Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 30
Текст из файла (страница 30)
У.* — а Ь 1(ш — = ~ — 1(ш х а„х а' Далее, Дш ~у — ~~ — х)1= ь . —, ь ао о (ӄ— ~ ) о о — т г о а а х .+о рх'-а +я 1з4 ГЛ. Е. ДИФФБРВНЦИХЛЬИОВ ИСЧИСЛВНИЕ Таким образом, на основании доказанной теоремы прямые ь у= ь — х и являются асимптотами нашей гиперболы, причем знак + относится к правой верхней Половине гиперболы, а знак— Ряс. 62 относится к правой нижней по- ловине гиперболы. В' силу симметрии ясно, что эти прямые являются асимптотами и при х — — сю. В этом случае знак + отвечает части гиперболы, находящейся в третьей четверти, а знак— относится к части гиперболы, находящейся во второй четверти (рис.
62), $ 4.21. Непрерывная и гладкая кривая Уравнения х=~р(1), У= ф(Г) (а(1(Ь), где ~р и ф — непрерывные функции на (а, Ь), определяют непрерывную кривую, заданную при помощи параметра 1, т. е. геометрическое место точек (~р(1), ф(Г))„упорядоченных при помощи параметра т~(а, Ь). При возрастании С точка (~р(1), ф(1)) движется по плоскости. Не исключено, что разным 1 (11 н 1,) — соответствует одна и та же точка плоскости: (~р(1Г), ф(1,))=(<р(1,), ф(1,)). Непрерывная кривая (1) называется гладкой на (а, Ь) (на (а, Ь)), если функции ~р(1) и ф(1) имеют непрерывную производную на (а, Ь) (на (а, Ь1) и выполняется неравенство юР'(1)*+ ф'(Г)'> О Р1~(а, Ь) (Е(61а, Ь1).
(2) Обозначим кривую (1) через Г. Пусть 1, Е (а, Ь). В силу условия (2) одно из чисел ~р'(1,), ф'(1„) отлично от нуля, Пусть для определенности ф'(1,) ФО. Но тогда в силу непрерывности ~р'(1) существует интервал (1,— 6, 1„+ 6), на котором ~р'(1) сохраняет знак ~р'(1,). Следовательно. ~р(1) строго монотонна на (1,— 6, 1,+ 6) и, кроме того, как мы знаем, непрерывно дифференцируема; В таком З Ьзс НЕПРЕРЫВНАЯ И ГЛАДКАЯ КРИВАЯ 185 случае функция х=ч (1) имеет обратную 1=ф '(х) л(х) (хЕ(с, б)), строго монотонную и непрерывно дифференцируемую на некотором интервале (с, б) — окрестности точки х,=~р(1,).
Подставляя выражение для 1 во второе уравнение (1), получим, что кусок у нашей кривой Г, соответствующий интервалу (1,— 6, 1,+6), описывается непрерывно дифференцируемой функцией (см. 5 4.4, жорема 1) у=Р(х)=ффр '(х)) (хЕ(с, б)), (4) г г и потому в любой точке у суще- рис. 88. ствует касательная, не параллельная оси р. Очевидно, точки у взаимно однозначно проектируются на ось х.
Если теперь ф'(1,) чь О, то, рассуждая аналогично, получим, что кусок у, кривой 1', соответствующий достаточно малому интервалу (1„ — 6, 1„+6), описывается непрерывно дифференцируемой функцией х=Ф(у)=~р[ф '(у)1 (у~(со б1)). (5) Отсюда следует, что и в этом случае в любой точке у, существует касательная, ио теперь она не параллельна оси х. Таким образом, в любой точке гладкой кривой Г существует касательная, которая может быть параллельной одной из осей координат. П р и м ер. Уравнении хе асоз1, ( — оо (1 С со) р=бз(п1 определяют в параметрической форме кривую — эллипс с полуосями а и Ь (рис. 63). Это гладкая кривая, потому что функции х=асозг и р=бз1п1 имеют непрерывные производные, одновременно не равные нулю: (х' (1))" + (у' (1))'-(а зш 1)'+(Ь соз()' ь ~- Ь'(з(п'1+ соз' 1) = ЬА > О (О < Ь." а), !зз гл. к днФФЕРкнцилльнои нсчнслвнив Точки А, В, С, т) (см.
