Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Каждому действительному числу (точке) х она пркводит в соответствие одно и то же число С. График ее есть прямая, параллельная оси х, отстоящая от этой оси на расстояние ~!С) выше этой оси, если С > О, и ниже, если С < О. Это непрерывная функция на всей действительной оси (см, зЗ.З, пример !). б) Степенная функ ци я х" (и — постоянная).
При натуральном а~ (г! эта функция определена на всей дейст. вительиой оси. Чтобы вычислить ее (теоретически!), раз- ЛатаЕМ Х В дЕСятНЧНугО дрсбЬ (Х= ~ а„С88888...) Н ПЕРЕ- множаем эту дробь саму на себя п раз, прймеияя каждый раз правило умножения десятичных дробей (см. ~ 1.6, (11)) и правило знаков. Функция х"' непрерывна, потому что она есть произведение непрерывных функций (у=х), взятых в конечном числе. Она строго возрастает на 10, Фо), что видно из соотношений хг — х",=(х,-х,)(хг' '+хз 'х,+... +хг ') > 0 при х, < х,. Кроме того, она стремится к + оо при х +со, В самом деле, если х)1, то х"=х"-'х'-:х (а> 1) и при х- ао, х"- со. Итак функция гр(х)=х" при натуральном а непрерывна, строго возрастает на 10, со) и для нее гр(0)=0, зпр чг (х) = + со.
Но тогда на основании теоремы .г8 (О, аг 1' у 3.6 функция у = х" отображает полуинтервал Х=10, со) на полуинтервал г'=10, о) и существует обратная к ней однозначная непрерывная строго возрастающая функция. Эту функцию обозначают так: Х=угг" = 1",' у (у>0) $3,8. элвмвнтАРнъщ Функции !Оо и называгог арифметическим значением корня и-й степени из у. Отметим, что при у > 1 (и ~ ~1) г"" у> „"г 1=1. (1) Подчерк нем, что если а есть произвольное неотрицательноее число (О < а < оо), то для него на основании сказанного существует и притом единственное неотрицательное число Ь= акт (арифмети«еское значение корня и-й степени из а) таксе, что Ьо=а. Мы сейчас доказали существование корня гг-и спгеггени из а(а:0). Этого утверждения в школьной математике не хватало.
Там вводилось понятие корпя и-й степени из а (аЪ 0) и изучались свойства корней и-й степени, однако ие доказывалось, что такие корни существуют †фа существовзния считался само собой разумеющимся. Отметим, что если и= 2й+ ! †чис нечетное (к -.= = О, 1, 2, ...), то функция у= х" нечетная (( — х)" = — х"). Она непрерывна, очевидно, строго возрастает на ( — о, оо) и обладает свойствами гп! х" = — оо, вир х' = + оо. лв(-г, йг г'в( а, Оэг Поэтому на основании теоремы 1' $ 3.6 функция у =х'"" отображает ( — оо, оо) на ( — оо, оо) и имеет на ( — оо, оо) обратную непрерывную строго возрастающую функцию х = ~Г у (у Е ( — оо, оо), и = 2/г+! ).
Здесь выражение ~/ у при у) 0 понимаегся как арифметическое значение корня и-й степени из у, т. е. как поло. жительное число, п-я степень которого есть у. Если же у<0, то У"' У= — и"'! И где в правой части корень понимается в смысле арифметического значения. Лля четною п=2к(й=1, 2, ...)у=х" есть четная непрерывная фушщия.
Она отображает интервал ( — оо, + о) на полуиитервал !О, оо). Но' она не монотонна на ( — оо, + оо) и обратная к ней функция двузначна; х=-(- ~' у (у)0). 106 гл. и. финкция. пикдвл и нкции Значение у = 0 единственное, для которого она однозначна. На рис, 30 и 31 изображены графики некоторыхфункций х", х'~".
