Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Вш зл 1, Ыщ 8р=1 Ал 6 Хл В Ыа (8л — вл)=О. - 6 11. Достаточность. Пусть условие(3) вьпюлиено. Тогда из неравенства (2) следует, что 1 1». Обозиачвм общее значение втих двух чисел через 1 11 1»=1). Тогда з!! ~ 1 ~ 8!!. (4) Из (3) следует; что для любого в > О 33 > О такое, что ) 8!à — зй) < в прн йчг < 3. Но тогда нз (1) н (4) получаем (1 — ол(< в при )ьл< 3, т. е, 1 является пределом дли ой и 1(х) ивтегрнруема„ Гл.
О определенный интеГРАл 3 а и е ч а н и е. Из доказательства теоремы видна, что если функция /(х) интегрируема на [а, Ь), то Вш в!1= 1йп Зл = Ье 0 Кн 0 0 ь = ~/(к) ах, и обратно, если Вш зн= Яш ЗЛ=1, то 1=/(х) с(х. о АЕ-+О ЬЕ-~О а 2 6.7. Интегрнруемость непрерывных н монотонных функций Те о рема 1. Если функция /(х) нгаргрыгна на [а, Ь), та она интегрируела на [а, Ь). Доказательство. Так как функция /(х) непрерывна на [а, Ь), то она равномерно непрерывна на [а, Ь) и, следовательно, тсз > 0 Зд(е) > 0 такое, что как только [а, Ь) разбит на чг:ти С АЛ < 6, то все колебания ин < е.
Отсюда к-1 и-! ~р мс дхс ~ в ч~~~ ад«с = е (ь — а). С О ! О к-1 В силу працчвальности а заключаем, что 1Вн Ч~Р~есдх;=О, н по "и "0 С=О теореме 1 О 6.6 функция /(х) ннтегрируема. Теорема 2. Монотонная на отрезка функция интггриругаа на заюм отрезке, Д о к а з а т ел ь с т в о.
Будем считать также, чта / (а) < / (Ь), низче функция пастояпна и теорема тривиальна. Так как /(а) и /(х)иц/(Ь) 'Фхе[а, Ь), то наша функция огра- ничена иа [а, Ь). Введем разбиение Я!отрезка [а, Ь) с /сл < д. Так как в данном случае ю;=/(хс+й — /(хД, то а-1 и-1 ~,' сос дхс и- д ~ оц = д [/ (хй †/ (хо) + / (хз) †/ (хс) + " . С О С О ...+/(х„) — /(хн с)) 6[/(Ь) — /(а)), к,=а, «„=6. Выберем теперь д =з/[/(6) — /(аЦ; тогда и-1 ч~~~ юс дхс ~ ас С 0 н по теореме существования (теорема 1 6 6.6) заключаем, что /(х) интегрнруена.
Теореиа доказана. Замечая не 1. Отметям, что монотонная функция может иметь счетное множества точек разрыва. Например, функция у= 1 1 1 =х+ —, — < х~ —, а=1, 2...„у(0)=0, монотонно возрастает на [О, 1), вмеет счетное множество точек разрыва. Следовательно, по теореме 2 она иитегрируема. Замечание 2. Есзп /(х) интегрнруема иа [а, 6) (а < Ь), то [/(х) [ также интегрируем. 9 6.8.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2249 В самом деле, тх' и х" из [хь хвг,) имеем 1 [)(х') [ — 11 (х") 1[~)1 (х') — )(х") [. ()) рели со,'., о11 — колебания [)(х)[, соответственно )(х), на [хь х1+1), то иа (Ц следует, что ог,". ==м1 и и-1 в-1 ч~'". со; Ах1( ~о11ах1. 1=0 Так как ) (х) интегрируема, то в-1 ~',~ас ох1 — О ирн Хн — О, 1=О но тогда Ч~Р со1 ах1 — О, 1=8 н, следовательно, [) (х) ) интегрируем, 5 8.8.
Несобственные интегралы Зададим на конечном полуинтервале [а, Ь) функцию)".. Допустим, что она интегрируема (например, непрерывна или кусочно-непрерывна) на любом отрезке [а, Ь'1, где Ь' <Ь и не ограничена в окрестности точки Ь. Тогда ее интеграл на [а, Ь) или, что все равно, на [а, Ь) в обычном смысле (Римана) не может существовать, потому что 'интегрируемая на [а, Ь1 по Риману функция необходимо ограничена.
