Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(2) )(ействительно, точки х„, определенные вы1не, принадлежат соответственно к а„н к Е, т. е. а«~х«м М, и так как а„— «М, л ю, то для любого з > 0 Зла « ~х«~ » мы получили (2), есля буден считать х'=х„. Соответствующая теорема, утверждающая существование точной нижней грани у ограниченного снизу множества Е, доказывается аналогичяо, отправляясь от сегмента а=[а, Ь), содержащего в себе некоторую точку х«ЕЕ такого, что а=а н хе < Ь. Делим аа на два равных отрезка н чарвзеаа обозначаем теперь самую левую половинку, содержащую в себе точки Е, находим в ах точку хт~Е и продолжаем далее этот процесс по индукции. Сказанное выше приводит нас к следующему утверждению: всякое множество Е имеет точные верхнюю и нижюою грани.
Если Е ограничено сверху, пю зпрЕ(оо, 1 З.з. ТЕОРЕМА ЕОЛЬЦАНΠ— ЕЕЙЕРШТРАССА 55 если же Е не ограничено сверку, то зпрЕ оо. Аналогично, если Е ограничено снизу, то 1п1Е > — оо, и еглй' Е не ограничено снизу, то !п1Е= — со. Задачи 1. Пусть даны множества действительных чисел Х=(х), У=(у». Под множеством (х+у) будем понимать всевозможные суммы чисел хчХ н учу. Доказать, что зпр(х+у)=зпр(х)+зцр(у), !п1(х+у)=!п1(х)+!п1(у). Е. Под множеством (ху) будем понимать всевозможные произведение неотрицательных чисел «ЧХ н уЧУ.
Доказать, что знр(ху)=знр(х)зпр(у), !п1(ху)=!п1(х)!п1(у) (хльо, угьо). 3. доказать, что зпр ( — х) = — гв1«, !п1 ( — х) = — знр х. «6А «ел «6А «6А ф 2.9. Теорема Вольцано — Вейерштрасса') Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел «х„».
Выберем из нее бесконечное множество элементов с йоыерами и, < и, < ... . Тогда получим новую последовательность «х„ », которая называется подпоследовательностью последовательности «х„». Таких подпоследовательностей можно выделить из данной последовательности бесконечное множество. Если последовательность «х„» сходится (к конечному числу, +оо или — со), то очевидно, что и любая ее подпоследовательность тоже сходится и притом к тому же числу (конечному, +оо или — оо). Последовательность «1, — 1, 1, 1, ...» (1) может служить примером не сходящейся последовательности чисел. Все же мы видим, что эта последовательность содержит в себе подпоследовательность «1, 1, 1, сходящуюся (к 1).
Возникает вопрос, всегда ли это так, всякая ли последовательность цейетввтельных чисел содержит в себе подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу (конечному, + оо, — оо). Положительный ответ на этот вопрос дает ') Б. Больцано (178! — 1848)- чешский математик, К, Вейерштрасс (Р815 — 1897) — немецкий математик, ГЛ. З.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Теорема 1. Из всяком последовательности действительных чисел (х„) можно выделить подпсследовалзельнссть (х„„), сходящуюся к конечному числу, или к -1- оо, или к — оо. В случае, когда последовательность (х„) не ограничена сверху (снизу), она, очевидно, содержит в себе подпоследовательность, стремящуюся к +со (к — оо), что доказывает теорему. Если же последовательность ограничена, то теорема 1 сводится к следующей теореме.
Теорема 2 (Больцано — Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности (х„) можно выделить подпоследавательнссть (хаз), сходящуюся к некоторому числу. Доказательство. Так как последовательность то- ЧЕК (Хл) ОГРаНИЧЕНа, та ВСЕ ОНИ ПРИНаДЛЕжат К НЕКОтО- рому отрезку (а, Ь1, который обозначим через о„. Разделим о, на два равных отрезка н обозначим через о, самый правый нз них, содержащий в себе бесконечное число элементов х„. Один нз этих элементов обозначим через хлс Правее о„если есть, то конечное число точек х„. Разделим а, на два равных Отрезка и Обозначим через о, самый правый из них, содержащий в себе бесконечное число элементов х„. Выберем среди этих элементов один х„ с номером и, > и,.
Правее ою если есть точки х„, то их конечное число. Продолжим этот процесс по индукции. В результате получим последовательность вложенных друг в друга отРезков оа=(аа, Ьа), длины котоРых Ьа — аа О, й- оо, и подпоследовательность точек на1ней последовательности таких, что х, Еаь (и, <и, <...).
