Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 32
Текст из файла (страница 32)
12. ~-~ — -„-; — 1п ~ —,+;~+С (!х!~1). Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определенная) первообразная функция для соответствующей подынтегральиой функции, справа же — одна определенная первообразная, к которой еще прибавляется константа С такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями. Докажем формулу 3. Так как при х чь 0 ! х !' = з!Еп х и хз!дпх=)х!, то (1п!х)+С)'= — (!х!)' =-~~' '- — „(х~0), и формула 3 доказана. Докажем еще формулу 11! (! ~ +р' +1!+С) - 'цщ("+) "+ ') ~1+ —,)= ! +У"+ ! (х+ г хз+ !)мяз(х-!-1' х~+ !) ! и формула 11 доказана.
С другой стороны, ~ = Агз!! х+С, поэтому по у х*+ ! теореме 2 Агах=!п!х+~~х'+1~+ С. Но так как АГЕЬО=О, то !и!х+Р'х'+ 11=АГЕЬх (см. $4.6, и. В). х Ьк МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ !99 Применяя свойство 5, можно написать более сложную таблицу интегралов. Например: з1п(ах+6) ах= — — соз(ах+61+С. ! Отметим, что если операция дифференцирования эле- ментарных функций снова приводит к элементарным функ- циям, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т. е.
функциям, которь!е яе выражаются через конечное число арифметических опера- ций н суперпозиций элементарных функций. Например, доказано, что следующие интегралы не ин- тегрируются в элемеятарныя функциях. ) е " г!х — интеграл Пуассона, созх'дх, ) з1пх'!!х — интегралы Френеля, й:х — — интегральный логарифм, !их СОВ х — !!х — интегральный косинус, 8!и х ' †!!х †интегральн синус. х Указанные интегралы хотя и существуют, но не явля- ются элементарными функциями. Имеются другие способы для их вычисления.
Например, интегральный синус можно представить в виде бесконечного степенного ряда (см. 2 4.16) в!и х хз х~ — !!х=С+х — — + — + "° . З.З! 6. 6! й 6.2, Методы интегрирования Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки) 11(х) д = 1 ИР(!)) !Г'(!) !!!+С= 1 1(!Р(!)) !!!Р(!)+С. (1) В этой формуле предполагается, что х= !р (Г) есть непрерывно дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция на некотором интервале изменения 1, а Г(х) — непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси х, Первое равенство (1) утверждает„ что левая его часть тождественно равна правой, если в ней гл. а пвопгвделенныз интаггллы (после интегрирования!) сделать подстановку х !р(1) и подобрать соответствующую константу С.
Докажем это утверждение. Слева в (1) стоит функция, которая является первообразиой от 1(х). Ее производная по ! равна -вй1-~ ~ (х) дх=„— „Д ~(х) г(х) е! =) (!е(1)) р'(1). Следовательно, если ввести в этой функции подстз. новку х ч~(г), то получится первообразная от функции Г(<р(1))!2'(1), Интеграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная от Г(!р(1))~р'(1). Но две перво- образные для одной и той же функции отличаются на некоторую постоянную С. Это и записано в виде первого равенства (1). Что касается второго, то оно носит формальный характер — мы просто уславливаемся писать ) р (1) ч' (!)н1 = ") р (1) нр(1). (2) Например, *) е" хдх й ~е 2хе(х+С=.— ) е"'!(х'+С = 1 Р =-а- ~ е' Пи+С! = 2 е'+С, = 2 е" +С, (и = х').
(3) 1 1 е Первое равенство написано в силу 3 2 5.1, второе в силу (2), третье — в силу (1) (постоянная изменилась) и четвертое — в силу формулы из таблицы (постояниая изменилась). Однако в практике вычислений в членах, содержащих неопределенный интеграл, константы С не пишут, и тогда цепочка (3) упрощается; а 1 г г 1 г а 1 а е" хйх= — ) е" 2хдх = — ) е" нх'= — е' +С 2,) 2) 2 к тому же мы опустили очевидные 3-е и 4-е равенства. Вот еще пример: 1=) )' а' — х'их„а) О. Такого интеграла нет в таблице. Если положить х = а з!п г, то 1 а' — х'= аУ1 — з1п'ге асозг и их=исоа !'й!. Следовательно, ! = ') асов!исоа!а =а' ) соз'гйг= а' ) —.Л = г 1-1-сое2! еи ее =-2-+ — з!и 21+С. $ в,ь мвтоды г!нтегриРОВАния 2О! Но ! = агсэ!п — „, поэтому х а' .
