Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Аналогично можно рассматривать множество Е упорядоченных систем (х,, ..., х„) из и чисел, где п †заданн натуральное число. Опять, если каждой такой системе, прииадлехеащей Е, соответствует в силу некоторого закона число г, то говорят, что г есть 4уннциз от переменных х„ ..., х„, определенная на множестве Е, и записывается эта функция в виде г = Р(х;, ..., х„).
В случае и > 3 в нашем распоряжении уже нет реального и-мерного пространства, чтобы использовать его для изображения систем (х„..., х„) в виде принадлежащих ему точек. Но математики выдумали и-мер~ое пространство, и оно им благополучно служит, и притом не хуже, чем реальное трехмерное пространство. Именно, п-мерным пространстпаом называется множество всевозможных систем и чисел (х„..., х„). Если две функции ): и у от и переменных заданы на одном и том же множестве Е систем (х„...., х„) — точек п.-мерного пространства, — то можно определить сумму (+Ч, разность à — э, произведение ру и частное 1/ф как функции, оаределенные иа Е при помощи равенств, аналогичных равенствам (2)„где надо только числа х заменить системами (х;, ..., х ). Естественным образом определяются также сложные функции такие, как 1(<р(х, у), ф(х, у, г))=р(х, у, г), где (х, у, г) — тройки чисел, принадлежащих некоторому множеству троек.
Ниже приводится несколько примеров функций многих гер сменных, заданиык посредством элементарных формул, р зх. зьмнкгаия Пример $. и=лх+Ву+Са+хЬ, где А, В, С, (1 — заданные постоянные действительные числа, есть линейная функция от трех йбр еременных (к, у, з). Она задана на всем трехьгерном пространстве. бйее общая линейная фуннция от л переменных (х„..., х„) за. даетси формулой и= ~~ ага!+а, где аь, ..., а„, Ь вЂ” заданные паг ! стариные числа.
Эта функция определеяа в любой тачке (хы ..., х,! и-мррного пространства„ или, как еще говорит, гш всем л-мерном йроатранстзе. Пример 9. з=-!уух3 — хь — уз. Эта действительная функция задана на области, представляющей собой круг радиуса 1 а центром в (О, О), из которого удалены все гранннные тоьки, т. щ точки округнностн радиуса 1 с центром (О, О), Для атих точек ваша функ- ция не определена, потому что !а 0 не имеет смысла. П р и м е р 10.
Функции ! О для у~О, ( 1 для у<о геометрически нзабращается двумя яараллельными полупласкостямн, не связанньнаи мекду забой. Расщзгоженве ик по отношению к си. схеме координат х, у, а очевидно, Функция от одной переменной может быть задана неявнылг образолг при помощи равенства Е(х, у) О, (3) где Е есть функция от двух переменных х н р. Пусть на некотором множестве 6 точек (х, у) задана функция Е. Равенство (3) определяет некоторое подмножество И множества 6, на котором функция Е равна нулю.
Конечно, в частности, И может быть пустым множеством. Пусть И вЂ” непустое множество, и пусть Š— множество (очевидно, неиустое) таких значений х (чисел), которым соответствует хотя бы одно у так, что пара х, у принадлежит И. Таким образом, Е есть множестно всех чисел х, каждому из которых соответствует иепустое множество е, чисел у так, что (х! у) Я И, или, что все равно, так, что для указанной пары (х, у) выполняется равенство (3).
Этим определена иа множестве Е некоторая функция у = ф (х) от х, вообще говоря, многозначная. В таком случае говорят, что функция ьр олределенет неявно при помощи равенства (3). Для нее, очевидно, выполняется тождество г (х, гр(х)) О для всех хЕЕ, По аналогии можно также онределить функцию х = тР (у) от переменной у, определяемукь неявно при помощи ГЛ. К ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ равенства (3). Для нее выполняется тождество р(ф(у), у)м— м О для всех уЕЕИ где Е,— некоторое множество чисел. Говорят еше, что функция у=ср(х) (или х=ф(у)) удовлетворяет уравнению (3).
Функцию х= ф(у) называют обратной по отнон.ению к функции у=ср(х). П р имер 11. Уравнение х'+ у' = г', (4) где г ~ О, неявно определяет двузначную функ пи.о от одной переменной: у = -~- 'усг' — х' ( — г < х < г); впрочем, при х= лс г оиа однозначна.
Естественно считать, что эта двузначная функция распадается на две непрерывные однозначные функции у=+ угг' — х' и у= = — угге — х' ( — г «. х( г), Графики их (полуокружноств) в совокупности дают окружность радиуса г с центром в начале координат. Эта окружность есть геометрическое место точек, координаты (х, у) которых удовлетворяя т уравнению (4). Но можно, пользуясь формулой (4), конструировать различные однозначные (разрывные) функции, удовлетворяюпсие уравнению (4). Напрвмер, такой является функпия ( + угг' —.~', — гаях <О, ( — 1/ ге — х*, О х«г. 3.1.3.