Однако может случиться, что существует конечный предел 1пп ~)" (х)г(х. ь- ьа Если это так, то этот предел называют несобственным ангг1егралодг от ( на отрезке [а, Ь) и записывают в виде ь ь ~ [(х) г)х = 1нп ~ [ (х) г(х. (1) ь ьа а В таком случае говорят, что инлгеграл ) Тс[х сходится. о В противном случае говорят, что он расходие1сл или не существует как несобственный риманов интеграл, Допустим теперь, что функция 1 задана на луче [а, оо) и ннтегрируема на любом конечном отрезке [а, Ь1, где 250 Гл. 6. ОПРвдвлвнныи интвгелл а < Ь' < оо. Если существует предел Ь' 1пп ~ г" (х) ах, ь' -» », то он называется нессбственныль интегралоль от г' на [а, оо) и обозначается так: ~О ь ~((х)дх 1пп ))(х)йх.
О ь' -»»» ь Условимся в следующей терминологии. Выражение ь ~ ~ (х) дх а будем называть интегралсль (ст 1) с единственной ссобеннсствю в точке Ь, если выполняются следующие условии: если Ь вЂ” конечная точка, то функция г интегрируема иа [а, Ь'1 при любом Ь', удовлетворяющем неравенствам а<Ь'(Ь, и, кроме того, не ограничена в окрестности точки Ь. Если же Ь=+ оо, то про функцию ( предполагается лишь, что она интегрируема на [а, Ь'1 при любом конечном Ь' > а.
ь Подобным образом определяется интеграл ~ )' (х) е(х а с единственной особенностью в точке а. Теперь Ь вЂ” конечная точка. Если точка а( Ь тоже конечна, то 1 в окрестности а не ограничена и интегрируема на любом отрезке [а', Ь1, где а ( а' < Ь. Если же а= — оо, то функция 1 предполагается интегрируемой на [а', Ь1 для любого а' < Ь. В дальнейшем мы будем для определенности рассматривать интеграл (2) с единственной особенностью в точке Ь, конечноя или бесконечной.
Все выводы по аналогии могут быть перенесены на случай интеграла с единственной особенностью в точке а. Теорема. Пусть задан интеграл (2) с единственной особенностью в точке Ь. Для его суьиествованил несбхсдилю и достаточно выполнение условия (Коиьи)г для всякого е ~ 0 суи(ествует Ьв < Ь иииаж, чяю ~1ноь»~<~ $ а.а. несОБстВенные интеГРАлы каковы бы ни были Ь', 6", удовлетворяюи!ие неравенствам Ь,<6'<6" <6. Доказательство. Рассмотрим функцию Р (х) = ) !' (!) б! (и < х < 6). а ',Существование интеграла (2) зквивалентно существованию предела 1пп Р (х), что в свою очередь зквиеалентно выполя -~ В я<а нению условия Коши: для любого е>0 существует Ь„ где а < 6, < Ь, такое, что выполняется неравенство '1Р(6") — Р(6'))< е для всех Ь' и Ь", удовлетворяющих неравенствам 6, <Ь' < Ь <Ь.
Но Р (6") — Р (6') = ~ ~ (!) дг, -н теорема доказана. Пример 1. Интеграл (4) где а > 0 †постоянн число, имеет, очевидно, единственную особенность е точке х=О. Чтобы выяснить, сходится лн он, надо вычислить предел 1 Рвя . ~~-~ !1 . ! 1 —,с»<1, 11щ е! — „= 1Нп — 1 =1нп — !! — е' "1= ! — и' е- а я" я а! — и1я я- а! — Оя »>» я ао, а. Таким образом, интеграл (4) сходится прн а< 1 н равен (1 — а)-1, и расходится при а > 1. Если же а=1, то он асходится ." р 1пп е! — = — Нш!и и=+ Оо. Г Ея е-+О е-+ О я Пример 2.
