Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 27
Текст из файла (страница 27)
)1«1(Хр) «=о (3') т. е. функция ~(х) есть сумма ее ряда Тейлора в некоторой окрестности точки х„иначе говоря, для любого значения хЕ(х,— б, х,+б). В этом случае говорят, что функция Г(х) разлагается е ряд Тейлора по апепен м (х-х,), сходящийся к ней. Для каждого отдельного значения х этот ряд может сходиться или расходиться. Множество точек х, для которых ряд (3) сходится, называется областью схсдимости этого ряда.
Независимо от того, сходится или расходится этот ряд, он называется рядом Тейлора функции ) по степеням х — х,. Если х,=б, то соответствующий ряд называют иногда рядом Маклорена. Особый интерес представляет тот случай, когда ряд Тейлора функции 1, по степеням (х — х,) сходится в некоторой окрестности точки х, и притом к самой функции г'(х). Если это имеет место, то р 1(х)=~„— '(х — х,)" (хЕ(хр — б, х,+б)), «о 16а ГЛ.
4. ДИФФЕРЕИЦИ»ЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Т е о р е и а !. Если функ4!ия Г имеет на отрезке (х,— 6, х,+61 производные любого порядка и оспин»ок ее формулы Тейлора стремится к нулю при и — оо !Ип Г„(х)=О (хЕ(х« — Ь, х,+6~) (4) на этом отрезке, то г раэлаеае»пся в сходящийся к ней ряд Тейлора на этом отрезке. Доказательство. Пусть функция г имеет на отрезке (х„— 6, х,+61 производные любого порядка. Тогда эти производные непрерывны на (х« — 6, к,+61, потому что, если Г имеет производную )4» на (хо — 6, х,+61, то производная ~'» " непрерывна на (х» — 6, х,+61.
Поэтому для нашей функции имеет смысл формула Тейлора Г'(х) ~ —,,"' (х — х,)" +Г,(х)»4п, х~(х« — 6, х„+6), Тогда в силу (4) « йт Т Рм(»4) (х х,)»= Цщ (У(х) — Г„(х)1- »=о «4« =~(х) — !Нп Г«(х)=7(х) « -«« т. е. в этом случае многочлен Тейлора функции г(х) (по степеням х — х,) стремится прн п- оо к самой функции: ((т ~~~, ~-П("-~ (х — х,)" Г ()) (~ ~ (~, — Ь, х, + 6~).
(5) «.+-» о А ато означает, что ряд Тейлора функции ~(х) сходится на (х,— Ь, хо+6! и имеет своей суммой г(х)» ~(х)* ~Д»~, (-~Ы(х — хо)» (к~~хо — Ь, х,+Ьэ, » о Теорема доказана. Следующая теорема дает простой достаточный критерий сходимости остатка формулы Тейлора к нулю. Теорема 2. Если функ»(ия г имеет на отрезке '(х« — 6, х, + 6! производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом Я'«»(х)(~йй, п О, ), 2, ..., а Ф!о. ФОРмулы и Ряды твилоРА элемвитАРнык ФункциЙ 1вт х,— Ь~х~~х,+5), то остаток ев 4юрмулы Тейлора на атом отрезке стремшпся ири и- оо к нулю: Вш г,(х)=0. (6) Д о к а з а т е л ь с т в о, Воспользовавшись формулой Лагранжа остаточного члена, получим ~ Х вЂ” ХО!л+1 1 П М бл+« )г„(х))= „+, !)1л+«1(с))~- + — 1-, (7) (с 5 (х„х), М > ! ~1л+и (х) 1 Уи н ) х — хо / < Ь). Так как правая часть (7) стремится к нулю при и со (см.
4 2.5, (5)), то имеет место (6), $4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций 1. 7(х)=е". Эта функция бесконечно дифференцируема (НМЕЕт ПрОИЗВОдНЫЕ ЛвбОГО ПОрядКа) На ( — оо, ео). Прн атом $1" (х)=е", 11«1(0)=1 (й=О, 1, ...), 11"+о(с)=е'. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид л е" = ~~' †„, + г„ (х), г„ (х) = †(л+-,1, с 5 (О, х), (1) «о где х может быть положительным и отрицательным. На отрезке 1 — А, А), А > О, ЕЛЛл+1 ) г„(х)! ( — — О, и — оо.
