Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Существует рациональное число со такое, что ао > М, поэтому М <по<аз уя>а. Следовательно, ая — «+ оо при х — о+со. Доказательство 6). 1 1 Па а" !йп — „м —.=О, о Я Па о о-Ооо До.каза тельство 7). Отметив, -что прн натуральном а, в силу 2), я та я я аям=ая...ая (а")я'! (,ам ~ аоо ...ае' =аоо а"1 оо м я ! аяч =(а") оо, Дла рационального числа — > О Р Р 1 1' я~у р -р я (ая) о =(ая) о ~аз / а Далее, 'если у-произвольиое полон!игольное число и пи ой, где а„— рациональные числа, то в силу непрерывности показатель. ной функции азу= Па а""р Па (оя)оя (ая)у, а ою я-он и мы доказали 7) длн у > О. Если у < О, то (р= — (р() ояу и-я! з ! — ~(ая)-1р( (пя)у, 1 ! ая1Ы ((ая)!з В силу произвольности последовательиости (яо), где я > О, втпм доказано, что существует правый предел 1йи да — 1.
(15) я оо я) о гл. з. етнкция птвдвл охнкции Если О < а <1, то полагаем ! ак !!~с)к ' Свойства 1), 2), 4) при атом сохраняются. Свойство 3) имеет вид ак > аг (х < у). Свойство 6): ак О, х- +оо, Свойство же 6) имеет вид ак- + оо, х- — оо. г) Функция ! оя, х, Будем считать а ) 1. Так как функция у = а' непрерывна и строго возрастзет на ( — оо, со) и отображает интервал ( — оо, оо) на интервал (О, оо), то существует обратная к ней функция, непрерывная и строго возрастающая на (О, оо). Ее называют логарифмом у при основании а н обозначают символом х='1ояку, уб(О, со), Из сказанного следует, что (мы заменяем у на х) Ип! ! ояк х = + оо, И!и 1оя, х = — оо. к-ккрм к к к>а При а < 1 рассуждения аналогичны. Функция ак также отображает действительную ось ( — оо, оо) на полуось (О, оо), но строго убывая.
Обратная функция 1оя,х, определенная на (О, со), также будет строго убывать, и теперь !пп 1оякх= — оо, Игп!оя,х=+оо. к к в к>к Имеют место тождества (см. й 3.6) акякк=х (О < х< + со), 1ояаак* х ( — оо < х < 1-оо) (17) (ачь1). Отсюда на основании свойств функции ак при х, у>О имеем а!охк(кг) кк ху никака!скак к а!ока кк !сгаг и 1оя, (ху) 1ояк х+1оя, д.
Если в атом равенстве заменить х на х/д, то получим 1оя, х — 1оя, у = 1оя, (х/у). Далее (см. 7)) а!Окккк кк хк' ~ (а!ага к)7 ах!скак (х ) О) $3.8. элементагныв Функции из поэтому !ойа хт = р 1ойа х (а Ф 1, х > 0). (1й) Наконец, отметим, что для положительных пе равных 1 чисел а н о имеет место 1 а а Ьааа (П1 аа)1 ааа О1аааа и, следовательно, 1ойа 6 1ойа а = 1. Логарифм числа а при основании г называется натуральным логари4мом числа а и обозначается так: 1од,а=!п и.
д) Вернемся к степенной функции р=-хи (0(х(оо), После изложенного выше мы можем сказать, что зта функция имеет смысл не только для рациональных п, но и для иррациональных. Ее можно записать (см. (17) и (18)) так: ги1ии (19) откуда видно, что она непрерывна, как суперпознпня непрерывных функций. При п> 0 она строго возрастает и обладает свойствами !ппхи=О, !пп х" = +оо.
а а х->аи иьа При и > 0 естественно считать, что Ои=О, тогда функция делается непрерывной справа в точке х.. О, При в<0 функция х" непрерывна н строго убывает на положительной полуоси и обладает свойствами 1пп хи = + оо, 1пп х" О. и-~а «-а а ива Из формулы (19) следует характерное свойство степенной функции (Ху)и ги 1и 1аа) — ги 1а «ги 1п а — Хини (х, у > 0), е) чаункцн я у=и(х)"<"1. Пусть функции и(х) и о(х) заданы в окрестности точки а, за исключением, быть может, самой этой точки, и (х) > 0 и 1пп и (х) = А > О, гл.