рнс. 63) делят эллипс на четыре гладких куска, каждый из них проектируется взаимно однозначно либо на ось х, либо на ось д. й 4.22. Схема построения графика функции Если нужно в общих чертах представить себе график функции р=Цх), могут помочь следующие указания. !. Найти область И значений х, где функция ! определена. 2. Найти точки х„ х„ ..., где 1'(х)=0 или производная ие существует, в частности равна ао, Вычислить значения !' и этих точках: ~(х,), ~(х ), ..., если они су.
ществуют, и определить, не являются ли онн точками максимума, минимума, Если )' не определена в какой- либо из точек х„, то важно знать пределы т(х„ — 0), ~(х„+О), важно также определить пределы !( — ос)= 1йп ~(х), Ц+ ае)= Пщ !'(х), если они имеют смысл. 3. Область И разделяется точками хэ на интермлы (а, Ь), на каждом из которых 1'(х)чьО. Среди ниямогут быть бесконечные интервалы (вида ( — со, с) или (4, со)), Будем считать, что производная !" (х) непрерывна на каждом тзком интервале (а, Ь). Тогда )' (х) на (а, Ь) сохраняет знак. Важно выяснить этот знак, тогда будет известно, будет ли ~ возрастать или убывать на (а, Ь).
Ф. Важно отметить на каждом интервале (а, Ь) точки (Ь=О, 1, 2, ...)„ где ~" (х) = О, и определить соответствующие значения функции ~(х„,,), ~(хэ,), .... В этих точках могут быть точки перегиба кривой у=)'(х). Этн точки в свою очередь делят (а, Ь) на интервалы, на которых вторая производная, если она существует, сохраняет знак, Выяснение знака 1"(х) дает вазможность узнать направление выпуклости кривой (вверх или вниз). б. Если возможно, надо решить уравнение ~(х)=0 и выяснить интервалы, иа которых ~ сохраняет знак (!". (х) > >О у(х) СО). ' Ф заь схима постгонния ггхеикх отикции гвт б.
Выяснить вопрос о существовании асимптот, т, е. найти пределы 1пп — ' = й, !пп [) (х) — йх] 6, хэах+ьФ хе Эта таблица составлена для функции у=~(х) = —. 1+х ' На основании данных этой таблицы график функции у=Г(х) имеет вид, как на рис. 64, П р и м е р. Построить кривую, заданную параметрически: х= 1е', у=ге-' ) ( — оо <! < оо). Решение. Построим сначала график функции х=(е'.
Эта функция задана на всей оси, неограниченная, непрерывная и дифференцируемая иа ( — оо, ао); х>О при г>0; х<0 при 1<0; х=О прн 1=0. Далее х'= =' (1+1) е'. Уравнение х' (г) = 0 имеет единственный корень 1 — 1. При этом, очевидно, х' >0 при Г > — 1; х* <0 нри г < — 1. Таким образом, функция х(1) возрастает при 1> — 1 и убывает при 1 < — 1. В точке 1= — 1функции х(Г) имеет локальный минимум, х( — 1)= — е '. На самом деле это, очевидно, минимум на ( — оо, оо). если они существуют.
На основе этих сведений желательно составить таблицу, примерно следующего вида: 166 ГЛ, 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Исследуем функцию на выпуклость: х =(2+1)е', х" > > 0 при 1 > — 2; х" < 0 при 1 < — 2; х" ( — 2) = О, Значит, на ( — со, — 2) график выпуклый кверху, а на ( — 2, со) выпуклый книзу, 1 = — 2 — точка перегиба.