(2) Это показывает (см. теорему 1 з 4,15), что функция с разлагается на 1 — А, А1 в сходящийся к ней ряд Тей. лора по степеням х (ряд Маклорена)1 (3) «=о Но А ) 0 †произвольн число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси (х1:( — со, ос)). В данном случае )~'«'(х)~ =-)е ~1е=.ел (ее =О, 1, 2, ...) на отрезке (†А, А1, и чтобы получить равенство (3), можно было бы воспользоваться теоремой 2 $ 4.15. 166 Гл, к диФФвгкнцидлънок исчислвиип Вычислим число е с точностью до 0,001. Имеем (см, (1)) -24+.(1).
й з (4) где " (!) ( +КТ)~ (О ( о ~ 1)' (б) Надо подобрать а настолько большим, чтобы г„(1) .(-„-~Т)Т я,:, 0,001 (О < с < 1). Так как е'<,3, то для итого достаточно решить неравенство 8/(и+1)! 4;0,001, Оио выполняется прн п=б. Следовательно, в пи 2+ — +-+... + — =2 718 1 1 1 2! 3! ' ' ' 6! с точностью до 0,001. Примечание. Так кзк 1 < ее < 3 прн О < с < 1, то при в >2 е»»(а+1) В, где О < В < 1. Поэтому равенство (4) можно записать в следующем виде: е=~~», — +— 1 В ы л! «=е Эта формула била использована (в 6 2.6, формуле (3)) длн до.
казательства иррациональности числа е. й „а х» ч-» ( 1)«ха«+» 3!пх=х — + —... 3! 6! ' ' ~' (2«+1)! Надо учесть, что ( 0 при а=йй, (3!Пх)оо!««=з»п 2 — ( 1 «2й+1 2. у з!пх. Данная функция имеет производную любого порядка и )(3!пх)«»!=~з!п(х+й.~~)~(1»!»Й. Поэтому по теореме 2 6 4.15 функция 31пх разлагается в сходящийся к ней на ( — оо, оо) ряд Тейлора по степеням х:. О 4.1О ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 1ЗЗ Формула Тейлора функции з1пх по степеням х имеет внд хх О+4 ХХХ-' з(пх х — О! + ° +( — 1)хм 3 ! !+К„(х), (0) гдз г„(х) (3 +1)! 31п(0х+(2Р+1)-) Отсюда следует, что г„(х) — о (х") х О (0<0< 1), и ХО ' хХО-Х 31пх х — — +...
+( — 1) +~ (хх — -!)! +о(кх ). О, у соз к. Совершенно аналогично можно получить, что хХ хх с~ ххх созх 1 — + — —... д ( — 1)Π—, 3! О! *' ' ~» (ВО)! ' П 1. Нй 11 ОЫ х х-х О Имеем 31ПХ= Х вЂ” О)-+О(кх), (7) поэтому О1п х-х 1 О (хх) 1 1 — !г — = — — + — О- = — — +о(1) х 3! х = 3! , О ., 3! Ф х -х О О!Лк х 1 1пп — = — —.
О Х" На самом деле в (7) остаток имеет вид о(х'). Но для х-х О наших целей достаточно о(х'). Надо иметь в виду, что х-+О если некоторая функция от х есть о(х'), то оиа есть х -х О также о(х') (но вообще не наоборот!). х-~ О 4. Функция )'(х) = 1п(1+х) определена и сколько угодно раз дифференцируема для х ) — 1. Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого и = 1, 2, ...
при х) — 1. Так как (тх~ (х) — 1~х' (0) = ( — 1)" +4 (и — 1)1 ( 1)и+4 (х 1)! (1+х)" 1УО Гл.е. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ то формула Тейлора имеет вид хт хч ! (!+ )= — +" +( — !)"" — „+ .(.) 2 Используя формы Лагранжа и Коши остаточного члена, можно показать, что 1!ш г„(х)=0 при — 1 <х~,'1. В самом деле, испольауя форму Лагранжа остаточного члена, имеем лля Очкх~ 1: 1 ха+ г 1 )г„(х)1= — * ч — — +О (и — ~-чо, О < В < 1)1 иснольауя форму Каши остаточного члена (см, $4.1Е, (РО)), имеем аля — 1 < х < О: 0 — О)х ! !х! + ( 1-В ~ч (1+Ох) + 1~1 — !х! ''т~+Ь) ! !"+' чп — — ео (н — ~ее, О< 6<!).
