Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если предел справа в (1) не сущест- вует, то предел слева может существовать. Пример 1. Так как а!охах, то 1 хзз!и х ! Ищ — = Ит хэ(п — =О. з!и х „,„з х Отако ! !' ! ! х'з!и — ) 2х ми — — соз— 1йп, = Ищ (з!и к)' х з сиз х не существует. Замечание 2. Если выражение —,представляет р (х) е' (х) неопределенность вида — и функции )' (х), л (х) удовлето воряют условию теоремы 1, то Ит — = 1пп —,=- Ит —. Р(х) р (х) Г (х) . у (х) „ .
а'(») „ , а" (к) ' При этом эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует третий предел, то существует и вто- рой и первый. Теорема 2 ~ — ~ . Пусть ) и и определены и ди44е- ~ Фа, ренцирцелаы в окрестности точки х = а, Ит ) (х) = х а = 1пп н(х)=со, д(х) и й'(х)чьО в этой окрестности, х->а тогда, если 3 Ищ —,, то31пп— р(х) . Р(х) к а а' (к) ' х а а (х) Ищ — = 1пп —, ! (к) . р (х) х -+ а а (х) » а а (к) Доказательство этой теоремы мы не приводим; Замечание 3.
Если о=-ои, то заменах 1П сводит дело к а=О: 1пп = — !пп —,' =!пп,, = Ип! 1(х) ° 1 (1»О ° И (Ю))' ° Г (1У) ( — 1дч) л(х) ! ь г(!)!), з (у(!Р))', з д'(ИО( — !У=) 1пп —, р рд д'(х) ' 166 Гл. 4. димов!»ващилльнов исчислвнив Выражаемые теоремами 1, 2 правила, в силу которых вычисление предела етнон!ения фувкпий может быть сведено к вычислению предела отношения ик производных, называют лрааилол! Лоаиталл, по имени математика, который сформулировал зто правило, правда, для весьма простыл случаев.
Впрочем„это правило было известно И. Бернулли до Лопиталя"). Пример 2. Вп! — "„О а!а > О, а > 1. «-» Ф Здесь мы имеем неопределенность вида ( — ). Применяя правило Лопиталя й раз (А»и, при а натуральном й=сс), получим х« 'сх«-» !пп — „Ип! -„-=О. а» „„а" ие а)е Пример 3. Бп! — О Уса > О. )их «-» « Функпии х и 1пх удовлетворяют всем условиям теоремы 2, позтому Нп! — Ию — „, = Нп! — =О. ')их .
17« . ! «„„*, „мх -,' Кроме рассмотренных неопределенностей, встречаются неопределенности вида О ее, О', осе, со †, 1", определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся о к неопределенностям — илн — алгебраическими преобразованиями. а. Неоаределеняаапь О ео()!(х)д(х), 1(л)- О, л(х)- со при х- а). Ясно, что ~(х)й(х)= —,( — ) илн 7 л= — ( — ). ') Г. Ф. Лециталь (1661 — !704) — фраицуаский математик. И.
Бериулли (!667 — 1746) — швейцарский математик. з *и. иоемрлл гавлова Пример 4, 1пп х" 1пх О Уа>О! 11п! х" )п х = 1пп — = ~ — ~ 1пп 1пх (еет . 1/х а-+ е а-ве л ае ае е = — — 1(пт х О. 1 и и-~е б. Неопргделаиюста зада 1", Ое, ео' для выражения ~х сводятся к неопределенности О ое, Согласно определению атой функции ухе вита!(~ О). Если Ипт д1п 1=1, в. Илол)мделенноапе ее — ео Д (х) — л (х), г - + ео, д' +ее при х — а).
Легко видеть, что 1 1 I-а=.1 — — = — '-' 7 7 7'а 5 4.14. Формула Тейлора' ) Рассмотрим произвольный мяогочлен степени а! П Р„(х)=Ь„+Ь,х*... +Ь,х" = Х Ь,х', а=а где, таким образом, Ь вЂ постоянн числа †коэффициенты многочлена. Пусть х, †люб фиксированное число.
Полагая х= (х — х„)+х„получим а Р„(х)= Х ЬаД(х — х„)+хД», а=а откуда, возводя в степени квадратные скобки и приводя подобные по степеням х — х„получим выражение для Р„(х) !) Б. Тейлор (!685 — !731)-.акглийский математик.
