Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. в точке, имеющей абсциссу х,) расположена выше (ниже) самой кривой (на рис. 55 в точке х, кривая обращена выпуклостью книзу, в точке х,— кверху). Вместо слов «выпукла кверху (книзу)ю употребляются слова «вогнуп«а кни у (кверху)м Говорят, что точка х, есть точка перегиба кривой у=)(х), если при переходе х через х, точка кривой (имеющая абсциссу х) переходит с одной стороны касательной на другую (на рис.
55 точка х„— точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно 'малое 6 > 0 такое, что для всех хЕ(х,— 6, х,) кривая находится с одной стороны касательной в х„а для всех хс ~(х„х,+6) — с другой. Рис. вь. Указанные определения вы- деляют возможные расположения кривой относительно касательной к ней в достаточно малой окрестности точки касания.
Но не нужно думать, что эти определения исчерпывшот все возможные случаи такого расположения.Для функции О, х=О, Р(')= "з1 1„.Фо, ось х пересекает и касается графика функции в точке х=О и х=О не есть точка перегиба. Теорема !. Если функция !" имеет в вояке х, вторую непрерывную производную и 1 (х,) ) 0 (< 0), гпо кривая у=) (х) обращена в х, выпуклостью книзу (кверху). Доказательство.
Разлагаем ! в окрестности к=х, по формуле Тейлора Г (х) = 1 (х,) + ~' (х) (х — х,)+ г, (х), ге(х)-( ') ~" (х,+О(х — х,)) (О < О < 1). Запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке, имеющей абсцнссу х: У-((х«)+ Г (х.) (х — х.). Тогда превышение кривой )' над касательной к ней в точке х, равно Г(х) — У* г,(х). 4 4,1$, ВЫПУКЛОСТЬ КРИВОЙ.
ТОЧКА ПВРИГИВА (79 Таким образом, остаток Г,(х) равен величине превышения кривой 7 над касательной к ней в точке х,. В силу непрерывности 7", если 7" (х,) > О, то и 7" (х,+8(х — х,)) > 0 для х, принадлежащих достаточно малой окрестности точки х„а потому, очевидно, н Г;(х) >0 для любого отличного от х, значения х, принадлежащего к указанной окрестности. Значит, график функции лежит выше касательной В кривая обращена в точке х, выпуклостью книзу. Аналогично, если 7"(х,) < О, то Г,(х) < 0 для любого отличного от х, значения х, принадлежащего к некоторой окрестности точки х„ т. е.
график функция лежит ниже касательной и кривая обращена в х, выпуклостью кверху. Следствие. Если х, есть точка перегиба кривой у=((х) и в ней существует вторая производная )" (х4), то последняя необходимо равна нулю (7'" (х,) = 0), Этим пользуются иа практике: при нахождении точек пеРегиба дважды диффеРенцньОУемой кРивой У= 7(х) ищУт их среди корней уравнения 7 (х) =О. Достаточное условие для существования точки перегиба у кривой дается следующей теоремон. Теорема 2.
Если чзункция (' такова, что производная 7"'" непрерывна в х„а 7" (х,)=0 и ('"(хь)чьО, то кривая у=( (х) имеет в х, точку перегиба. Доказательство. В атом случае 7 (х) = 7 (х,) + 7' (х,) (х — х,) + Г4 (х), (х — хь)4 ю Г4 (х) = з( ~'" (х+ 8 (х ха)). В силу непрерывности 7'" в х, и того факта, что 7'" (х,) ~ О, следует, что 7'"(хь+0(х — х,)) сохраняет знак в некоторой окрестности точки х„он один и тот же справа н слева от точки х,.
С другой стороны, множитель (х — х,)' меняет знак при переходе х через х„а вместе с ним и величина Г,(х) (равная превышению точки кривой над касательной в х,) меняет знак при переходе х через х. Зто доказывает теорему. Сформулируем более общую теорему: Теорема 3. Пусть функция 7" обладает следуюиу(ми саойствалеи( Г(х.) -... =1оо(хь) -О, 7'"+О(х) непрерывна в х, и ~'"+о(х,) чьО. 180 ГЛ.Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Тогда, если п — нечетное число, то кривая у = ~(х) обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли гы+о(х,) < 0 или 1'"+н(х,) > О, а если и — четное, то х, есть точка перегиба кривой, Доказательство основано на том, что при указанных условияк имеет место разложение по формуле Тейлора 1(х)=1(х)+(х — х))'(х)+1 „4+111, )ы+ц(х,+0(х — х,)).
В ааключение заметим, что говорят также, что кривая у )(х) имеет точку перегиба в точке х, где производная )' равна +оо или — оо (см. рис. 40 и 41 й 4.2). По определению кривая у=) (х) называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а, Ь1, если любая дуга этой кривой с коицамн в точках с абсциссами х„ х, (а <х,< < х,~Ь) расположена не ниже (не выше) стягивакяцей ее корды (рис, 56 н 57), 3 а не ча н и е. Если Г диффереицируема на [а, Ь~, то приведенное определение выпуклости на отрезке эквивалентно следующему: кривая у=Г(х) называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а, Ь1, если она выпукла кверху (книзу) в каждой точке х интервала (а, Ь).