1 — (х! Поэтому функция !п(1+х) разлагается в укаэанном промежутке в ряд Тейлора по степеням х~ ! (!+ )=ч'„( — 1) ° ~ ( — 1«1). а~1 б. Функция Дх)=(1+х)м. Для этой функции иш(х) нт(нт !) (яг н 1„!)(1 ! х)н-а )чч'(О) =лг(нг — 1) ... (лт — и+1). Формула Тейлора по степеням х имеет еид (1+ х)ч = 1+ лтх+ х) — х'+ ... + ш(т — 1) ... Рл — и+1) н) Можно доказать, что ери любом гл 1пп г„(х) = 0 ( — 1 < х < 1). Поэтому для любого действительного нг имеет место раз- ложение функции (!+х)"' в ряд Тейлора по степеням х (1+)-= +Е '" "",;'" '+" ха ( — «!) (й) О О.!т.
лОкАльный экстрвмум Функции 17! Если т натуральное, то функция (1+х)м есть много- член. В этом случае «„(х)= — О для л) т, н ряд справа в (8) представляет собой конечную сумму — многочлен Тейлора (см. 2 4.14). Пример 2. Вычислить предел (т~л, тчьО, а~О) м ~ — к — !+ — +о(х) — (1+ — +о (т)) к-~ О «к.ь О х «1 1т х( — — )+о(х) я« Г«1 1( 1 1 1 кк 1ЙП 1(п! ~( — --«!+о(1)! к 0 «-ь 0 Пример 3. ха * — рк-+о (х') -«(1+ ох+о( )) к к ~.0 ! 1йп ~ —.х — а+о(1)1 хк а-~0 ~ Ит к- О $4.17. Локальный экстремум функции Определение локального экстремума было дано в начале 4 4.12.
Очевидно, ему можно придать и следующую форму. Прн х= ~1 нсследоеанне поаедення остаточного члена (н форме )(ошн нан Лагранжа) требует больших уснлнй. Отметнм лишь, что прн х= ! рнд Тейлора (8) сходится прн ш > — !. а прн х — 1 лля в > О. 1 Прннедем частные случаи ряда (8) прн ш= — 1, лО= —: 2 ' «+хк .+( 1)кхл+,, ( 1,с к с !) ! 1+х — обыкновенная геометрическая прогрессня, расходящаяся прн х *1; — 1 ! 1 Р' 1+х=! + — х — «О+ — «О— 2 8 16 «4+, +( !)и-1 5 (2я — В)И 128 ' " 2яИ «" +... ( — ! ~«~1)," здесь ряд спрана сходятся прн х= ь1.
172 Гл,в, диФФВРВициьльноа исчиолвние Функция у 1(х) достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать таксе 6 ~ О, что ее приртцение оу в точке с удовлетворяет неравенству йу=Г(х) — 1(с)ч:„О УхЕ(с — 6, с+6) (соответственно ау ==1(х) — 7 (с) ь 0 1ех Е (с — 6, с+6)), По теореме Ферма (см. й 4.12), если функция 1' достигает в точке х, локального экстремума и в этой точке производная 1'(х,) существует, то последняя равна нулю: 1'(х,) =О. По определению точка х, называется стационарной для функции 1, если в ней производная от 1 существует и равйа нулю (1'(х,)=0). Если задана на некотором интервале (а, Ь) функция ~ и надо найти все ее точки локального экстремума, то их, очевидно, надо искать среди, во-первых, стационарных точек, т.
е. таких, в которых производная 1' существует и равна нулю и, во-вторых, среди точек, где ~ не имеет производной, если таковые на самом деле имеются. Стационарные точки находятся из уравнения 1' (х) О, (') которое надо решить. Конечно, не всякая стационарная точка функции 1 есть точка локального экстремума 1. Условие (1) является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция ~ имела в точке х локальный экстремум, но недостаточным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