Интеграл — = 1пп ) — „= — 11ш х'-"~ 1 1 ! , »1 > 1 (сходится), + Оо, и <1 (расходится); Гл ь. ОНРеделенныи ннтвГРАЛ интеграл - = 1нп ) - =- 1пп 1п У=- + оо (расходнтся). ьх Г дх х л „,)х 1 е-хь(х 11ш )е-хдх= 1нп ( — е х)~ 1нп 11 е-,~ 1 ь х-".""о М + ю ~ь л Пусть снова аадан интеграл ~ 1(х)ь(х, п имеющий единственную особенность в точке Ь.
Тогда ин- теграл ~ 1(х) ь(х, с (б) где а ( с ( Ь, также имеет единственную особенность в точке Ь. Условие Коши существования интегралов (5) и (б) формулируется совершенно одинаково. Поэтому эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся. Кроме того, при а<с<Ь, очевидно, имеет место ь ь г '6 ь 1н -и 1~и*- ь 11н*-~1~и)- д Ь'-~ьь Ь'-~Ь д С ь ь. е ь = ) Г дх+ 1пп ~ 1 ох = ( Г ь(х + ~ 1 ь(х, О ь ь, С где ~ — обычный риманов собственный интеграл, а инь ь ь тегралы ~ и ~ несобственные. ь ь Пример 3, Интеграл )е-хдх имеет единственную ь особенность в точке х=-+ со, Он сходится н равен ф 6.8. Несозствениые иитегР((лы Отметим равенство ь ь $ (А~-сВ(р) дх= Вгп ~ (А~+В(р) дх= а ь' -»ь, ь ь ь ь А 11ш ~~дх+В 1пп ~ ч(йх=А ~! дх+В~ Ч(дх, (8) Ь' -» Ь а Ь'-~ Ьа а а где А н  — постоянные.
Его надо понимать в том смысле, что если существуют интегралы в правой части, то существует также интеграл в левой и имеет место равенство (8). Говорят, что интеграл (5) (име(ощнй особенность в точке Ь) сходится абсолютно, если сходится интеграл ь ~ ~1(х)~дх от абсолютного значения 1) (х) ~. Абсолютно сходяи1ийся интеграл сходится. В самом деле, из сходимости интеграла (9) следует, что для любого е ~0 на интервале (а, Ь) найдется точка Ь, такая, что если Ь, < Ь' < Ь" < Ь, то т. е.
для интеграла (5) выполняется условие Коши. Так как ! ь ь ~ ~(х)дх1~~) ~Г(х)!дх, а а то после перехода к пределу при Ьь- Ь для абсолютно сходящегося интеграла (6) получим ! ь ь ~ 1 (х) дх1 а=. ,~ 11 (х) 1дх. а а Замечание. Неравенство (10) верно н для не абсолютно сходящегося интеграла — в этом случае справа стоит оо, а символ 'со мы считаем большим любого конечного числа.
Этим широко пользуются в технике вычислений. Если надо узнать, сходится или иет интеграл )(дх, 'мы а ГЛ. К ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 264 пишем неравенство (10) н исследуем на сходимость интеграл 3 ь ) !1! дх. Если этот последний сходится, т. е. если ~ ~1 ~ дх < а а < со, то сходится и наш интеграл ~) дх. Конечно, если а ь ~ ~1~Г(Х= оо, тО ПрвдЕтСя К НаШЕМу ИвтЕГраЛу ПрнМЕННтЬ а более тонкие методы. Возможно все же, что он сходится, но только не абсолютно (см. примеры в конце $ 6,9). й 6.9.
Несобственные интегралы от неотрицательных функций Пусть задан интеграл ) 1" (х) дх, (1) а имеющий единственную особенность в точке Ь, н на промежутке (а, 6) интегрирования 1(х) ~0. Тогда, очевидно, функция ь Г" (Ь') = ~ Р (х) Г(х (а < Ь' < Б) а от 6' монотонно не убывает. Поэтому, если ова ограничена (Р(6') ~М, а < 6' < Ь), то существует интеграл (1) Ь ь )Г1(х)Г(х=!Пп ~~(х)йх~(М. а Ь -«Аа Если же г' неограничена, то интеграл (1) расходится~ )1(х)дх Вш ~1(х)Их +со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