160 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЙ в следуюгцей форме: Рл (х) =а»+пг (х — хл) + . +а„(х — хл)" Х и» (х — х»)"1 ».О (2) называемое разложением мноеочлена Р„(х) по спгепенлм (х — х,). Здесь а„а„.. „а„— числа, зависящие ог (гг н х,— коэффициенты разложенйя Р„по степеням х — х,. Например, а, =Ь, +(ггх, + .. +(г„х",. Нз (1) очевидно, что Р„(х) на самом деле от х, не зависит. Найдем последовательные производные Р„(х): Р„' (х) а, + 2а, (х — х,) +... + па„(х — «,)л ', Р„"(х) = 1 2а, + 2 За» (х — х,)+... +гг (п — 1) а„(х — х,)" ', Р1»г (х) =1 2...йа»+... +п(гг — 1)... ... (и — й+1) ол(х — х,)" » Ргл'(х) =1 2...
Ла„. (3) Производные порядка выше п равны нулю. Полагая в формулах (2) и (3) х=х„получаем Р„(х,) = а„Р,', (х,) = а„ Р;; (х,) = 1 2а„..., Р,',"' (х,) = й! а»... „Р7' (х,) = п! а„ (4) где мы считаем О! =1, Р„'"'(х)=Р„(х). Формулы (4) показывают, что один н тот же много- член Р„(х) степени и можно разложить по степеням х — х, единственным образом, т. е.
если для всех значений х Р„(х) = К ()» (х — х,)" = К Ц(х — х,)», » а »=о где (3» н р» †постоянн, то р» =()» (А =О, 1, ..., п). Ведь как числа )1», так и ))»' вычисляются по одной и той же формуле (4). з 4Л4, ФОРмулА твилОРА 161 В силу (4) формулу (2) можно переписать так! р(а! Ра(х): Р„(х,)+ — ", ')(х — х,)+... + — "„, ' (х — х,)а= а -" —,-Р- (х — х,)А. (2') в О Формула (2') называется формулой Тейлора для много- члена Р„(х) но опер!снам (х — х,).
Отметим, что правая часть (2') фактически ие зависит от х,. Пример 1. Пусть Ра(х)=(а+х)" и х,=О. Тогда в силу (2') " р(ь(о) Р, (х) = ~~~~ — "„х", Еаа где в данном случае Р'„"(х)=»(л — 1) ... (л — й+1)(а+х)а ", Р,"' (0) = » (п — 1) ... (п — й+ 1) аа ", и мы получили известную формулу бинома Нею!лона (а„( х)а ~~~~~ »(» ~) "' (» ~+~) аа-Ахз (к) м в=о Рассмотрим теперь любую функцию 1(х), которая имеет непрерывные производные всех порядков до (а+1)-го в некоторой окрестности точки х,. Мы можем формально составить многочлен а Я„(х) = ~~' —,"' (х — х„)А, вар которой называется много»ленам Тейлора а-й степени или п-м много»ленам Тейлора функции Г по степеням х — х,. Многочлен Я„(х) совпадает с функцией 1(х) в точке х„ но для всех х он не равен Г(х) (если Г(х) не является многочленом степени и).
Кроме того, 1е„'(х,) =Г'(х,), ..., Щ'(х,) =Г'"!(х,). Положим ( (х) Я„(х) + г, (х). а я, с, Бр!рак, С. М, Нвкааввква ГЛ. Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ шг Формула (8) носит название формулы Тейлора для функции г(х); г„(х) назьвается остаточным членом формулы Тейлора,— подробнее, и-м остаточным членом формулы Тейлора функции г ло степеням х — х,. Функция «,(х) показывает, какую погрешность мы допускаем при замене Г(х) на многочлеи Тейлора (6). Найдем выражение для «„(х) через производную(("+" (х).
В силу (7) и (8) «„(х,)=г„(х,)=... =г„""(х,)=0. Положим (р(х) (х — х,)'+'. Ясно, иго(р(х,)=(р'(х,)=... ф(ю(х,)=0. Применяя теорему Коши к функциям г,(х) и ф (х), будем иметь ;Л( (*( — (' ' (*( (((-4(ы( (( ( ~(( ~("(-~(*,( Ъ'(*( ~'( (-~ (*( «х ' (х„) «в ' (х„) — «в"' (х(() Ф("( (х„) ф("' (х„) — фы( (х ) ((+ ф" (кД ('1'о(» +д ~~" '(* ( где с х„+~ — некоторая точка, лежащая между х, и х.
Таким образом, формулу (8) можно записать в виде х 1(х) ~~)~, - Т( о (х — х,)' + „+,, (х — х,)"+'. Рх( хо) 1("+'( (с) е о (8') Формула (8') называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лаеранжа, 1»1ы доказали важную теорему. Теорема 1, Если функция г имеет з окрестности точки х, непрерывную производную г"+'(х), то длл люба-' ва х из втой окрестности найдетсн точка с Е (х„х) такал, что 1(х) можно записать по формуле (8'). Здесь с зависит от х и и. Если точка х, О, то формулу (8) называют формулой Маклорена. Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Так, большое значение имеет форма Коши г„(х) "' г("+и (х, + 8 (х — х,)), (10) (х, Е(х„х) и х„+,Е(х„х„), А=1, 2, ... и). Но ф'""'(х) ( +1)1 А'о(х) — У("'о(х) — 0=Ум"'(х) Следовательно, г (х) ( ') 1("+х((с), (п+ ))! (0) Ь 4 >С ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА где 0(0 < О < 1) 'зависит от и и х.