Риа, 31. Рис. 30. В школьной математике функция х" определяется и для рациональных л, Пусть р, д~ й1. Полагают для х О хи~и ~~'хг и доказывают, что х 1«= ' м=(К х)' (х-"»О). Полагают также х '~ —, (х~О) 1 '/ хи и еще При этом доказывают для любого рационального п.свойство, характерное для степенной функции (ху)" = х "у" (х, у ~ О). Отметим, что функция у*=хам (р, д~ И), как вто нетрудно установить, непрерывна и строго возрастаег на полуинтервале [О, ао) и отображает .[О, оо) на [О, оо), поэтому она имеет обратную непрерывную строго возрастающую функцию, определяемую, очевидно, равенством х =уИи (О ( у < ао).
з ав. злвминтлиньш е~ нкцин !от Что же касается функции у=х-РИ (р, дЕ Х), то она строго убывает и непрерывна на интервале (О, оо) и отоб- ражает (О, со) на (О, со), Поэтому она'имеет на (О, оо) обратную строго убывающую непрерывную функцию, определяемую равенством х=у-Мз (у> 0), Очевидно, 1цп х-рм= + со, !нп у-мР= + со. х О х>0 з>з Степенная функция х" может быть определена (для х> О, а при а>0 и для х=О) также и для иррациональных а, но зто лучше сделать при помощи показательной функции а" (см, ниже в)). Отметим, что нас интересовали только действительные корни уравнения у=х . Но если бы мы искали комплексные корни, то для каждого уФО нашли бы а различныя корней (см. ниже З 5.3).
П р и м е р 1. Покажем, что 1ип ~У а = 1. (2) В самом деле, на основании формулы бинома Ньютона при Х>О (~+~) +~~+ 1 +'' > + в Если в этом неравенстве считать Х= ф'а — 1 а~2, см. (1)), то получим а> 1+" "~ ~(~"а — 1)* () 0 при или — > (т",~а — 1) > 0 (ау2). Извлекая квадратный корень (в смысле арифметического значения !), в силу строгой монотонности функции у х получим )/2/а > ~/а — 1> 0 илн 1/2/и+1> д/а) 1 (а в2).
юз гл. з, огикция. пивдвл отнкции Наконец, пользуясь непрерывностью функции )~ х з точке х О, после перехода к пределу при и- оо из (3) получим равенство (2) (см, теорему 5 3 2,1), в) Пок азательиая функция а" (а> О, аФ1). В дальнейшем будем рациональные числа обозначать гре. ческими буквами а, р, у, Пусть пока а> 1. Что такое а" при х рациональном иам известно из школьной математики (см. еще 5)).
Нам известно также из школьного курса математики, что; 1,) а" > О, 2,) а«аз=а"+з, 3) а" <аз (а(К а>1), 4,) (а )з = аоз, Добавим еще 5.) аૠ— ~+оо а — ~ -1-оо а > 1 Свойство 5,) мы сейчас докажем. Запишем а в виде а = 1 + Л (Л > О !).
Тогда а"=(1+Л)"=1+пЛ+...> 1+пЛ. Правая часть этого неравенства стремится к бесконечности при п- оо, следовательно, и левая. Далее, считая, что [а„),есть целая часть и„, будем иметь а" «а!о 1, И ЕСЛИ а„- +со, тО [а„! +со, СЛЕдОВатЕЛЬНО, а1" 1- +со. Но тогда а'".— +со. Пусть х — произвольное рациональное число. Докажем, что число а" можно определить как п1о«ную верхнюю грань зцр ао = а" (4) а<х «исел а", распрссгпраненную на все рациональные числа а«. х. В самом деле, на основании 3,) а" (а" 'та(х, (5) т. е.
выполняется первое свойство точной верхней грани, С другой стороны, построим какую-либо строго возрастающую последовательность рациональных чисел аю стремящуюся к х (и„- х). Для нее а"« — а', и- оо. Эгосвойство доказывается ниже (см. (8)). Поэтому для любого $8.8. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ в > О можно найти такое л, что ах — 8 <а (а", (6) т. е.
