Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Плотность распределения массы. Пусть (рис. 36) на отрезке (а, о1 оси х распределена масса вообще неравномерно, так что количество массы, нагруженной на отрезок 1а, х), равно М=Р(х) (а(х(6). Это количество пропорционально площади фигуры аАВх. Таким образом, М есть функция от х (М =с'(х)). Количество массы, приходящееся на отрезок (х, х+Лх1, очевидно, равно ЛР = Р (х+ Лх) — Р (х). Ч 4.Е ГВОМВТРИЧЕСКИИ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Д7 Средняя ееплотиостьнаэтом отрезке равна —, а предел др Игп — = г ' (х) = р дг Д„О ах есть истинная плотность распределения массы е точке х. й 4.2. Геометрический смысл производной Пусть на интервале (а, о/ задана непрерывная функция у=/(х). Ее график называется непрерыеной кривой.
Обозначим его через Г. Зададим на Г точку А=(х, /(х)) (рис. 37 и 38) и поставим целью определить касательную Рис. 37. Рт. ЭЗ. к Г в этой точке. Для этого введем на Г другую точку В=(х+Ьх, /(х+Ьх)), где ЬхФО (на рис. 37 изображен случай Ьх> О, а на рис. 38 — случай Ьх < О). Прямую, проходящую через точки А и В, направленную в сторону возрастания х (отмеченную стрелкой), назовем секуи(ей и обозначим через 8.
Угол, который 5 образует с положительным направлением оси х, обозначим через р. Мы считаем, что — и/2 <() < и/2. При 8 > 0 угол отсчитывается от оси х против часовой стрелки, а при 13 <0— по часовой стрелке. На данных рисунках 8 > О. На рис. 37 Ьх=АС, Ьу=СВ, а на рис. 38 Ьх= — АС, Ьу= — СВ. В обоих случаях Ьу/Ьх= 188. Если Ьх- О, то Ьу- 0 и точка В, двигаясь по Г, стремится к А. Если при этом угол 8 стремится к некоторому значению а, отличному от и/2 и — и/2, то сущеетвует предел !Нп — е 1пп 18 ~) = 18 сс, (1) ь, Одк а,х равный производной (конечной) от / в точке х~ Х'(х) = 1К и.
(2) !28 гл. 4. ДНФФерянгхиьльноя исчисления Обратно, если существует (конечная) производная 1'(х), то !)- а=агс12('(х), При стремлении р к а секущая д стремится занять положение направленной прямой Т, проходящей через точку А и образующей угол а с положительным направ- лением оси х.
Направленная прямая Т называется касапгельной к кри- вой Г в ее точке А. Определение, Касательной к кривой Г (у=~(х)) в ее точке А = (х, 1'(х)) называется направленная пря- мая Т, к которой стремится секущая 8 (направленная в сторону возрастания х прямая), проходящая через А и точку В=(х+Дх, 1'(х+Дх))Е Г, когда Дх- О. Мы доказали, что если непрерывная функция у=((х) имеет конечную производную г" (х) в точке х, то ее гра- фик Г в соответствующей точке имеет касательную с угловым коэффициентом 1на=)" (х) ( — пг2 <и < пг2), Обратно, существование предела 111п 5 = а ( — п12 < а < п,г2) влечет за собой существование конечной производной г'(х) и справедливость равенств (1), (2). Может случиться, что ( имеет в точке х правую и левую производные, отличные между собой: Г"; (х) ~ 1„'р (х), Тогда А есть угловая точка Г.
В этом случае касатель- ная к Г в А не существует, ио можно говорить, чтосуще- ствуют правая и левая касательные с разными угловыми коэффициентами: тнсгг= !пп — "=Г;(х), (кгхк=!Нп -"=Г,'р(х). * Оьх Ь Оьк Ьк<О Ьк>О На рис. 39 приведен пример такого случая. Пусть теперь производная от ( в точке х бесконечна: г'(х) = 1пп — в= оо. Ь ОД" Отметим четыре важных случая: 1) ~'(х)= 1пп де=+ о, д и (рис. 40). Ьк О гкк 2 2) Г (х) = 1пп — "= — оо, ~- — -" (рис. 41). Ь ОДх 2 4 4.», Гиомвтричиския смысл производной 129 3) ~,'(Х) 11П1 Д— "= — оо, Ьх-хи Д» 2' Ьх< О ар (х) ИП1 ДУ +, й -ий.