Полярная система координат. В плоскости зададим луч ОЕ (полярную егь), выходящий из точки Π— полюса полярной систелих неординапе (рис. 13, и). Положение произвольной точки А (отличной от точки О) плоскости однозначно определяется парой чисел (О, р) — ее полярнани координатани, где р — расстояние А до О, а Π— выраженный в радианах угол между ОА и ОЕ. Если угол О отсчитывается против часовой стрелки от прямой О)., то он считается полохеительныи и может изменяться от О до + оо. Если угол О отсчитывается по часовой стрелке, то он считается отрицательнглм и может изменяться от — ео до О.
Точка О исключительная. Она определяется парой (О, О), где Π— произвольное число. Пусть в плоскости, наряду с прямоугольной системой координат х, у с началом в точке О, введена полярная $ За. Функция система координат О, р, так что полярная ось я положительная ось х совпадают. Тогда полярные координаты (О, р) произвольной точки А плоскости преобразуются Рис. 13. в декартовы координаты (х, у) этой точки по формулам (рис.
13,б) х=рсозО, у=рз!пО. (б) Равенства (5) называют фармулаии преобразования полярных «оординагп в де«артавы. Функциональную зависимость р =г (9), заданную иа некотором множестве Е значений О, можно интерпретировать как множество точек (О, р) плоскости в полярной системе координат, где Оце, р=г(О). Многие кривые на плоскости могут быть описаны в полярных координатах соответствующими функциями р = у (О) (миогозначными или однозначными), Ясно, что в область определения функции р=г(9) входят только те значения угла О, при которых Г (О) ~ )О.
гл. е. фл~кция. повдзл етнкции Паптроениа прафииа.функции р =~'(8):можно осущест' вить: по~точкам:. При данном. 0 проводим луч иа точииеО~ пох, углом: 0: к полярной оси и; затем нае этом:луне отме-. чаем точку А=(0, 1(0)) графика функции, находящуюся на расстоянии р=-1(0) от точки О. Простейшей функцией в полярной системе координат является постоянная функция р=с. Очевидно, что ее графиком я вляетая-окружность радиуса с с центром в точке О.
Другой пример р=9 (0<0 <'оо) (рис. 13, в). Это спираль, раскручивающаяся йз полюса О. Функция р = 2з ( — оо < 0 < оо) описывает в полярных координатах спираль Архимеда (рис. 131 г); е1тметим„что здесь при О.- — оо р. О. Стрелка на графике указывает направление движения точки графика при увеличении угла 8. Функция р=2соз0 ( — -"'«:9< ~ ) описывает окруж- 3 з ! ность радиуса единица с центром в точке О,=(О, 1) (см. рис.
13, д). Наконец, функция, Р сое(З вЂ” З) (8 Е (Ое З ~ Ов+ з ) е Ре.> 01 описывает такую прямую, что опущенный па нее из полюса О перпендикуляр имеет длину р„н образует с полярной осью угол. О, (рис. 13, е). 2 3.2. Предел функции Числе.
А" называется пределом 4рпке1ип 1'в точке а, если она определена на некоторой окрестности а; т. е. на некотором интервале (с, е(), где с < а,< е(„ за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого е>0 можно указать завиоеяцее от него. 6 >.О таков;, что для всех х, для которых О < ~ х — а ! < б, имеет меотанеравенсгво 1р(х) — А ~ <'е: Т6т. факчт что А: есть предел Г в точке а; принято записывать следующим образом; 1йп Дх)'=А' или Г(х)- А (х- а); Другое определение предела функции в: тачнее может быть высказано в терминах пределов последовательноетей: агат.
павдил гьинкции Число А назыиаетси гцмдалом:Фуняцаи:в:точке а,:если оиа определена .'ия -некоторой оирестиасти -точки а, за исключением, .быть может, самой точки.гг, и если предел гпоследавательнасти:(г. (х„)) .существует и равен А, какова бы:ни была последоаательдность,(х„», скодящаяся к а итака, ято *х„~а для всех;и. Таким. образом, !пп 1'(х') =г(. хп-~ч Кд Ф а 'Здесь считается, как и в других подобных случаях, само собой разумеющимся, что сходящаяся к а переменная х„ пробегает значения, для которыя 1(х) определена, 'Высказанные определения зквивалентны. В самом деле, пусть функция г' имеет предел.в смысле первого определения, и пусть задана переменная х,.ие .равная .ни при каком и числу .и и стремящаяся к а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