Далее, йт — =О, )пп 11е' — 01=0, с 1->- в т. е. х=Π— горизонтальная асимптота. На основании этого график функции имеет вид как на рис. бб. Область значений функции Х = =( — е и оо), Рис. 64. Совершенно аналогично мо- жно построить график функции у =' 1е ' (рис. 60). Область значений этой функции г =( — со, е '). На ( — со, 1) функция д=(е ' строго возрастает от — со до д=е ', в точке 1=1 достигает максимума.(локального и на ( — со, оо)). На интервале (1, со) она строго убывает к нулю при 1- + со и имеет, таким образом, асимптоту у=0 при 1- +со.
Отмечена еще точка 1=2, в которой кривая имеет перегиб. На ( — со, 2) кривая обращена выпуклостью кверху и на (2, со) — книзу. Рис. 66. Рис. 6с. Теперь мы переходим к более трудной задаче — начертить схематический график кривой (1). Обозначим ее через Г. Функции, определяющие Г. непрерывно дифференцируемы сколько угодно раз.
Мы используем только тот факт, что эти функции дважды непрерывно дифференцируемы. Отметим, что Г гладкая кривая, потому что производные (по Г) от функций х=р(1) =(е' и у=ф(г)= = 1е ' одновременно не равны нулю. 2 А22. схемА постРоения ГРАФикА Функции 1зз Обозначим через Г, и Г, ветви Г, на которых соответственно х;(О и х;>0 Таким образом (см. рис. 65 н 66), Г, соответствует изменению 1~( — оо, — 1), Г, соответствует изменению ге ( — 1, оо). На Г„функция х=ф(1) строго убывает от ч ( — оо) = = 0 до Гр( — 1) — е ', н ее можно обратить, а функция р ф(2) строго возрастает от ф( — со)= — оо доф( — !) — е. Отсюда следует, что ветвь Г, описывается явной функцией у=ф[ГР "(х)] (хе( — в ', 0)).
Она изображена на рис. 67 — ниже точки А. Когда 1 возрастает от — со до — 1, абсцисса х точки Гг убывает от 0 до — е ', а ордината у возрастает от — оо до — е, Таи Рис. 67. как х'( — 1) =0 и у'( — 1)ЕЛО, то касательная в точке А параллельна оси у.
К тому же Г расположена правее касательной †ве из рис. 65 видно, что все точки Г имеют абсциссу х ~2 — в '. !90 ГЛ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В любой точке ! кривой Г, отличной от А, т. е. при !чь 1 производная х'(!)~О и е-м у) ! — 1- к ° — !!1» к и ), —,„() Е (!+Ог !ь+с)к Отсюда у4.,кз=О. (4) Нас сейчас интересует значение ! = — $~ 2, которому соответствует точка В = ( — )' 2е ' ', — )/2 е" ') Е Го Из (3) видно, что если ! < †)~ 2 (т. е. На части Гт нкже точки В), то у"„<О и Г, обращена выпуклостью кверху. Если же — ук 2 <1< — 1 (т. е.
на дуге АВ), то у„> О и Г; обращена выпуклостью книзу, Таким образом, В есть точка перегиба Гм Переходим теперь к Г, ( — 1 < ! < со). Как видно из рис. 66 и 66, на интервале — 1 < ! < 1 функции х=~у(!) и у=ф(!)'Строго возрастают, но тогда и функция от х у=фу~у '(х)1 ( — е '<х<е) строго возрастает. К тому же ее график на этом интервале обращен выпуклостью кверху (см. (3)). Это изображено дугой АС~=Г,. Что же касается точки С, то в ней у' =О (у'(е) =„—, —,=О) н так как в ней к тому у' (!) о к к — ВО .~!О же график обращен выпуклостью кверху, то С есть точка локального максимума функции у(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