3. Функция. Игвдвл Функции !)4 1!П)п(х)=В (А и  — конечные числа), Тогда х-«а 1!и! и (,)« (х) = Аэ. (20) В самом деле (см. (17), (18)), Пп! Г«(х)!п и(хц ВГП И (Х)«(х) 11(П Е«(х) !п «(х) ах -1-а (пп «(х) Ппь !и а (х) Ех а х а ЕВ(«4 АР Во втором равенстве этой цепи использована непрерывность функции е', а в четвертом — непрерывность функции !п г. Если и(х) и о(х) непрерывны в точке х=а и и(а)>0, то в некоторой окрестности этой точки и (х) > 0 (см.
3 З.З, теорема 4] и А=и(а), В=о(а). Поэтому в силу (20) 1цп и (х)'(') = и (а)'('). Отметим интересные случаи, не предусмотренные равенством(20), когда (при х — а,.и>0) и — +со, и — 0; о- пп, и- 1;и- 0 и — О. В этих случаях не действует теорема о пределе и!пи. Заранее, не имея более точной информации о характере стремления и н о к указаннь!м пределам, невозможно дать формулу для 1!П)и«. Зги случаи дают для выражения и" х-«а в окрестности точки а неопределенности вида оп', !", 0'.
ж) Тригонометрические функции в)пх, созх, )ц х и др, известны читателю из курса тригонометрии. Опи определяются там нз геометрических соображений. Мы будем тоже бавироватнся на втих определениях. Можно было бы дать чисто аналитическое определение тригонометрических функций, но мы этого делать не будем, Отметим, что функция у=э)пх непрерывна (см.
33.3, пример 3) и строго возрастает на отрезке ! — и(2, и/21, отобран(ая этот отрезок;на отрезок ! — '1, 11. г!о тогда оиа имеет обратную однозначную непрерывную функцию х=агсе)пу (уЕ! — 1, 1!). Однако функция у=-з!Их, рассматриваемая на,всей осн ( — пп, ио), имеет многозначиую, даже бесконечнозначную, обратную функцию Агсэ!и у, все значения которой вычисляются по формуле х=Агсв!пу=( — 1)" агсв)пу+/гп (/г О, ~-1, ~-2, ...), (21) Из З ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ т. е. каждому уб [ — 1, 11 соответствует множество е„значений х, определяемых формулой (21). Подобным образом для функций у = соз х (О ( х г-' и), у=!3х ( — и!2(х<н/2) обратными будут функции х=агссозу (у~[ — 1, 11), Х аГС13у (у~( — оо, оо)), а для этих же функций, рассматриваемых на действительной оси, обратные функции имеют соответственно вид х = Агссоз у = ~агссоз у+ 2йч, х = Агс13 у = агс!3 у+ йн (й=О, -+.1, 1-2, ...), з) Гиперболические функции.
Функции ех е г ем+ел 5Ь х сьх Й х = — сй х = 1)! х = — с1)! х =— 2 ' ' 2 ' сах' гпх называются соответственно гиперболическим синусам, косинусом, тангснсом п нотангенсолв Начертим их графики Ряс, 32: Ряс. 33, (рнс. 32 и 33). Функции йх, сЬх, й,х определены на ( — оз, оо), а с1Ь х — на этом же-интервале, за исключением точки х=О. Легко проверить„что для этих функций имеют место ', формулы, подобные формулам обычной тригонометрии (но ГЛ. 5, ФУНКЦИЯ. ПРЕДВЛ ФУНКЦИИ не всегда совпадающие).
Например, й(х+у)=захе!1у+йусЬХ, сЬ(х+д)=с)1хс!1у+йхзЬу. Полагая в последнем равенстве у=- — х, получим сЬ9 х — й' х = 1. Отметим, что все рассмотренные здесь функции непре- рывны в своих областях определения. Для йх, 1)! х суще- ствуют обратные функции ареасинус гиперболический Х=Агз)1у и преаглангенс гипгрбоииескии х= Аг()! у, кото- рые однозначны. Обратная функция для с)1х при х'".0 также однозначна. й 3.9. Замечательные пределы Теорема 1. 1пп — =! . 51П Х Х 5 Доказательство.
