Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 23
Текст из файла (страница 23)
в а ох в-в 2 136 ГЛ. С ДИФФЕРЕИЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $4.4, Производная сложной функции Теорема 1. Если функция х ф(1) имеет производную в точке 1, а функция у=1(х) имеет производную в точке х, то сложная функц я У=У(1)-1Ь(1)1 (') имеет производную (по 1) в точке 8 и справедливо равенство г ' (1) = 1' (х) ф'(1) (2) или У) =' Ухх). (3) Доказательство. Зададим 1, ему соответствует значение х=ф(1), Приладим 1 приращение Л(ч'*О, зто вызовет приращение Лх= р(1+Л1) — ф(1). Так как функция У=Г(х) имеет производную в точке х, то на основании равенства (2) 2 4.1, имеем Лу =1' (х) Лх+е (Лх) Лх, (4) где е(Лх)- 0 при Лх О.
Будем считать, что е(0)=0. Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т. к. если подставить в него Лх= =О, то получится 0=0. Разделим теперь равенство (4) на Л1~0: — ~=1'(х),— +е(Лх),—. Пусть Л( стремится к нулю. Тогда Лх †« О, потому что функция х(1) иф(1) имеет производную в точке ( и, следовательно, непрерывна. Переходим в равенстве (5) к пределу при Лг — О. Тогда Лх — 0 и з(Лх) — О, поэтому получим У4 ~'(х)х'(1)+О х'(1)=Г'(х)х'(1)=у„'х,'. Теорема доказана, Формула (1) может быть усложнена, Например, если г=1(у), у=ф(х), х=4р(к) и все трн функции имеют про- изводные в соответствующих точках, то г1 = г„'у„'хв.
Пример 1. у 1пщп'х (хчьйп, й — целое). Полагаем у=!пи, и=о', о=з!пх. Тогда 1 2А1о х сов х У; У„'и'„о,,' — 2о соз х . —,г — 2 с1н х. и ~вю х $4 а пРОизВОднАя ОБРАтнОЙ Функции 1Зт Пример 2, у=з!П(хх+2х — 1). Полагаем и х'+ 2х — 1. Тогда у„' у„'и, 'сози (2х+2)=2(х+!)соз(х'+2х — !), Обычно при вычислениях вспомогательные переменные и, о..., не вводят, а только подразумевают их.
В случае примера 1 вычисления выглядят так: ух ° — (з!п' х)' = — 2 зйп х(з!их)' созх 2с14гх. 3!Вх х 81пх х 91В Х Или еще короче 1 у,'=- —,, 2з!Пхсозх 2с!нх, 41па х й 4.5. Производная обратной функции Пусть функции у = 1' (х) строго возрастает, непрерывна на интервале (а, Ь) и имеет конечную не равную нулю производную 1'(х) в некоторой точке хй (а, Ь). Тогда обратная для г' функции х 7 '(у)=у(у) также имеан производную в соответствуюи1ей точке, определяемую равенством ах! (у)=~ () 1 или (1 ') Ух Доказательство.
Как нам известно, обратная функция х=д(у) строго возрастает и непрерывна на интервале (А, В), где А* !и! г(х), В= зпр г(х) ха(а, Ы ха1а, Ы (см. $ З.б, теорема 1'). Дадим рассматриваемому у приращение Лу~=б. Ему соответствует приращение Лх обратной функции, также не равное нулю в силу строгой' монотонности Г. Поэтому Лх 1 Лу Лу' ах Если теперь Лу- О, то в силу непрерывности у(у) приращение Лх также — О; но при Лх- О а ех- !" (х)~О, 136 гл.
е диееввянциальнов исчислвнив следовательно, существует предел ах 1 1 1пп — = — = —, ьх «ау 11 ав 1 (х) ь«.~а а» Этим формула (1) доказана. Примечание. Если ~'(х)ФО непрерывна на (а, Ь), и!с д'(у) непрерывна на (А, В). Это следует из (1), где можно положить х у(у)! у'(у)= —,,'(, (у~(А. В)) Ведь сложная функция р'(д(у)1, состоящая из непрерыв- ных функций г" н у, непрерывка.
