Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Рассуждая так по индукции, мы либо наткнемся на очередном этапе рассуждений на точку с Е(а, Ь), для которой [(с) =О, и тогда теорема доказана, либо получим последовательность (бесконечную) вложенных друг в друга отрезков одно,лод=д..., на каждом из которых г имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с, принадлежащая всем о„, следовательно, и (а, Ь). Очевидно, ((с) =О, потому что, если допустить, например, что [(с) > О, то нашлась бы окрестность [з'(с) точки с такая, что для всех х из (а, Ь), принадлежащих У(с), функция Г(с) была бы положительной, но этого не может быть, потому что прн достаточно большом и отрезок о„~0(с), а [ не сохраняет знак на а„.
Теорема доказана, й 3.6. Обратная непрерывная функция Рассмотрим непрерывную строго возрастающую на отрезке [а, Ь) функцию у=[(х) (рис. 28). Пусть [(а)=а, ~(Ь)=б. График этой функции есть непрерывная кривая. Из его рассмотрения видно, что если х непрерывно возрастает 5 Вкь ОВРАТНАЯ НВПРВРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ от а до Ь, то у при этом тоже непрерывно возрастает от а до Р, пробегая все значения на отрезке [и, Р] по одному разу. Но тогда каждому значению у Е[а, (1] соответствует единственное значение х а [а, Ь] такое, что у=1(х), Этим определена иа от- резке [а, [)] функция У~ х=у(у) уб[а, Р].
называемая функцией, обратной к функции у=(х). Очевидно, функция х =- у (у) строго возрастает на отрезке [а, Р] и отображает этот отрезок на [а, Ь]; выполняются тождества Ну(у)]=у 'туЕ[гь, Я, у[~(х)] х Ух~[а, Ь]. Рис. 28. График функции х=у(у) можно получить, повернув на 180' рассматриваемую плоскость вокруг биссектрисы первого координатного угла системы х, у, Так как в результате поворота график остается непрерывным, то это показывает, что функция х=у(у) непрерывна на [а, Р]. Таким образом, пользуясь чисто геометрическими соображениями, мы установили справедливость следующей теоремы.
Теорема 1, Пусть функция [ непрерывна ни отрезке [а, Ь], строго возрастает на нем и а=((а), (э =1(Ь) Тогда; 1) образ отрезка [а, Ь] при помощи 1 есть отрезок [а, Р], 2) существует обратная к Г функция х=у(у), однозначная,, строго возрастающая и непрерывная на [и, р]. Формальное доказательство теоремы 1 будет основано на следующей лемме, Лемма 1. Пусть строго возрастающая функция у.
1(х) отображает отрезок [а, Ь] на отрезок [и, Р], т. е. 1([а, Ь]) =*[а, Р]. Тогда ~ непрерывна на [а, Ь]. Доказательство. Зададим произвольную точку х„ принадлежащую пока интервалу (а, Ь) (а < х, < Ь). В сйлу того, что 1 строго возрастает, соответствующая точка у, ~(х,) будет принадлежать интервалу (а, Р) (а<уь<Р). Зададим е ) О, настолько малое, что а < у, — е < у, < <у,+г <(1.
По условию найдутся точки х„х,Е(а, Ь) (х, < х, < х;) такие, что у,— е=((х;), у,+а=((х,). Ьао ГЛ. Ь. ФУНКЦИЯ. ПРВДЯЛ ФУНКЦИИ )Ге~а, й1. С другой стороны, если у — произвольная точка отрезка ~!и, Я, то оиа принадлежит к У на основании теоремы 3 ~ 3.5 о промежуточном значении непрерывной функции„ т. е. (2) "(а, Я~У Из (1) и (2) следует утверждение 1): 'Г' == 1сь, !31. Утверждение 2) теперь следует из леммы 1. В самом деле, так как 1 строго возрастает, то на Г'= "1а, (31 существует обратная функция д(у), строго возрастающзя, и оиа отображает отрезок !а, !31 иа отрезок 1а, Ь1.,Но тогда по лемме 1 функция у(у) непрерывна.