Ь РД» Ьх>0 Левая касательная перпендикулярна оси х и направлена вниз. Правая касательная перпендикулярна оси х и Рис. 40. Рис. 39. направлена вверх (рис. 42). 4) ~; (х) = йа = = + оо, да Ж д, ОДх 2' дх< О 1'„'р(х)= 1пп — = — оо, 11- ду и Ьх ОД» 2' Ьх> и Левая и правая касательные направлены параллельно оси у, первая вверх, вторая вниз (рис, 43), Рис. 41, Рис. 42.
Рис. 43. П р н и е ч а н и е. Обычное определение касательной к кривой Г следу1ощее: касательная Т к кривой Г в ее точке А есть прямая, к которой стремится секущая О, й Я,С. Вугрох, С. М. Нххольсххр 130 гл. «. дие внрннцилльнов исчислннин проходящая через точку А и другую точку В~Г, когда последняя, двигаясь по Г, стремится к А. В этом определении не предполагается, что 5 н Т— направленные прямые. Это определение вполне корректно в случае касательной не параллельной осн у. Однако если применить его, например, к случаю 4) (см.
рис. 43, где А — угловая точка), то получим, что данная кривая имеет в точке А единственную касательную. Вто не вяжется с нашим представлением о гладкости кривой, имеющей касательную. Приведенное нами определение дает в точке А две касательные (сливающиеся), имеющие противоположные направления. Угол между ними равен и, Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой (в плоскости), проходящей через точку (х„у„) под углом а к положительному направлению осн х ( — п)2<сс<п(2), имеет вид') у — у,=ги(х — х,) (лг = тиса). Отсюда уравнение касательной к крйвой у=1(х) в точке (х„у,) имеет вид у — у«=у«(» х«) (3) где у« — — У (х«), у« — — У'(х«) Прямая, проходящая через точку А~Г перпендикулярно к касательной к Г в этой точке, называется нормалью к Г в точке А.
Ее уравнение, очевидно, имеет вид у — у, = — —, (х — »,). 1 (4) у« Пример 1'». Найти уравнение касательной к кривой «+а«=«1 ( — И~~хб П) хз я« (5) в некоторой ее точке (х„у,), т. е. —, + —,, 1. Кривая (5) называется алхипоом. Очевидно, что эллипс расположен симметрично относительно осей координат, так как его уравнение не меняется прн замене х на ( — х) и у на ( — у). При выводе уравнения касательной будем ") См.
кашу книгу «Высшая Математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», 4 3. а) Примеры 1, 3, 3 можно рассмотреть в ф 4.6 после овладения техникой дмрфереицйровання. з ьь гвоматуичвскни смысл пуонзводнон щ считать, что — аа" х~~а, О~уод~Ь Иа (8) имеем у= — у а' — х'.
а о — Ьх Отсюда у. Вычислим функцию у и производную у' в точке х,: уо=у(хо) = „у о хо у (хо)= ..— о ау ао — 4 Ьо уоу (хо) - — †„о хо (8) Уравнение касательной к эллипсу в точке (х,„у,): 1' — у, = уо (х,) (Х вЂ” х,). (7) Умножая (7) на Уо1Ьо, в силу (б) будем иметь ууо уо, „,. о„о 7Ху, х,уо1 у'уо уо Ххо, 4 о + Ьо Ьо ( Ьо Ьо / ' Ьо Ьо ао ~ ао ' Так как У нас †,' + Уоо = 1, то УРавнение касательной ааа' пицоетсяо (8) ао Таким образом, чтобы получить уравнение касательной к эллипсу в ето точке (х„у,), нужно в уравнении эл- липса (8) заменить х' на Хх, и у' на Ууо.
При отрицательных значениях у( — Ь~у СО) рассуждения те же самые н (8) будет уравнением касательной в любой точке эллипса (х„у,). Из уравнения (8) видно, что касательная к эллипсу в ето точке (х„у,) пересекает 132 Гл. с диФФеивнцизльное нсчислкниа' ось х в точке с абсциссой а'!х„ т. е. при х, ) 0 ата точка пересечения находится правее эллипса, а прн х, < 0— левее (рнс. 44). П р н и е р 2. Найти уравнение касательной к кривой у — — ",.=' (1~!» ) (9) в некоторой ее точке (х„у,) 1 + — ф= 1). Кривая (9) называется гиперболой.
Эта кривая также симметрична относительно осей координат. Проводя рассуждения, как в примере 1, получим уравнение касательной к гиперболе в виде —,—, =! (~ х, ! ~ а). аа Ьа Точка пересечения этой касательной с осью х имеет ае абсцнссу а'!х, (О < — ( а), т. е. эта точка пересече- ! ха! Рис, 45. Рис. 46, ния находится в (О, а| для х,~а и в 1 — а, 0) для х,(,— а (рис. 45).