Вывод втой формулы будет дан в 2 6.5: Уменьшая окрестность точки х„получим, что произВОдиая )>ь Ь»(Х) ЕСТЬ НЕПрЕрЫВНая фуНКцня От Х На ВалннУтом отРезке 1хь — б, х,+31. Но тогда она огРаннчеиа на этом отрезке: !Р>сь> (х)!<!)>)о (хь — б:- х<х,+б) (11) (см. $ 3.5, теорема 1).
Здесь !Ȅ— положнтельное число, не зависящее от указанных х, но, вообще говоря, зависящее от л. Тогда 11>ь+»(с)! „+, М„1х — хь!"+> ! Рн (х) ) < („+ )х — хь !" +' а-, '"(н+,',, (12) )х — х,~<6. Неравенство (12) можно использоиать в двух целях для того чтобы исследовать поведение гн(х) при фиксированном н в окрестности точки х, н для того, чтобы исследовать поведение гь(х) при и- ао.
Из (12), например, следует, что при фиксированном л имеет место свойство сн(х)=о((х — х,)"), х- х„ (13) показывающее, что если го(х) разделить на (х — х,)", то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при х х,. В силу (13) из (8') следует) и ) (х) = ~', — '(х — х,)" +о ((х — х,)"). (14) !>х>(х 1 ь=о х-«х, Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано'). Она приспособлена для изучения функции р в окрестности точки х,.
Т со р е ма 2 (ел к н с т не н н ос та). Пусть одна и н>а жв функции 1 ив равличных соображений охавалась нрсдса>аамнной в Фс!нсвнос>ни о>охни хь в виде 1(х) =а>+а, (х — хь)+ ... +а„(х — хь)" +о((х — хь)")> 1 1(х) = Ьь-1-Ь> (х — хь) + „, +Ь„(х — хь)" +о((х — хь)"). ) х «хв ') Д, Пеано (!ЗЬЗ вЂ” !932) — нтвхькпскна математик. 164 ГЛ.
4. ДНФФВРВНЦИЛЛЬНОВ НСЧИСЛЕННП Тогда ао=Ьэ (Ь О, 1, ..., н). (Рд) Доказательство. Исаи приравнять правые части (15) н перейти к пределу нрп х — хе, то получим ао=Ьз. Тенерь з этом равенстве можно сократить на (х — хз) (х ~ хе) и внять перейти к пределу прн х — х,. Тогда получим а,=ЬЬ И так продолжаем до тех пор, пока получим а„=Ь„. Пример 9. Мы знаем, что л ~~~~, хо= (х Ы!), о о Поэтому 1= я — (— (Ь=О, 1...,; л). ы (19) Поведению остаточного члена формулы Тейлора при и- оо посвящен следующий параграф. $4.16. Ряд Тейлора' ) Выражение не+и,+,*у или еще $ аэг (1) где аз †чис, зависящие от индекса й, называется рядом.
Конечные суммы 8„=,'~~,' ао (а=О, 1, 2, ...) о о ') И. Бернулли получил ряды, которые мы связываем с именем Тейлорз, в 1694 г., а Тейлоо получил их позднее — в 1716 г, (см. Известия ИМН АН, 1896, И1, Ьй 4, Н, Я, Сонин). л л 1 хлоз чч ф(х)= — =~ хл+ — =~ ха+о(х"~. (17) 1 —.т 1 — х х о о о о С другой стороны, функция ф имеет в окрестности точки х .0 производные лк6ого порядка, поэтому для нее имеет место формула Тейлора е остатком в форме Пеано (,) ~и~~ ~Ф~(0) х«+ („„) (щ) =о Ь1 Сопоставляя формулы (17) и (18), иа основании теоремы едннствен.
ности получим Фрпр. РЯД ТЕЙЛОРА называются частичными суммами ряда (1) (илн (1')). Если существует конечный предел 1пп 8„=8, (2) то говорят, что ряд (1) сходится к числу 5 и называют В суммой ряда. При этом пишут Я= Х а, а,+а,+а,+... «=о Если предел частичных сумм Б„ (при и - со) ряда (1) не существует или равен ьо, то ряд (1) называется расходящимся. Пусть теперь функция 1 имеет производные любого порядка в окрестности точки х,. Для такой функции можно составить ряд следующего вида: р (х ) )(хр)+ —,' (х — х,) + —,' (х — х,)'+... (3) или короче ~ —,, ' (х — х„)».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