Теорема доказана. Незначительно изменяя приведенные выше рассужде. ния, можно доказать следующий аналог теоремы !. Теорема 1'. Пусть функ!(ия 1 непрерывна и строго возрастает на (а, Ь) (или на '(а, Ь), или (а, Ь1) и а !п1 1(х), й= зцр 1(х). аа(а,ВВ аа(а, Ь) Тогда образ интервала (а, Ь) (соответствегиьо '1а, Ь), (а, Ь1) есть интервал (а, (3) (соответственно 1а, 13), (а, й]) и обратная к 1 Функция х=д(у) однозначно, строго возрастает и непрерывна на (и, й) ((а, )3), (а, !31).
3 а м е ч а н и е. Строго убывающая непрерывная на ')а, Ь1 (на (а, Ь)) функция 1(х) имеет обратную строго убывающую непрерывную функцию на ~й, а1, где а 1(а), Интервал (х„х,) можно рассматривать как окрестность точки х„(хь Е (х„х,)). Вследствие того, что функция 1 возрастает, при ха(х„х,) будет у,— в <1(х) < у,+е или )1(х) — у,) <е, т. е. ~ 1(х) — 1(х,)! < г, и мы доказали непрерывность функции 1 в точке х,.
Если х,=а или х,=-Ь, то аналогично доказываем одностороннюю непрерывность функции 1. Доказательство теоремы 1. Пусть У 1(1а, Ь1) есть образ !а, Ь1 прн помощи1. Так кака 1(а), (3=1(Ь) и 1 возрастает, то а<1(х) ~..й 3гхЕ~а, Ь1, откуда следует, что э З.к РАВномеРнАя непРВРМВность Функции )о1 р =1(Ь). Это легко устанавливается, если рассмотреть функцию — 1".(х) или же функцию 1( — х). Если хсе непрерывная на 1а, 61 функция р=((х) не является строго монотонной на 1а, Ь), то можно определить для нее обратную функцию, но эта последняя уже будет многогначноц во всяком случае для некоторых у.
Пр имер. Функция у=яПХ (ХЕ( — сс, сс)), непрерывна, но пе монотонна. Множество ее значений у заполняет отрезок 1 — 1, Ц. Каждому у из этого отрезка соответствует бесконечное число значений х, для которых р=япх. Впрочем, например, на отрезке ( — л/2, л/21 функция у=них непрерывна и строго возрастает и имеет обратную непрерывную функцию, которая, как мы знаем, обозначается так. х = агсяп у,( — 1 ~ у ~ 1).
$3.7. Равномерная непрерывность функции Пусть функция Г непрерьвна на отрезке (а, 61 (или интервале, полуинтервале). Тогда для каждой точки х, этого отрезка (интервала, полуиитервала) по заданному е > О найдется 6 > О такое, что )~(х) — 1(х„)! < е, как только (х — х,~<6, хЕ~а, 61 (или (а, Ь), [а, Ь), (а, Ь~). При изменении х, при постояином В число 6, вообще говоря, изменяется — оно за- Рис. 29. висит не только от е, но и от х,, Как видно из рис.
29, число 6, пригодное на участке с пологим графиком, может оказаться слишком ' болыпим для участка с круто поднимающимся графиком. В связи с этим естественно выделить те непрерывные функции, для которых при данном В > О можно указать 6 > О, пригодное сразу для всех х, принадлежащих тому множеству, где задана Функция. Начнем с определения. 102 ГЛ. К ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определен.не 1.