При этом правее каждого нз отрезков имеется не более чем конечное число элементов х„. На основании принципа вложенных отрезков существует точка с, принадлежащая к любому нз отрезков аа, Очевидно, что подпоследовательность (х„е) имеет своим пределом с(х„„ - с), и мы доказали теорему. ф 2.10. Верхний и нежний пределы Если задана произвольная последовательность действительных чисел (х„), то, согласно теореме 1 1 2.9, возможно рассматривать порождаемые ею различные сходяшиеся последовательности, Пределы этих подпоследовательиостей принято называть чпстичнымч лредьшми последовательности (хе), $2.10. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ НРЕДЕЛЫ По определению верхним пределом последсвшпельносщп (х«) (или переменной х„) называется число М (коне !нос, + со илн — ао), обладающее следующими двумя свойствамн.
1) Существует подпоследовательность (х«) исследо ательности й (х«), сходящаяся к М: Вщ х„= М. й-«и «й 2) Для любой сходящейся подпоследовательности (х„) после. «й довательности (х„) 1пп х„~ М. й-«п й 'Верхний предел последовательности (х„) обозначают одним из символов М=1!щх„= 1!щх„= йа эпрхй. «п «-«и й>« Если последовательность (х„) не ограничена сверху, то, очевидно, 1нп х„+ сь. В последовательности (! — 1)") переменная х„имеет 1!ах„=1. Вот еще пример: Эта последовательность (переменная) не ограничена сверху. Следо. взтельно, ее верхний предел !пп и! И" =+ сс. Длн ограниченной сверху последовательности (х„) ее верхняй предел М может быть определен также следующнм ~бравом: для всякого е > О правее М+а имеется рааве что конечное число точек х„, правее же М вЂ” е заведомо имеется бесконечное число точек х„.
Отметим, что если последовательность (х«) имеет обычный (ко- нечный) предел !!щх„=М, то, как мы энеем, для любого з > О неравенства М вЂ” е < х«( М+е выполня!отея для всех х«, за исклю- чением их конечного числа. Таким образом, правее М +з имеется не более чем конечное число элементов х„, а правее М вЂ” е-заведомо бесконечное нх число. Это показывает также, что М =1!щ х„. Итак, если М 1ппх„, то и йщх„=1ппх„=М, Но разница между обычным предмоми верхням пределом эаклю. чается в том, что в случае предела левее М вЂ” е имеется не более чем конечное число точек х„, а в случае верхнего предела левее М вЂ” е может быть и бесконечное число точек х„.
По определению поясним пределом последовстельносщи (х„) (илн переменной х„) называется число т (конечное, + сь нлн — со), обльдэюпюе следующими двумя спойстнамв: 58 ГЛ. З, ПРЕДЕЛ ПОГЛЕДОВАТЕЛЪНООТИ 1) Существует падноследозательнасть (хл ) последователъности ль (хл), сходящаяся к т: Пщ к» =т. ь >Ф 2) Для любой сходящейся ладпаслелавательности (хл ) после»а дазательиости (хл) Пш хл Гнт. а л ле Нижний предел переменной х„обозначают одним из символов т=1нпхллл Пш хл= Пш !и! ха. л-»ла>л Если последовательность (хл) не ограничена снюу, то, очевидно, 1!ш хл Дла ограниченной снизу последовательности нижний предел т макао определить глюке следующим образом: дли всякого е > О левее т — е имеется разве что конечное число точек (элемептов) хл, левее же т+е заведомо имеетсл бесконечное число точек (эле.
ментов) хл. Очевйдно, что Ищ х„щ. Пщ хл. Тес рема !. Для того члыб»( лоследоеетееьнесте (хл) имела лреоел [конечньй, + »а или — са), необходимо и достаточно, чтобы Пщх„=йшх, и тогда )опх =Нюх»=!илх . Эаметим, что если Пщхллл — са, то в силу (!) Пщхллл — со, и по теореме ! Пщхл=— Очевидно также, что ю равенства Пщхл + се вмтекает, что Пзп х» + се ° 3 а и е ч а н не. Можно показать, что число с» которое мы получили при доказательстве теоремы Больцаио — Вейе»рштрасса.
является верхним пределам х„: Пщ к„=с. Эта ВЫтЕКаЕт ИЗ ТОГО, Чта ПРанвв КажДОГО ОтРЕЗКа Ол ИМЕЕтеа не больше чем конечное числа тачек хл. С другой стороны, есин бы мы видоизменили процесс, выбирая на каждом этапе деления пл на два равных отрезка не самый правый, а самый левый нз иих, содержащий бесконечное число точак хл, та мы бы палучилн, возможно, другую точку с', содержащуюся во всех о„, и эта точка была бы нижним пределом хл(йщ хл с').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
