, если а, < й«или, если найдется такой индекс (целое неотрицательное число) 1, что и»=РА (й =О, 1, ..., 1) и а,+, (!>,+>.
Подчеркнем, что если мы хотим сравнивать десятичные дроби, одна из которых имеет период 9, то ее надо заменить дробью с периодом 0 и затем уже применить указанные правила сравнения. По определению а>0 илн а<0 в зависимости от того, буде« лн а положительным или отрицательным; далее, по определению а (Ь, если а < О, Ь > О, илн если а, Ь<0 и (а!> !Ь!. Если а = ~ «««„а>а,..., то по определению — а:=- =-Рс««,«»>с««... и абсолютная величина !а!=+««„,и>и»...= = «««,й,и,.... Таким образом, а (а>0), — а (а<0), Как мы знаем из щкольного курса математики, между действительными чи ами и точками некоторой прямой можно установить заимно однозначное соответствие («->) по.
следующему у. Числу 0 приводится в соответ- 1а ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ ствие произвольная точка О на прямой, называемая нулевой точкой, н наоборот. Длина некоторого отрезка принимается за единицу. Каждому действительному числу -Ь а (а > 6) приводится в соответствие точка прямой, отстоящая от нулевой точ-а' У -г +й ки на расстоянии, равном а, Л й А й справа от точки О для числа +а и слева от точки О для числа — а (рис. 5). Наоборот, если Л вЂ” произвольная точка прямой, находящаяся на расстоянии а спрана от О„ то считают, что она соответствует действительному числу +а (бесконечной десятичной дроби). Если же точка Л находится слева от точки О, то опа соответствует числу †. Рассматриваемую прямую будем называть чисяооой прямой или действительной осью.
В дальнейшем точки числовой прямой будем отождествлять с действительными чнсламн, которые им соответствуют, т. е. сами точки будем называть соответствующими числами. Отметим, что расстояние между точкамп а и Ь равно (а — Ь( (определение разности см. э" 1,6). $1.6. Определение арифметических действий 1.6.1. Общие соображения. Для действительных чисел можно определить арифметические действия — сложение, вычитание, умножение и деление. Как это делается, можно узнать из приводимых ниже мелким шрифтом рассуждений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