Функция Г, определенная на мноккестве Х, называется равномерно непрерывной на этом множестве, если. для всякого з > О найдется 6 > О, зависяи1ее только оп1 е, такое, что Ц(х') — ~(х»)~ (з для всех х', х" Е Х, удовлетворяющих неравенству 1х' — х»1 < 6. Легко видеть, что если функция равномерно непрерывна иа множестве Х, то тем более она равномерно непрерывна на любом его подмножестве Х'(Х'~Х). Обратное, вообще говоря, неверно. Теорема 1. Если функция гопределена и непрерывна на отрезке [а, Ь|, то оно равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Допустим, чтотеорема неверна. Тогда существует такое з> О, что для любого 6> О найдется пара точек х', х" Е[а, Ь), удовлетворяюших неравенству ~ х' — х' 1( 6„для которых У(х') — 1(х") !>ж Зададим стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел 6„(п=1, 2, ...). Для каждого 6„ найдутся точки х„',:4 Е[а, Ь1 такие, что 1х„' — х„"(<б„но ~~(х„')-г(х„")1>е. (1) Так как точки последовательности (х„') принадлежат к [а, Ь|, то зта последовательность ограничена и из нее по теореме Больцано — Вейерштрасса можно выделить подпоследовательпость (х„' ), сходящуюся к некоторойточке х,й'[а, Ь).
Так как х„' — х„„- О, й- со, то подпоследовательиость (х'„'ь) тоже сходится к точке х,. По условию функция ( непрерывна иа [а, Ь) и, следовательно, непрерывна в точке х,. Конечно, если х, а или х,=Ь, то надо считать, что г непрерыв11а в х, справа или соответственно слева. Поэтому 11ш г(х„'„) = 1пп г(х„л) =)'(хь). ПОСЛЕ ПЕрЕХОда К ПрЕдЕЛу В (1) Прн й- оо ПОЛУЧИМ з» 1пп 11'(х,', ) — ~ (х„" ) 1=11 (х ) — 1'(хь).1=0, (2) и мы пришли к противоречию: з~0. 4 з.з.
элвмантхгныв авиации (оз Заметим, что .в (2) мы воспользовались непрерывностью функции )и1 (см, 2 З.З, пример 8). Теорема доказана. Пример 1. Функция у = з)п (1/х) непрерывна на отрезке [6, Ц т'6> О, поэтому на основании теоремы ! она равномерно непрерывна иа этом отрезке. С другой стороны, на полуинтервале (О, Ц зта функция хотя,н Непрерывна, но ие является равномерно непрерывной, Это показывает, что требование в теореме 1, чтобы непрерывная функция была задана на отрезке, а ие на интервале, существенно. Убедимся в том, что наша функция не является рав.
2 номерно непрерывной на (О, Ц. Точки хэ —— + (й = п(2а+!) = О, 1, 2, ...), очевидно, при~адлежвт полуинтервалу (О, Ц, и для них ) Г (ха+ ~) — 4" (хь) ) = ~ з!п — з1П и(2Ь+3) . н(2Э+ О (( 1)4+1 ( 1)4~ 2 Если задать е 1, то пря любом 6>О найдется такое(', что 4 ~~ — ъ~=зткдтвтц(6 между тем как ) ~ (ха+ 4) — ) (хь) ) = 2 > е = 1, Из сказанного следует, что .нашу функцию нельзя продолжить на отрезок [О, Ц, доопределив ее в точке х=О так, чтобы она стала непрерывной нв [О, Ц, потому что тогда, согласно теореме 1, она была бы равномерно непрерывной на [О, Ц, а следовательно, и на (О, Ц, чего быть не может. $ 3.8.
Элементарные функции Функции С (постояниая), х", а", 1ои,х, з1пх, созх, 1пх, Агсз)пх, Агссозх, Агс(их мы будем называть простейи4ими элементарньсии фунноиаз4и. Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции (суперпозицин) в ко- 104 ГЛ. 8.
ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ печном числе, мы будем получать новые более сложные функции, которые называются злеженпгприыми 4ункциями. Например, р= 1п(е" +зги'х+ !) — элементарная функция. Элементарные функции нам известны из школьной математики. Там уделялось большое внимание их свойствам, но определялись они не всегда строго, полагаясь на интуицию учащегося. Нам будет полезно уделить некоторое внимание этим вопросам с точки зрения общих фактов математического анализа, которыми мы уже успели овладеть. а) Постоянная функция С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
