Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 40
Текст из файла (страница 40)
а и-«за Если 1(х)~0 на 1а, Ь), то пипгут А А )1(х)Г(х< оо или ~~(х)Ых=оо а а в зависимости от того, будет лн интеграл сходиться или расходиться. ь ь.ь, нзсозстзвнныв интвггьлы (2) ь ь )1дх= 1пп )1дх~~,~Чь(х. Теорема 1. Пусть интегралы ь ) ((х)дх, (1) ~ ~р (х) Йх, ь имеют единственную особенность в точке Ь и на проме- асутке (а, Ь) выполя ются неравенства 0~~~(х) «р(х).
(з) Тогда из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (1) и имеет место неравенство ь ь ~~с(х< ~~ рдх, а а а ив расходимости интеграла (1) следует расходимоеть интеграла (2). Доказательство. Из (3) следует, чтодля а<Ь'<Ь ь ь 11дх<1 рдх. (4) а а Если теперь интеграл (2) сходится, то правая часть (4) ограничена числом, равным интегралу (2), но тогда огра- ничена и левая, И так как левая часть при возрастании Ь' монотонно не убывает, то она стремится к пределу (интегралу). Наоборот, из расходимости интеграла (1) следует, что предел левой насти (4) при Ь'- Ь равен оо, а следовательно, и предел правой равен оо.
Теорема 2. Пусть интегралы (1) и (2] имеют единственную особенность в точке Ь, подынтегральные функиии полосхительны и суи(ествует предел Р (х) ь Е(х) 1пп — =А) О. (5) Тогда гти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся, Гл. о. ОпРеделенный интегРАл Доказательство. Из (5) следует, что для положительного о < А можно указать такое сб (а, Ь), что А — е « — А+а (с < х < Ь), ! (х) е (х) и так как ~р(х) > О, то (А — е)~р(х) <!(х) <(А+о)ф(х) (с<х<Ь). (6) Ь Из сходимости интеграла ) рь(х следует сходимость а ь ь интеграла ~ ~рь!х и сходимость интеграла ~ (А+о) ьрь(х; с с ио тогда по предыдущей теореме сходится также интеграл ь Ь ) 1ь(х, а вместе с ним интеграл ) 1ь(х.
Обратно, из сходна а Ь ь мости ) (дх следует сходимость ~ ьо дх потому, что наряду а с с (5) имеет место равенство в(х) ! Ь )(Х) А Вт — = — > О. Замечание. Равенство (5) означает, что функция г эквивалентна функции Ач при х- Ь. В этом случае также говорят, что функции г и ф имекьт одинаковый порядок при х — Ь. Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл ~ з!Пйхе "дх. о ! ~ е"хз!Пйхь(х1~ ~ !е хз!Пйх) ь(х( ~ е-хь(х 1 оо. о о о Ыы применили неравенство (10) В 6.8 и замечание к нему.
Значком между интегралами будем обозначать тот факт, что эти интегралы в силу теоремы р одновременно сходятся или одновременно расходятся. О о.!о несовственные интеГРАлы 2ВГ ! ! Пример 2, ) — ! — =со. 35!ПХ ~ Х— О О ! ! При мер 3. ~ ~~= <сс. ох !" Их 5$п)' х Р х О О пх — ! Пример 4. ) — е х!)х ) е х!(х <со. х ! ! Интегралы примеров 2 и 3 имеют единственную особенность в точке х = О. Надо учесть, что з1п х ~ х, з)п)"х ж)"х, х — О. Интеграл примера 4 имеет единственную особенность в х = сс. Надо учесть, что — е " ж е"х, х- + сс.
П рн МЕр 5. ~ (Х' — ЗХ+5)Е"ХГ(Х СХОдИтСя, ПОтОМу ЧтО ~6 1 (х' — Зх+ 5) е хГ(х ~ » ~ 1(хо — Зх+ 5) а-ОГО ~ е"ОГО 5(х» о о ='М ~ Е-хГОГ(Х< со. о дело в том, что !пп (х' — Зх+ 5) е-'!5=0, поэтому найдется д! > 0 такое, что ~ (хс — Зх+5)е- !5~ <1 ТГх> У, С другой стороны, фуякпия 1(хо — Зх+5)е-ХГО) непрерывна на 10, Л!1, следовательно, ограничена иа 10, ЛГ1 некоторым числом М,, Таким образом, она ограничена на 10, сс) числом М=,!пах(1, М!), $ 6.10. Интегрирование яо частям несобственнык интегралов Пример 1. Несобственные интегралы Ф ~ 5!ПХ ~ ССОХ О а Я, С.
Бтхосх, С. М нххсхмххо ГЛ. В ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРВЛ сходятся. В самом деле, интегрируя по частям, получим А Л для всех конечных А>а, Переходя теперь к пределу при А — со, получим в!Лх сова ассах — 'с(х= — ) —.' дх х а ) х' где интеграл в правой части сходится и даже абсол!Отпо! с(х ), с(х ) — — — — ( оо. сов х Г ! сов х ! Г Лх 1 хв ~ ,) хв ,) х' а а а Пример 2. Интеграл ) — "" с(х сходится не абсол!Отно (условно), ибо интеграл ~~-" — "- с(х оо (а > О), (2) т.
е, расходящийся. В самом деле, в силу неравенства а!Пв х и, (з!п х ~ несобственный интеграл и а Ф ('в!ивх (' 1 — сов 2х а а а Ф \О 1 Г 1 †с и 1 Г йи 1 Г сов и (2х= и) = — ) 2,) и 2 ! и 2 ~ и Но интеграл ) и 'созис(и сходится, а интеграл ~ и 'с(и 2а 2а расходится.