$4.6. Производные элементарных функций (продолжение) 1. у а". Отсюда х=1ой,у — обратная функция. Поэтому у„'= —, —, у1па =а«1па, т. е. (а') =а" 1па. 1 1 « ' «Ф д!оа В частности, (е«)' е«, (е «)' = — е-«. 2. у=агсзтх()х! < 1, — и!2 <у < и/2), х=-з(пу— обратная функция. Поэтому ! ! ! ! у«вЂ” «Ж соху )Г! ~е1а«Е )/ 1,»«' т. е (агсз1пх) =— 1 г 1-х« Перед корнем поставлен знак +, потому что сову> О на ( — и!2, и/2). 3. (агссоз х) = ! — — агсз)п х~ 1 12 Ь»! —.»« ' 4. у=агс1их, х 1иу — обратная функция ( — со < < х< со, — п(2 <у <гг/2). Тогда г 1 «1 1 (агс1(1х)'=-„-„.~*=сов«у= —,, = + — „ е е.в пяонзводныв злвмвнтавных етнкцин )зз т.
е. (агс(й' х)'. †' !+хп ' 6. Совершенно аналогично доказывается, что (агсс!и х)'. —— !+хп ' 6, Производная оое плененной функции х (х> О, сев произвольное действительное число). Имеем хп гп!пп Так как функции гп и ее!ох имеют производную, то по теореме о производной сложной функции получим (хп)п (гп!пп)' гп!пп„— = ц сехп-1 Таким образом, (х")' =«ех -'. Этот результат согласуется с формулой (2) у 4.3 для производной от функции х" (хЕ( — со, оп)), где н — натуральное число.
7. Функция у= и(х)поо(и > О). Если и(х) и о(х) имеют производную, то этим же свойством обладает функция ипппгп1п и (!) и (и )'=г'м" (о1пи)'=и 1 — "и'+о'1пи). (2) !и Выражение р (х) 11п г (х)1' =— (3) называется логарифмической производной функции у. Так как )пап=о!пи, то в силу формулы (3) пю (о 1п и) о 1п и + (ип)' и с , ПИ' откуда следует (2). 140 гл, Ф диФФвгвнциелъноа исчисления 8. Гиперболические функции. !ех е х ~~ ех+е е (з)! х)' = !! — ~ — ( — е — СЬ х, гех+е-х ! ' ех е-х (с)1х)'= ~ — ) — =зал, 2 ) 2 9. у = Агз)! х — обратная функция для функции х.
АЬу. Отсюда ! ! 1 ! (Агй х)' — (,„ е) с у у !+евер р 1+» (см. Далее 2 4.12, пример 2). 5 4.7. Дифференциал функции 4.7.1. Дифференцируемые функции. Пусть функция Г имеет производную в точке х (конечную): (пп —" = Г'(х). Ае е Лх Тогда — для достаточно малых Лх можно записать в виде Ау Ах суммы Г'(х) и некоторой функции, которую мы обозначим через е(Лх) и которая обладает тем свойством, что оиа стремится к нулю вместе с Лх: ~"=Г(х)+е(Лх) (е(Лх)- О, Лх- 0) и приращение ! в точке х может быть записано в виде Лу=Г'(х)Лх+Лх е(Лх) (е(Лх)- О, Лх — 0) -или Лу=Г'(х) Лх+о(Лх). Ах-~ З Ведь выражение о(Лх) понимается как функция от Лх Ах Е такая, что ее отношение к Лх стремится к нулю вместе с Лх.
з лл. диефе енцилл фгнкцни ЦО Определение. Функция ~ называется дифференцируемой в точке х, если ее нрираи1ениг Лу в втой точке может быть представлено в виде Лу=А Лх+о(Лх), (2) ь-о где А не зависит от Лх, но вооби1г зависит от х. Т е о р е м а 1. Для того, чтобы функц ия ~ была дифференцируемой в точке х, т. е. чтобы ее нрираи1гниг в етой оючке представлялось по формуле (2), необходимо и достаточно, ч~аобы оно имела конечную нроизводную в этой точке. И тогда А=г' (х). Таким образом, сказать, что г имеет производную в точке х илн Г' днфференцируема в точке х — это одно и то же.
Поэтому процесс нахождения производной называют еще дифференцированием функции. Доказательство теоремы 1. Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной 1'(х) следовала возможность представления Лу в виде (1), где можно положить г'(х)=А. Необходимость условия. Пусть функция) дифференцируема в точке х. Тогда из (2), предполагая Лх ~ О, получаем А + = А+о(1). Ле о (ах) ах ал а -о Предел правой части при Лх — О существует и равен А: 1цп — А. Ле ьч ь Лх Это означает, что существует производная 1'(х)=А. 4.7.2. Дифференциал функции. Пусть функция у=)(х) днфференцируема в точке х: т. е.
