Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть В= =(х, 1(х)) — другая точка кривой Г, Расстояние от В до ь в направлении оси у равно р (х) =17 (х) — у,— гл (х — хз) 1. (1) На рис. 48 р (х) =ВВ. Прямил ь иазызиепсл хосалмльиой к Г е лзочхе А, если р (х) = о (х — хз). (2) л, Рнс. 48 Если прямая Ь есть касательная к Г в точке А в смысле первого определения, то ю= 1'(хз). Так как 1 днфференпируема, то 1(х) — 1(хз) = К' (хз) (х — хз) + о (х — хз) х — хз откуда р (х) =-11 08 — 1 (хз) — Г (ха) (х — хз) )=о (х — хз), х — з хз, т.
е. прямая ь является касательной в смысле второго определения. 3 КВ. ПРОИЗВОДНАЯ ЗЫСШИГО ПОРЯДКА 14з Обратно, пусть ь является касательной в смысле второго определения. Тогда (см. (!) и (2)) р (х) ! Г (х) — Г (хе) — и) (х — хе) ! о (х — хе) х > хе али, что все равно, ) (х) — ( (хе) л) (х — хе)+о (х — х„) при х - хе. Зто показывает, что функция )" диффереицируема в точке х, и л)=Г) (х,). Но тогда д есть касательная в смысле первого определения и ее уравнение имеет ввд у-уо-р (хе (х-хе).
Замечание. Из сказанного следует, что кривая у=)(х) имеет касательную в точке (хе, Г(хе)) тогда и только тогда, когда функция ( двфференцируема в точке х«. 2 4.9. Производная высшего порядка Пусть на интервале (а, Ь) задана функция г. Ее производная, если она существует на интервале (а, Ь), есть некоторая функция Г'(х). Мы ее будем еще называть первой производной. Но может случиться, что первая производная имеет в свою очередь производную на интервале (а, Ь). Эта последняя называется второй производной от Г или производной от г' второго порядка и обозначается так: )'(х) = ~'е) (х) = (~' (х))' или у" = (у')'.
Вообще, производной от функции г порядка и называетея первая производная от производной от Г порядка и†1 и обозначается так: гоо(х)=(Г'» "(х))' или так; уон (у'"-")', Если речь идет об определенном фиксированном значении х, то символ г'») (х) обозначает производную и-го порядка от Г в точке х. Для ее существования необходимо существование производной г'» " не только в х, но и в некоторой окрестности х. Примеры.
!о ( «))») « 2 (а»)' а» )па (ах)", а» )ива (а»))») а» )и» а 3', (хм)'=тх ', (х")'=т(т — !)х""', (хю))») т (т 1) (т и + 1) х») Если т натуральное, то, очевидно, (х")'"*'=т1 и (х")'») ==О (и > т). 1(6 ГЛ. Ф ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4'. (3!пх)' ~ соз х *= з(п~х+ — "), (з1пх) (з1п(х+-)~ =з!п(х+г — ), ("пх)'"-"п1х+" я) б'. (созх)1"'=сов ~х+и — '" 1, 2)' Однако далеко не для всякой функции удается найти общие формулы для их п-х производных. У п раж вени е. Используя метод математической индукции, доказать формулу (Лейбница) для производной п-го порядка от произведения двух функций » (ио)1»1 ~~~~ ~С«и1» но1м «з где и и о имеют производные до порядка л включительно, С«з(я 1) ''( «+!)»( ()1 1 «! ж (» — «)! ' $4.10.
Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка Если на интервале (а, Ь) задана функция у=((х), то ее, очевидно, можно представить бесконечным числом способов как сложную функцию у=1р(г), г=1р(х). Таким образом, у можно рассматривать как функцию от х (у=((х)) и как функцию от г (у=1р(г)), где г в свою очередь есть функция от х(г» ф(х)). Аргумент х мы будем называть независимым, подчеркивая этим, что на протяжении наших рассуждений х ие будет рассматриваться как функция какой-то переменной. Аргумент же г будем называть вависимыи (от х!). Дифференциал от функции у=((х) в точке х есть, как мы знаем, произведение производной от ( в этой точке на дифференциал независимого переменного ду = г' (х) дх, $4.!О.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА ИУ Здесь йх есть произвольное число. Оно не зависит вт х. Это сказывается в том, что производная от йх по х равна нулю' (йх)' = О. Дифференциал от функции называют еще первым дифференциалом. По определению вторым дифференциалом от функции у=) (х) в точке х называется дифференциал от первого дифференциала в втой точке и обозначается так: йпу = й (йу). Чтобь! вычислить второй дифференциал, надо взять производную по х от произведения ~'(х)йх=йу, считая, что йх есть постоянная (не зависящая от Х1), и результат помножить иа йх: й'у=йу'(х) йх1=йхйт(х)1=Г(х) йх'.