Следовательно, несобственный интеграл (2) расходится. Заме ча и и е. Сходимость интеграла (!) объясняется тем, что функция з!и х периодически колеблется, принимая последовательно положительные н отрицателы!ые значения. Накопление площади, вызываемое положительными 4 е.ге. несовстпеннь1е интегралы значениями Мп х, компенсируется соответствующим накоплением, вызываемым отрицательными значениями. Это явление получит объяснение в теории рядов (см. ряд Лейбница и условно сходящиеся ряды). Приведенные примеры показывают, что интегрирование по частям может оказаться полезным средством исследо.
вания сходимостн несобственных интегралов. Киже приводятся общие соображения, которые лучше поясняют механизм этого метода. Пусть функпия ~р(х) непрерывна на [а, се) и Ф (х) — ее перво. образная. Пусть, кроме того, л (х) непрерывно дифференпируеиая функпия на [а, ое). Тогда А л ~ гр (хг и (х) пх = К (х) Ф (х) ~ — ~ Ф (х) д' (х) г(х = а а =К (А) Ф (А) — и (а) Ф (а) — ~ Ф (х) д'(х) ех. (3) О Если 1) Иш д(А) Ф (А) =О, А -~ и. 2) интеграл ) Ф (х) К' (х) г(х сходится, то, очевидно, существует а несобственный интеграл А е ) ф (х) К (х)ох Нш ') ф (х) д (х) ех = — К (а) Ф (а) — ) Ф (х) й'(х) г(х.
е е а (4) Отсюда, в частности, вытекает й р и з н а к Д и р и к л е а х о д и и о с т и н н т е г р а л а (4). Если фуннния Ф (х) ограничена (Ф (х) ~ М), а л(х) убывает и стре. иится к нулю при х се, то интеграл (4) сходится. Ясно, что эти условия влекут свойство 1). Далее ! Щ и 4\ ) Ф(х) д'(х) ех чн ~ [Ф(х) д' (х) [йх~М $ [й'(х) [Лх ч и а = — М ~ л'(х)ах= — М Иш [ д'(х)г(х= — М Иш [д(А) — я(а)[ л м ч Ф а е =к (а) м. Припер 3, Интеграа гл.а.
опрвделенныи интвгрлл имеющий единственную особенность в а=ос, сходвтся при са> О. Это следует нз признака Лирнхле, где надо считать дл(х)=х " и ср (х).=йп х, Ф(х)= — сов ай а! (х) ) ~!). Абсолютная же его сходимость имеет место только при са > 1, что доказывается, как в примере 9 1 6.9. 5 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках Пусть задан интеграл а ~ г(х)дх, а т.
е. пока формальное выражение (рисунок), где под знаком ~ стоит функция 1(х), определенная иа интервале (а, Ь). с! Таким образом, а может быть конечным числом или — со и Ь вЂ” конечным числом или +со. Допустим, что интервал (а, Ь) можно разбить на конечное число интервалов точками а=-с, < с, < е, <... ... < ен=Ь так, что каждый интеграл сзе, ~(х)с(х (А=О, 1, ..., М вЂ” 1) (2) имеет единственную особенность либо в точке са, либо в точке с„,. Если все несобственные интегралы (2] сходятся (абсолютно сходятся), то интеграл (1) называется несобетвеннаыс сходящимся (абеолюално сходящилзея) и символу (1) приписывается число б н !сле, ) ) (х) с(х= Х ~ ~ (х) дх. сл Но если хотя бы один из интегралов (2) расходится, то интеграл (1) считается расходящимся.
Если Г(х)) О, то, так же как в случае интегралов с одной особенностью, для интеграла (1) условимся писать ) Г(х)стх< оо, а З 6 11 НБСОБСТВБННЫИ ИНТБГРАЛЫ ЕСЛИ ОН СХОДИТСЯ И ~ ~ (х) дх = са, а если он расходится. Пример 1. ~ е-адх= ~ е хт(и+ ~е х1!и~*со+!=со. Этот интеграл имеет две особенноати в точке х= — оо и х= со =+ ао, Соответственно мы его представили формально в виде суммы двух интегралов, каждый нз которых имеет одну из указанных Особенностей.
Очевидно, ~ Е"ади=со, ~Е а1!Х= !. 1(ы позволили себ считать, что ао-ь1 =Со. Пр имер 2, (а > О) ( сходится условно при О ( а«1, — ""дх — ~ сходится абсолютно при ! (и < 2, (3) а " расходится прн а) 2. В самом деле, этот интеграл имеет две особенности— в х=О и х=ао, поэтому для его исследования рассмотрим формальную сумму О 1 а О а 1 ! Под интегралом ) стоит положительная функция, поо этому он либо расходится, либо, если сходится, то абсолотно. Для его исследования нам помогут неравенства (см. 3 3.3, (6) и ч 4.!9, пример 1) — х' " ( — „«„=н' " (О ( и(1), ГЛ.
О. ОПРЕДЕЛЕННЬОИ ИНТЕГРАЛ 262 откуда дх ~ ~ х1 а О(х < оа при ОО < 2, Г"'- ' ха О О 1 1 ~ ООП Х 2 ~' 1 О, — пх.: — 1х1 "дх=со прн а:2. Л, О О Следовательно, (абсолютно сходится при а < 2, (4) ~ расходится при ОО-.-2. Далее (см. й 6.10, пример 2) (сходится при х > О, (5) ( абсолютно сходится только при ОО> 1. ГЛАВА 7 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 5 7.1. Площадь в полярных координатах Площадь 5 фигуры, ограниченной двумя выходящими из полярного полюса О лучами 0=0„ 0=0„ и кривой Г, заданной в полярных координатах непрерывной функцией Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