Пример 3. Найти уравнение касательной к кривой у'=2рх (х~О, р) 0) (10) в некоторой ее точке (х„у,) (у,'=2рх,). Данная кривая называется параболой. Она расположена симметрично относительно оси х (т. е. в (10) х является четной функцией от д). В силу этого достаточно рассмотреть верхнюю половину параболы (д > 0). Из (10) имеем у=$' 2рх. (РО ) о о.з. пооизводныа злвмвнтАРных Функний 1аа Отсюда у' ° — ~, у, у 2рх„у'(х,) =*— У 2Р»о у 2р»о Ио Уравнение касательной к параболе в точке (х„у,) уо — у (хо) (Х 'о) или уо = (Х ко)о 1 уо уо=РХ Рхо Уо Так как У3 2рх„то 1 Уо = Р (Х + А'о) (11) й 4,3, Производные элементарных функций Постоянная С вЂ” каждому х соответствует одно и то же значение У=С. Таким образом, значению х+Лх соответствует значение функции у+ЛУ= С.
Следовательно, С'= 1пп — = Игп — „= 1пп 0=0. ~ — 0 . О (1) А» о Л» А»- о~» а» о Степенная функция х" (п=1, 2, ...). (Хо)о яко-о потому что (2) — 1(х+ Лх)" — хо) = 1 Ь» !1»о+ пхо-'Лх+ х" 'Лх'+... +Лх" — хо) = 1 Г и (п — 1) 2! пх" о+~(п — ~хо »Лх+... +Лх о — пх 2! А» О Таким образом, чтобы получить уравнение касательной к параболе в ее точке (х„у,), нужно и уравнении параболы (10) заменить у' на Гу„, а 2х на Х+х,. Касательная (11) к параболе (1О') в ее точке (х„у,) пересекает ось х в точке с абсциссой ( — к,) (рнс. 46) независимо от величины р, т. е. касательные к любым параболам у' 2рх в точке (к„у 2рх,) пересекают ось х в одной и той же точке ( — х,).
13$ гл * днФФвоинцняльнон исчислении Справедливы формулы (и ХИ о)" и' ~ о', (3) (4) (5) Здесь предполагается, что и. и(х), о=о(х) — функции от х, имеющие производную в точке х, В случае (5) дополнительно предполагается, что о(х) чь О. Утверждается, что в таком случае в точке х существуют производные, стоящие слева в равенствах (3), (4), (Б), и зтн равенства верны. В самом деле, зададим Лх. Новому значению х+Лх аргумента соответствуют новые значения наших функций и+Ли, и+Ло н Л (и ~ о) = ((и+ Ли) ~ (о+ Ло)) — (и ~ о) = Ли И=, Ло„ (и ~ о) = Ит — Игп — =,И ! пп — = й .е. о .
Л(иди) ... Ли . Ли ах-«" О лх ах «оах ах ~ О ах Далее (пояснения ниже)„ Л (ио) = (и+ Ли) (о+ Ло) — ио=и Ло+ о Ли+ Ли Ло, (ио)' 1пп — 1пп Л !ии) . или+или+ЛОЛО а. О "" а-О Лх = и ! Нп — + о 1нп — + )пп Ли Ит — = Ли . Ли Ли ах-«О ЛХ ах «О ЛХ ах «О ах.+О ЛХ =ио'+ ои'+ Оо' = ио'+ ой. Нало учесть, что функция и, как имеющая производную, непрерывна, и потому Ли О при Лх- О. Наконец, Ли Ли и — и— И1п Лх Лх и'и — ии" ах + и !и-~- Ли) и их Снова кало учесть, что Ло О при Лх- О, потому что функшгя о„как имеюп)ая производную, непрерывна.
Рассмотрим функцию з)п х. Тогда (з1п х)' = соз х, (6) в ов. посивзаодиыя аляввянтвенык охнвсцин )ач Иадо учесть, что функция созх непрерывна. Аналогично доказывается, что (соз х)' — з!и х, (тц х)' веса х = —, (е(д х)* — совес' х вой (7) (8) (9) В самом деле, например, !'в$п х') ' сов х !вЫ х!' — вивх (сов х!' совах сов» х+аМв х ! =* зес" и. сов» х сов» х Для функции у=!ои,х (х> О) имеем ок»( +в) ! оя»! + ! Используя замечательный предел 1ип оа'! + )=!оя,е, ».» 0 получаем (1 он» х) — „!Оя» в г $ 1 (10) В частности, (1п х)' (10') потому что тг х Ь»1 23йз — сов в+в В впв (х+лх) — вивх ., 2 2 / вх- в ох ахн дх Лх в~п— 2 / ох 1 =- 1Ьп — !пп соз ~х+ — ~ =1 сов х=созх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