» а~ аЗ / — агсэ!п — + — в!п ! сов (+С, агсэ!п — + 2 а 2 а~ х Г /»'~~ а~ . х х + — —. у 1 — ~ — ) +С= — агсв!п-+ )" а' — х'+ С. Итак .х~ х; — а» х !' а' — х'г(х= — ) а' — х'+ — 'агсз!п — '+С. 2 Приведем еще примеры, которые все равно нам понадобятся в теории интегрирования рациональных дробей: — — «г ах (' а(х — а ! (» — а)а,) (х — а)" (х — а)"' ' (1 — а) ах 1 Г И(х/а1 ! х — — — агс(н-+С, х~+ а~ а ) ! + (х/а)' а а = — (1п(х — а( — !п!х+а!)+С = — (п~ — ~+С; =~( х'+рх+д,) (х+(р/2))' г/(х+ (р/2)) (х+(р/2))~ х+ (рТ) ~Р 4 ) х~+рх+4,) (х+(р/2))~+(4 — (р'/4)) ) , /' х+(р/2) '! д(х+(р/2)) ! '! ( а ~*.н~/2))'~-" '3 р~7*~Т~Ж)' — агс!и — +С (!/ — — =а', а>О); (6) ! х+ (р/2) / р» И» (' И (х+ (р/2)) х~+рх+а,) (х+(р/2))' — а' (2»+р)а А(»+р»+4) 1 (,+ + )+С.
х'+ рх+ д,)»'+ рх+4 1 „'=-,, "=-~, + Ах-)-В А ('2х+(2В/А) ! А (' (2»+р) ах + »~+рх+д 2,) хх+р»+а 2,) х~+рх+д ~АФО, 0= — ( — р)) (далее см, (6)). 202 гл. ь нвопнвдвлвнныв интягеалы Для теории интегрирования рациональных дробей важно, что вычисление интегралов типа (4) — (7), где а, А, В, р, а — константы, приводит к элементарным функциям (рациональным, 1п и агс1я).
Перейдем к формуле интегриров ния по настели ) ио'с)х=ио — ) ои' дх+С (8) Формула (8) сводит вычисление интеграла ) иди к вычислению интеграла ) оди. Вычисление по формуле (8) носит название метода интегрирования по частям. П р и м е р !. Вычислить ~ х)пхдх, Положим ек ди х ' и (х) =)п х, хдх =до, о ) о= ') хдх хк 2 Тогда ке Г хе Ек хе кй х)пхе)х= — 1пх ~ — — )пх — +С.
2 г 2 к 2 4 Пример 2. Вычислить интегралы! = ')е' з)пйхдх, 1, ~е'"созЬхдх, где а, Ь вЂ” постоянные числа. В данном случае подынтегральное выражение можно представить в виде произведения и (х) и до(х) двояким образом: и =в'", до=в)пдхдх или и =з!пЬх, до=в"кс)х. Итак, пусть и=е"", ~ ди=ае'кдх, з)пдхдх=до, ~ о= — —. сов Ьх Ь или, что все равно, ) ис)о=по — ~ иди+С.
Так как в (8) справа есть неопределенный интеграл, то постоянную С обычно опускают. В данной формуле предполагается, что и(х) и о(х)— непрерывно дифференцируемые функции. Справедливость формулы (8) вытекает из того факта, что производные от левой и правой частей равны| ио' = (ио)' — ои'. ф 5.В МЕТОДЫ ИИТЕГРИРОВАНИЯ Тогда по правилу интегрирования по частям имеем 1 а г 1 а 1 — — е'*созЬх+ — ~ е' созЬхс(х= — — е'"созьх+ — 11. ь Ь,) Ь Ь (0) К интегралу 1; снова применим метод интегрирования по частям, полагая и=е'х, с(п=созЬхс(х. Тогда 1; = — епк з!п Ьх — 1.