йп»' й (йп-! ) йпу г(л! (Х) йлп Очевидно, потому что зча формула верна при и= 1, а если допустить, что она верна для и — 1, то йпу=й(~'и "(х)йхп !)=-йхп"пйД'и п!(Х)1 ~!и!(Х)йхп. Конечно, для существования дифференциала порядка и функции у=~(х) в точке х необходимо, чтобы ова имела производную ~!и!(Х) порядка и в этой точке.
В силу (1) имеем ипв у и>-~сп>(Х) -— (2) т. е. производная п-го порядка от функции у по независимой переменной х равна частному от деления и-годифференциала у на йх'=(йх)". В дальнейшем мы узнаем, что формула (2) неверна, если в ией независимую переменную х заменить на зависимую г (см. далее (4)). Вообще, по определению дифференциалом порядка п функции у=(х) называется первый дифференциал от дифференциала (и — 1)-го порядка втой функции и обозначается через 148 Гл. ь диФФвгенцияльиое исчисления Мы определили дифференциалы первого и, вообще говоря, высшего порядка от функции у=7'(х), где х есть независимая переменная.
Но функцию у, как это было отмечено выше, можно еще записать в виде у=~э(г), где г есть некоторая функция от х (г=ф(х) 1(х) = = граф(х)1). Возникает вопрос, как выражаются введенные нами дифференциалы на языке (зависимой) переменной г. Для первого дифференциала этот вопрос решается следующим образом: йу=у,'с(х= у,'г',йх=у,'(г',с(х) =у,'с(г. Мы видим, что дифференциал функции у равен произведению ее производной у,' на йг; йу = уйг, (3) т. е. первый дифференциал функции у выражается по од. ной и той асе формуле независимо от того, будет ли у рассматриваться как функция от независимой переменной х или ст зависимой переменной г, Форма первого дифференциала (см. (3)) сохраняется, поэтому говорят, что первый дифференци л имеет инвариантную форму нли еще имеет инвариантное свойство. С дифференциалом высшего порядка дело обстоит уже ие так.
В самом деле, если рассматривать у как функцию от г (у=~р(г)), то получим (см. й 4.7, (4)) Уу=й(йу) =й(~р'(г) йг1=дгй(ф'(г))+~р'(г)й(дг) = = (р" (г) йР+~р' (г) йвг. (4) В последнем равенстве мы применили инвариантное свойство первого дифференциала, и силу которого а (цу (г)) = = ~р" (г)йг. Кроме того, учтено что й(йг) йвг. Величиной а'г, вообще говоря, нельзя пренебрегать, ведь оиа определяется равенством срг = ф" (х) йх'. Правая его часть равна нулю (для всех х!) только, если ф(х) есть линейная функция (ф(х) = Ах+В).
Мы видим, что (выраженная через г) форма второго дифференциала не сохранилась — к числу ~р" (г)йг' добавилось слагаемое ~р' (г) сРг, вообще говоря, не равное нулю. З 4.»ь теОРемы О сьвднвм знлчвнии . 149 $4 11 Дифференцирование параметрическн заданных функций Пусть зависимость у от х выражена через параметр 1» 1 ~ (а Ь) (1) у-Мг) Это надо понимать в том смысле, что существует обратная функция для функции х=»р(1) и можно написать явную форму зависимости у от х: у = ф ~»р"' (х)1. (2) Будем искать производную от у по х через производные от х и у по Е Будем употреблять обозначения у„', у„х»,..., х"„ун где буква внизу означает, по какой переменной берется производная. В силу ниварнантности формы дифференциала первого порядка у„'=йу»йх. Но йу=у»йг, дх=х;Ж.
Поэтому у,' =- Д (х;ФО). (3) к» .г(ля производной второго порядка получаем Подобным образом можно получить формулы для производных у,'"' по х порядка и ) 2 через производные от хиупог. $4.12. Теоремы о среднем значении По определению функция Г' достигает в точке х с локального максимума (минимума), если существует окрестность Мпой точки с» (с) =(с — Ь, с+6), на которой выполняется неравенство ~(с)~~~(х) УхЕУ(с) (1) (соответственно» (х) )» (с) Ух Е (» (с)). (') Локальный максимум или минимум называется локальным экстремул»ом. Точка с называется точкой локального экстремума.
Замечание 1, Если функция Г непрерывна иа отрезке (а, о1 и достигает иа нем максимума (мииимума) Ю Гл а. ДНФФеренцидльное исчисление Если же Ах<0, то ) (с+ах)-((с) ах поэтому, переходя к пределу прн Ах 0 в этом неравенстве, получаем, что 1' (с) -.- О. Из соотношений (2) н (3) вытекает, что ~'(с) =О. (3) в точке сЕ(а, Ь), то, очевидно, с является в тоже время точкой локального максимума (мнннмума) Г. Другое дело, если максимум (мнннмум) Г на [а, Ь) достигается в одной из концевых точек отрезка. Такая точка не является точкой локального макснмума (мнннмума) (, потому что / не определена в полной ее окрестностн (справа от нее н слева).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