Так как функция д=з1пх является непрерывной, то з!пх — з!п0=0 при х- О, Поэтому выражение — представ- 999 Х Х ляетсобой неопределенностьвида ~1 от — 1 . Раскроем эту неопредео1 ленйость. Из определения тригонометрических функций и геометрических соображений имеем х (рис. 34) й 0 < 51пх<х< 1их при О < х < и!2 (Мй1=91пх, АМ 1 ОМ, АМ=1дх, ОМ=1, Сравните площади треугольника ОМПЕР, сектора ОМ! и треугольника ОМА). Отсюда, деля на з!пх > О, получаем 1 « — — или 1 » — соз х, (1) Х 1 91П Х 91П Х СОХ Х Х Неравенства (1) верны и для — п(2 <х<0, так как функции соз х и †. четные.
Далее функция соз х непре. 91П Х Х рывна, поэтому 1!п! созх=соз0=1, 9 «9 2 3.9. ЗАЛ1Е22АТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ !!7 и, следовательно, переходя к пределу в (1), в силу теоремы 4 ~~ 3.2 получим, что ОЫК к- О Пример 1. „. 2!222 ' о 1 — ЕООХ '; ' 2 1ип — = 1ип — „-=:= 2 к О Х 2 О !ИП О к О 2 Теорема 2. 1ип (1+ — „) (2) К О ( .) 1 ккк 1+ — ) - Е 2!7Х вЂ” оо. х„7' О (3) Если х„=а — натуральное, тозтоуже доказано.
Чтобы доказать (2), достаточно убедиться в том, что (2) верно в двух случаях: когда хк — + оо и когда х„ — — оо, пробегая не обязательно целые значения (см. замечание в конце з 3.2), Пусть х„— произвольная переменная, стремящаяся к + оо (х„+ оо), н пусть 1х„1 = е,— целая часть числа х„, Тогда 72„<х„<е„+1<х„+1 < е„+2 и ('+.!. )'"<(!+ )""<(1+)"" ('+ а)' При х„+оо(х„!=!!О +со, откуда первый и последний члены цепочки неравенств стремятся к е. Позтаму (1+ — „) е, ! и так как прн атом 1+ — — 1, то мы доказалв (3) для Х,О к-+ Доказательство. В силу определения предела функцив мы должны показать, что Гл.
О. Функция, пРвдал Функции Если теперь х„— — Оо, то х„' — х„- +со и 118 1пп ~1+ — ! = !нп (1 —,~ и= 1лп и Ч и —. х»/ хи-> и х -иии Х вЂ” ! 1пп ~(1+ —,) " (1+ —,)1 =е, ь т. е. (2) доказано. Пример 2. И'и(!+и)"и-е и-и» Получается нз (2) заменой 1/х=и.
Пр имер 3. И!и (1-(- — ~ =е", !цп (1-(-ООи)ци =е" та, ( „) и-и О При а=О зто выражение сводится к пределу !Нп 1'-= х-и и =1=с', потому что по определению считается, что 1" =1. ПуСтЬ тЕПЕрЬ а~:О. ЕСЛИ Х ОО, тО х — ОО И й (1+-„) = ~(1+-„) ~ =и'"- е". Так как 1пи есть непрерывная функция на (О, ОО), то (см.
пример 2) )цп — =)цп 1п(1+х)'/х =!пИпт(1+х)'/х =!не=1. !л (!+х) х х О »- О Пример 5. ОХ 1 ОХ вЂ” 1 !пп — = 1па (а > О), !цп — =1. х-и О х-и О В самом деле, положим а" — 1=и. В силу нелрерьтвности показательной функции и- О при х- О. Далее, х1па=!п(1+и), поэтому (см. пример 4) 1пп — =!Ип, + 1па=1па. Ип! ! — 1 — — ) = !па. »х ! . и и к и О!и(!+и) »~О !О(Т+и) Надо учесть, что стеленная функция и" непрерывна а точке и=е (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