1 и . а Ь Ь ()О) Из (9) и (!О) получаем систему для определения 1 и 1, а 1 1 — — 1 = — — еахсозЬх ь ! ь а 1+ 1 = — еах з)п Ьх ь ' ь Решая эту систему, получим аз!а Ьк — ЬсаьЬк х„, С 1 Ьз!аЬк+псозЬк а +ь + ' а'+ь' Пример 3. Вычислить интеграл 1=) агсз!пхс(х. Полагая и=агсзшх, с(о=с(х, получим 1=хагсз!пх — ~ " " хагсз!пх+Ьк~ — х'+С.
'г' 1 — кк Пример 4. Приведем еще пример, который будет нужен для теории интегрирования рациональных дробей. Пусть 11 > ! — натуральное и а > 0; тогда Нк! $ !. ак 1 1. к 2кпк (кк+а')и-',) (кк+аЧ)» + 2 ) (к'+ а')к '2к йк !.х'+ пк)' / -"1 — -(- .- 1 к 1 (' Ф (кк+а")А+ 2 1(1 — Ь) (кк+а'Р'"" 1 — Ь,) (кк+ах)А откуда пк к 2Ь вЂ” 3 (' Ек >~ъ 2(Й вЂ” )кх+ ) ' (и — ц! ГккФР Теперь (если й > 2) к интегралу в правой части можно применить тот же процесс, приводящий к понижению на единицу показателя степени в знаменателе подынтеграль- 204 ГЛ. З. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ной дроби.
В конце концов придем к интегралу от (х'+а')"' (приводящему к агсгп). Таким образом, при д — (рь/4) =- а' > О и натуральном й интеграл (' "" + ( +Р1 () (»ь ь Р»..1 4)А 1 (йь 1..е»1» ь + о ь ь ) берется в элементарных функциях. П р и м е р б. Вычислить интегралы еь» 1 р ь„ь ь* 1 ь„ з1п Ьх 1 где Р„(х) = а„х»+... +а,х+ а,— алгебраический много- член степени н. Ланные интегралы вычисляются л-кратным примене- нием метода интегрирования по частям, последовательно полагая и-Р„(х), затем и=Р;,(х), ..., Получающиеся интегралы будут упрощаться, так как производная от алгебраического миогочлена Р„(х) будет алгебраическим многочлеиом степени, на единицу меньшей, Так как характер первообразкой для рассматриваемых здесь функций легко угадывается, то эти интегралы можно вычислять так называемым методом неопределенных коэф- фициентов.
Например, для ~ Р„(х)еь»дх первообразная имеет вид г~» (х) ее»+ С, где 9„(х) = Ь„х" +... + Ь,х+Ь, и Ь„..., ܄— пока неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты мы находим из условия, что (Г~„(х) е'"+ С)' = Р„(х) е'" али Гь„' (х) + ЬьГ» (х) = Р„(х). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, мы и найдем все числа Ь,...,, Ь„. Этот способ называется летодом неопределенных ноэффициентое. Здесь мы восполь- зовались тем фактом, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при соответст- вугощих степенях х (см. ~ 4.14, теорема 2).
Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере: ~ (х' + 1) е' г(х = (ах' + Ьх+ с) е» + С. В данном случае Р,(х) =х'+1, Щ,(х) =ах'+Ьх+с, 5 г,Зь комплексныв числа 20з где коэффициенты а, Ь, с надо найти. Имеем (9, (х) е ) ' = 1ах»+ (2а+ Ь) х+ Ь+ с| е" = (х'+ 1) е", откуда ах'+(2а+ Ь) х+ Ь+ с = х'+ 1. Так как это равенство должно быть верно для всех х, то коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой его части равны между собой (~ 4.14, (15)): а=1, 2а+Ь=О, Ь+с=1. Таким образом, ~ (х'+1)е" йх=(х» — 2х+3)е" +С. й 5.3. Комплексные числа Комплексными числами называются выражения г=а+Ы=а+1Ь, где а, Ь вЂ действительн числа, а 1 †специальн символ; при этом для комплексных чисел г,=а,+1Ь»э г, а,+(Ь, введены понятия равенства и арифметические операпии по следующим правилам~ 1) г, г, тогда и только тогда, когда а,=а, и Ь, Ь„ а+01 а, О+Ь(=Ы, 1 1=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
