Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Теорема 5 (критерий 1(ошн существовани я п редела). Для того чтобы суи(ествсвал предел (конечный) 11щ г (х), необходимо и достаточно, чтобы 4~ункк-~ а ция Г(х) была определена в окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и для всякого е>0 $ З.з придел Функции суи(ествовала такая окуеспгность 0 (а), что, какова бы ни были точки х', х'~ (1 (и), х', х" ~а, !1(х') — 1(х") / < е. Доказательство. Пусть Пш 1(х)=А, где А — конечное К -к а число; тогда существует окрестность а, где 1(х) определена, за исключением, быть может, самой точки а.
Кроме того, для любого в > О найдется такая окрестность (» (а), что если х Е (» (а), х ген, то (1(х) — А ! < е12. Пусть х'„х" ~ 0 (а) и х', х" ю а, тогда ! 1(х') — 1 (х ) ! «! 1 (х') — А !+ ! Л вЂ” 1 (хО ! < 2 + 2 — — э, в мы получили, что условие теоремы необходимо. Докажем достаточность этого условия.
Пусть функция 1(х) определена в некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точка а, н пусть для любого е > О можно указать окрестность 0 (а) такую, что ! 1 (х') — 1 (х«) ! < в для всех х', х" ~ (» (а), х', х" ю а. Зададим произвольную последовательность (х„), х„ ю а (а.= 1, 2, ...), стремящуюся к а. Тогда, со~ласно крнтернго Коши, для последовательности, стремяпгейся к пределу, найдется число лэ такое, что для л, и > пэ будет х„, х, ю 0 (а). Но тогда )1(х,) — 1(х„)! < е (л, га>ла), н последовательность (1 (хз)) удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел. Мы доказали следующее свойство рассматриваемой функции 1: для любой сходящейсн к а последовательности чисел х« 4 а существует 1нп 1 (х„).
Из этого свойства автоматически следует, что пределы 1!ш1(х„), соответствующие разным сходюцнмся к а яоследовагельностям, равны между собой. Но тогда существует 11ш 1(х). В самом к-к и деле, пусть х„- а, х„— «а; ха, х„ю а (~=1, 2, ...). Тогда по доказанному существу»от числа А и А' такие, что 1(х„) — Л н 1(х„) — «А', Составим новую последовательность: (х», х„хэ, хз, х, ...). Она сходится к числу а. По доказанному выше должна сходиться к некоторому числу и соответствующая последовательность (1(хд 1(хг) 1(хз) 1(х«), ...!. Но зто возможно, только если А=А'.
Таким образом, А =- А'. Теорема доказана. Теорема 6. Пусть (пп 1' (х) = А, !Ип гр (х) = В, где А и  — конечные числа. Тогда !Цп [~(х)-~ф(хЯ=А ~В, !Нп [1(х)ф(х)~=АВ «-к а «-«а и нри условии, что В~О, !Цп — = —. 1(х) А гр(х) В ' ГЛ. 3. ФУНКЦИЯ, ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ Докажем,для примера .второе равенстио. Пусть л„= а„ х„ -,ь а (л = 1, 2, ...); тогда Ип1~(х„)=А, Ищц(х„)=В, но так как предел произведения двух переменных, пробегающих последовательности„ равен произведению их пределов, то 1пп[р'(х„) р(х„)1=1ппр(х„)1Ьп<р(х,)=АВ.
Это равенство доказано для любой переменной х„- а, х„~ а, поэтому Ит [~ (х) ср (х)1 = АВ. кча По определению 1пп р(х) =во, если функция г'(х) опре.х-~-а делена на некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого положительного числа М найдется такая окрестность (у(а) точки а, что У (х)! > М (х 6 У (а), х чьо). Функцию, для которой 1Ьп 1". (х) ооа называют беско- нечно большой лри х- а. Если 1Ьп р(х)=.ао,и в некоторой окрестности топки.а кча функция 1(х) > 0 (соответственно р(х) с. 0)„то еще пишут Ит р(х) —.+ со рсоответствеиио 1(т 7(х)= — оо).
кча кч а Легко доказать следукхцие теоремы, Теорема 7. Если функция г(х) рдоалетеоряет нв некоторой окрестности а нераеенстер !) (х) ! > М > О, а длл функции <р(х) имеегп место 1пп ср(х)=0 бр(х)4=0 для хФ.а), Ит — = оо. г (к) ,„, Ч (к1 Теорема 8, Если Ит 7 (х) = А, Ит <р (х) = оо (А— х-+а х-+а число), то 1йп — = О. 1(х) к-+а т' (к) Следствие.
Если р(х) О (х — а, ф(х)чаО), то 1 1!Пт.— = ос, «-~а Ф («) и если ф (х) - ос (х - а, ~р (х) ~ О), «ло 1пп — = О, «е(«) Можно еще определить предел функции « в точке а (конечной) справа (слева), По определению число А называапся пределом функиии « в точке а справа (слева), если оиа определена на некотором полуинтервале (а, Ь) (1Ь, а)) и для иее существует Ит «'(х„)=А /соответственно !йп «(х„)=А ««ч а ««+а ««ьа «„ч« для любой указанной последовательности (х„). Предел справа (слева) функции «в точке а приннто обозначзть так~ «(а+О) 1пп«(х), (4) «-.
« «>а «(а — 0) 1пп «(х). (6) «+а «с« Если « определена на интервале (а, Ь), то в тачке а может иметь смысл только число «(а+О), а в точке Ь— только число «(Ь вЂ” О). 3 а м е ч а н и е. Равенства «(а+О) =«(а — 0) =А (6) зквивалентны существованию предела 1йп «(х) = А. (7), В самом деле, (6) можно выразить таи: Уз > 0 бб > О. «(и) — А) <и, Ух:. 0 <(х — а~ < б, х> а; 1«(х) — А~ <е, х; О<)х — а~ < б, х < а, Но зто можно выразить более кратно: Уз> О Вб> О: 1«(х) — А! <е, 'чх: 0<)х — а! <б, чэо эквивалентно (7), . гл.з.фгнкцня. пвадвл ьгнкции 84 й З.З.