Ряс. 56. Рис. 57. Теорема 4. Пусть функция 1* непрерывна на [а, Ь1 и имеет вторую производную на (а, Ь). Для «юго чтобы кривая у=[(х) была выпуклой кверху (книзу) на [а, Ь|, необходимо и достаточно, «пабы выполнялось неравенство 1" (х) 0 () (х)~0) для всех хЕ Е(а, Ь). Эту теорему мы не будем доказывать. Пример 1. Функция у=з1пх имеет непрерывную первую производную и вторую производную (з1п х) = .= — ьйпх<0 на [О, п/21.
Поэтому хорда ОА, стягивающая дугу кривой у=з1пх на [О, и/21, ниже синусоиды $ еза АсимптотА ГРАФикА Функции 184 (рис. 56). Так как уравнение хорды у=(2/и)х, то мы получили неравенство — х < з!п х (О < х < и!2) часто употребляемое в математическом анализе. Пример 2, у=х«+Зх'=х'(х+3); у'=Зх'+бх, у'=0 при х=О, х= — 2; у"=Ох+6, у" (0)=6 > О, Рис. 88. Рнс. 89. у ( — 2)= — 6<0, у"=0 при х=- — 1; у'"=6~0. Так как у'«(х)=6чиО, то в точке х=- — 1 — перегиб.
Далее у" (х) > 0 прн х> — 1, у" (х) <0 прн х< — 1. Значит, график функции (рис. 59) выпуклый кверху на ( — оо, — 1) и выпуклый книзу на ( — 1, со); х=-0 — точка минимума, х= — 2 — точка максимума. й 4.20. Асимптота графика функции Говорят, что прямая х=а является зераикааьной асимио4оо4ой графика непрерывной функции у=1(х), если хотя бы один из пределов 11п4 ~ (х) или ИЦ4 ~ (х) х х х>а х-«а «ка равен со. Если функция у=г'(х) задана для х>М (х<М), то говорят, что прямая у'=йх+Ь является наклонной асиз4по4огпой непрерывной кривой у=1(х) при х- +он (х— оо), если ~(х) =йх+Ь+а(х), где 1пп 44(х) О, (й--'Ф) (т.
е. ~) (х) — йх — Ь| — бесконечно малая функция при х +он (х — оо)). 1Зх гл. е диеьвгвнциальнов исчисления Пример !. у=1(х (рис. 60); х=Π— вертикальная асимптота, так как 1 1 !ип — =+со, 1ип-= — сс, х-~О Х х-~О Х х>О х<О Пример 2. у=х+ — (хчьО).
Так как Ит — О, О1п х О(п х х х то прямая У=х (рис. 61) есть наклонная асимптота при х- +со (и при х- — оо). Пример 3. у=)/х (х,эО). Ясно, что 1~х — Ьх — Ь не стремится к нулю при х — +со ви при каких А и Ь, значит, функция у р'х наклонных асимптот не имеет, Рис. 60. Рис, 61, Т е о р е м а. Для того чтобы график функции у = Г" (х) имел при х — + со (х — — оо) наклонную асимппихпу, необходимо и достаточно, чтобы су1цестеоеали конечные пределы Ипг -(-=Ь, 1ип Д(х) — Ах) =Ь, (1) х-~+э " х-~+в и тогда прямая )х йх+Ь есть асимптота, Доказательство, 1) Пусть функция Г(х) имеет наклонную асймптоту при х.
+со, У=йх+Ь. Тогда Г(х)=йх+Ь+ОО(х), где сг(х) О, х +со, Отсюда !ип — х Ит ~А+ — + — 11 А, Г(х) Г Ь и(х)1 1ип !Г'(х) — Йх) = Ит (Ь+ОО(х)1 =Ь. х-~ х О х .~. а 2) Пусть указанные в теореме пределы прн х- +Ос существуют, тогда из второго равенства, по определению $4.20. АсилолтотА ГРАФикА Функции предела„имеем )(х) — Ьх — Ь=и(х], Где сс(х) О при х -)-оо, т.
е. )".(х)=ух+Ь+а(х). Значит, прямая )'=Ьх+Ь— наклонная асимптота при х — +ею. Такое же рассуждение и прн х — — оо. Если Ь = О, то асилеппзопза называется иоризонтальиой. Заме чан не. Существование двух конечных пределов (1) существенно, ибо для функции у = У' х (х ~~ О)„ 1(ш — »=О=Ь, но (цп 1Ду~х — О к|=со, т. е. Ь=оо, х-о+ о »о+о и эта функции аснмптот не имеет. Можно дать также следуттее эквивалентное определение наклон. иой аснмптотм. Если расстояние р(х) от точки А (», 1(х)) наяде)южней кртюй р 1(») до нрямой р=ьх+Ь стремится к нулю нри х- +т (х- — оо), то данная прямая назывмтся наклонной асимлтотой атой красой нри х — о+со (хо — оо).
В самом деле, из аналитической геометрии известно, что расстояние от точки (х, 1(»)) до прямой у=ах-(-Ь вмрвжается формулой р (х) =11 (х) — Ьк — Ь ЯГ ) + Ь*, откуда нз того, что 17(х) — Ьх — Ь) — О, следует, что р(х) — +О, н наоборот. Пример 4. Выяснить, имекися ли асимптоты у гиперболы 4 — Ф=1 (1х)==а, а~ь)О). Разрешая данное уравнение относительно у, будем иметь Ь ° у=~ — у ха — а'. 0тскзда д Ь .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