выполнено второе свойство точной верхней грани. Из (5) и (6) следует (4). Пусть теперь х — произвольное иррациональное число, и пусть т — натуральное число, большее х (т > х). Имеет место очевидное неравенство а <а", очх т. е. множество чисел а', распространенное на рациональные числа и < х, ограничено, Но тогда существует точная верхняя грань этого множества зпр а". юкх Это есть вполне определенное число, которое мы обозначим через а": (7) ах зпр аа окх Этям функция ах определена для всех действительных х (хЕ( — оо, оо)).
Она называется показательной функцией. Итак функция а» определяется как точная верхняя грань чисел а, распространенная на еое рпционалвнвие и( х. Если х — рациональное, то это определение совпадает со старым (дает одно и то же число), прн иррациональ- ных же х оно дает новые числа а". Можно доказать, что функция а", определенная при помогци равенства (7), обладает следующими важными свойствами: 1) а > О, 2) ахаУ ах+У 3) ах ( аУ (х < у, а > 1), 4)а*- 1,х- О, 5) а"- оо, х- оо (а >!), 6) ах О, х — о (а > 1), 7) ахУ = (ах)У. Отметим, что из свойств 2) и 4) следует непрерывность функции ах для любого значения х, Е( — оо, оо): ~ах ахе~ ~ахо(ах «~ 1)1 ах )ах хх 1 ~, О (6) при х — х,— О.
В дальнейшем будем считать, что а > 1. По ГЛ, 3., ФУНКЦИЯ* ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Доказательство 1). Для любого х существует аз < х; и. потому 0<па» <зорок Ух т е 0<ах Д о к а з а т е л ь с т в о 2), Пусть а < х и () < у; тогда а+ () < х+у. С другой стороны, пусть у есть произвольное рациональное число, удевлетворяющее йеравенству у<к+у Покажем, что у можно записать в виде у а+(), где а <к, () < у. (10) Из (9) следует, что у — у < х. Подберем рациональное а, для которого у — у < а < х, (11) (12) и положим ()=у — а. Тогда нз первого неравенства (11) следует, что ()<у, (1 3) Таким образом, множество всех сумм а+)), где а < х, р < у, ращю ьнюжеству всех Т < к+ у.
(а+ ()) = (у) а<х У<к+у Й<гк а" <УУ. Д о к а а а т е л ь с т в о 4). Для натурального л > а (а > 1(), 1 < ажк <,лж" =~. 1 к-» (см. пример 1 п,б)) и мы доказали пока, что 1!ив ом" 1 (14) Зададим теперь произво»тьную последовательность положительных чи~ел хь < 1, стремящуюся и нулю (х„- О, х„> О), Пусть Лк= (1/хк) — целаЯ часть !Гкк. Тогда 0 < хч ~ 1)йз и 1 .„„» < лк» а- оЫУ»» Поэтому ах+У аир пт ацр аа+з зир (оаа ) = зираа лир ла=аклУ У<к+у а<к а<к а<к р<у в<у к<у (см. у 2.0, задача 2), Доказательство о). Пусть х< у и )гк и)гз — какие лабе рацноицпьиые. числе,. длж которыя х < !)т < ()з < у.
Тогда, ахы аиро" чцаира ау'< орз~зирап=ау, а<х а<р, р<у и мы доказали, что 4 8.8. Злементдрногя Функции Поэтому а силу (14) Па а "=1. но тогда существует и левый предел 1 1 ! Па а'"= Па — „= —.„= =1, , а-" Паз" ! я<о -я>о о о>о (16) Из (!Ь) и (16) следует, что 1йп.аа ! (см. 6 3,2, (6), (7)). Зтим . -оо свойство 4) доказано полностью. Доказательство 5). Зададим как угодно большое число М > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