Непрерывность функции На рнс. 15, а изображен график функции у= г(х) (а(х(Ь). Его естественно назвать непрерывным графиком, потому что он может быть нарисован одним движением карандаша без отрыва от бумаги. Зададим произвольную точку (число) х~~а, Ь1. Близкая к ией другая Ркс 18. точка х'Е~а, Ь1 может быть записана в виде х'=х+Лх, где Лх есть число положительное или отрицательное, называемое приращением х. Разность Л)". = Лу = г (х+ Лх) — ~ (х) называется приращением гйунниии Г в точке х, соответствующим приращению Лх. Здесь имеется в аиду Лх такое, что х+ЛхЕ~а, Ь1. На рис, 15,а Лу равно длине отрезка ВС. Будем стремить Лх к нулю; тогда для рассматриваемой функции, очевидно, и Лу будет стремиться к нулю: Лу- 0 (Лх- О). (1) Рассмотрим теперь график, изображенный на рис.
15, б. Он состоит из двух непрерывных кусков РА и Я)с. Однако эти куски не соединены непрерывно, н потому график естественно назвать разрывным. Чтобы график изображал однозначную функцию у= Р(х) в точке х„условимся, что Р(х,) равно длине отрезка, соединяющего А н х,; в знак этого точка А изображена на графшсе кружком, в то время как у точки 9 нарисована стрелка, указывающая, что 9 не принадлежит графику.
Если бы точка Я принадлежала графику, то функция Р была бы двузначной в точке х,. Придадим теперь х, приращение Лх, и определим со- вв З з.з, нгпнегьшносгь зо нкцнн ответствующее приращение функции: ЛР = Р (х + Лх) — Р (х<). Если мы будем Лх, стремить к нулю, то теперь уже нельзя сказать, что ЛР будет стремиться к нулю.
Для отрицательных Лх„стремящихся к нулю, это так, но для положительных вовсе не так; из рисунка видно, что если Лх„, оставаясь положительным, стремится к нулю, то соответствующее приращение ЛР прн этом стремится к положительному числу, равному длине отрезка АЯ. После этих рассмотрений естественно функцию г, заданную на отрезке [а, Ь1, называть непрерывной' в точке х етого отрезка, если приращение ее в втой точке, соответствуюи(ее прираи1ению Лх, стремится к нулю при любом способе стремления Лх к нулю. Зто (свойство непрерывности Г" в х) записывается в виде соотношения (1) нли еще так: (2) Вгп Лу=О.
з< о Запись (2) читается так: предел Лу равен нулю, когда Лх стремится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение <по любому законуя обычно опускают, подразумевая его. Если определенная на [а, Ь1 функция / не является непрерывной в точке хЕ[а, Ь1, т. е. если для нее не выполняется свойство (2) хотя бы при одном способе стремления Лх к нулю, то она называется разрывной в точке х, Функция, изображенная на рис. 1б,а, непрерывна в любой точке хЕ [а, Ь|, функция же, изображенная на рис. 15,б, очевидно, непрерывна в л>обой точке хЕ[а, Ь[, за исключением точки х„потому что для последней соотношение (2) не выполйяется, когда Лх- О, оставаясь положительным.
Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на этом отрезке (иптервале). Непрерывная функция математически выражает свойство, с которым нам приходится часто встречаться на пржстике, заключающееся в том, что малому приращению независимой переменной соответствует малое же приращение зависимой от нее переменной (функции). Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить различные законы движения тел з==Г" (1), выражающие зависимости пути з, пройденного телом, от времени Время и пространство непрерывны, при этом тот илп иной вб гл,.э.
Функция. ппвдйл'~ьункцим закон движения э ~(1) устанавливает между .ними одре. деленную непрерывную связь, характеризующуюся тем„ что малому приращению времени соответствует малое прирагцение пути. К абстракции непрерывности. геловек.пришел, наблюдая окружающие его так называемые сплошные среды — твердые, жидкие или газоббразные, например металлы, воду, воздух. На самом деле, всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы.по сравнению собьемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучить, если считать приближенно массу изучаемой среды.непрерывно распределенной без всяких 'просветов в занятом ею пространстве.
На таком допущении базируются многие 'физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Математическое понятие непрерывности, естественно, играет в этих дисциплинах, как и во многих других, большую роль, .Непрерывные.функции образуют основной класс функций, .с которым оперирует:математический анализ. ,Примерами непрерывных функций могут служить элементарные функции (см. нижеЯ.3:8). Они-непрерывны иа интервалах изменения х, где.оии определены.
Разрывные функции, в математике .отражают скачкообразные процессы, встречающиеся.в,нрироде..При ударе, например, величина, скорости тела меняется сначкообрвзио. Многие качественные переходы,.сопровождаются скачками. Например, зависимость Я =.г Н) между. температурой одного грамма воды (льда) и количеством Ц калорий находящегося в ней тепла, когда 1 изменяется между — !О' и +30', если принять условно, -что при — 10' велииина Я=О, выражается следующими, формулами: 0,51+5, 1О ~М <.О, Д(')= г'+85, ' 0<(<30. Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5. При,1=0 эта функция оказывается неопределенной —.многозначной; можно для удобства условиться, что при 5=0 она принимает вполне определенное значение, например )'(0) =45, Функция Я=~(1), очевидно, разрывная при 1=0, изображена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