для ее приращения Лу в этой точке выполняется равенство (2). Тогда Лу есть сумма двух слагаемых. Первое из них АЛх пропорционально Лх, а в таких случаях говорят, что оно есть линейная однородная функция от Лх. Второе †(Лх) ьк -~- ь является бесконечно малой функцией высшего порядка 'малости сравнительно с Лх. Если АчьО, то второе слагаемое стремится к нулю при Лх- О быстрее, чем первое. В связи с этим первое слагаемое АЛх ))(х)Лх на- 44а Гл. 4. диФФевенцилльяое исчисления зывается елавным членом приращения Ьу (при Ьх- О!, См. определение в конце $ ЗА0), Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символом йу.
Итак, по онределеиию ду = Ч = Г (х) йх. Нз рис. 47 изображен график Г функции у=)'(х); Т вЂ” касательная к Г в точке А, имеющей абсциссу х; )' (х) = 4к а, где а — угол, обрау зованный касательной с осью х; Ю йу=Г'(х)йх= 4найх=СР, РВ = Лу — йу = о (Ьх). вл- о А у Таким образом, дифференциал функции у в точке х, соответ- и ствующий приращению Ьх, есть у е л,лх е приращение ординаты точки, ле- жащей на касательной (йу СР). Рис.
41, Вообще говори, йу чь Ау, ибо пу = йу+ о (Ьх), а вто- ы- ь рой член этой суммы, вообще говоря, не равен нулю. Только для линейной функции у=-Ах+В имеет место равенство Лу=АЛх=йу для любого х. В частности, для у=х, йу=йх=бх, т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой (дх=Лх). Поэтому дифференциал произвольной функции г" обычно записывают так' йу=~'(х)йх, откуда г'(х) =Д, т. е. производная функции Г в точке х равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной х. Эхо объясняет, что выражение йу~йх (дэ игрек по дэ нкс) употребляется как символ для обозначения производной.
Надо иметь в виду, что дифференциал йх независимой переменной не зависит от х, он равен Ьх — произвольному приращению ареумента х. Чпю же касается дифференциала йу футщии у (отличной от х), то он зависит от х и йх. З 4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Отметим формулы д (и ~ о) = ди ~до, г((и.о) = и ~Ь+ о ~йг, г((си)=сди (с — постоянная), ДЮ=™м„, (ЕФО), (6) (4) (Ь) (6) где предполагается, что и н о †дифференцируем функция в рассматриваемой точке х, Например, формула (6) доказывается так~ 4.7,3.
Приближенное выражение приращения функции. Если функция у ~(х) дифференцнруема в точке х, то на основанин формулы (1) ее приращение, соответствующее приращению Ьх, можно записать следующнм образом: Лу* ау+о(йх). ь-о Отсюда следует, что дифференциал функции прн доста- точно малых Лх может служить хорошим приближением приращения функции. В этом смысле пишут приблнжен- ное равенство Лд ж др ~' (х) бх, (7) которым широко пользуются. Пусть надо вычнслить значение функцнн ~ в точке х, т, е. чнсло ~(х). Однако появнлась необходимость заменить х его приблнженным значением х+ЛхА х ж х+ Лх.
Возникает приближенное равенство ((х) ж Г" (х+ Ьх). Его абсолютная погрешность равна (Лу(=(Г(х+ Ьх) — 1(х)(. . Если функция ( дифференцируема в точке х, то из фор-:.мулы (7) следует, что при малых Ьх можно считать, что абсолютная погрешность рассматриваемого приближения равна приближенно абсолютной величине дифференциала ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИДЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ функции: ) ЛУ) ж)с(У), вычисленного для соответствующего приращения (>х. Относительная же погрешность приближенно выражается следующим образом: ! !!! П р и м е р 1. Если считать, что рзе"8 001 ° з г8 — 2 то погрешность приближенно равна дифференциалу функ.
ции и — хиз в точке х=8, соответствующему приращении> Вх = 0,001; с(В= — х-згзбх=-8-згз,0 001 1 . 1, 1 3 3 ' 112 2о(а>' Вопрос о том, насколько точны втн наши рассуждения, может быть решен методами, которые мы будем еще изучать (см. 2 4.14). й 4.8, Другое определение касательной В слу >ае, когда производная 1'(х,) конечна, возмоягно дать другое, энвнвалентиое определение касательной. Зададим произвольнузо прямую ь, р — рз=-гп(х — хз), проходя. пгую через точку А=(хз, 1(хз)) кривой Г: у=..)(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
