Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Точки вида (хр+ 1м„рр+ Йо ) (О < 1] образуют луч, выходящий из (хм и,) в направлении вектора в. Для каждого ы можно рассматривать функцию ( (хз+ (м„, рв+ 1мв) (О < 1 < б) 281 ГЛ, 8. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ от скалярной переменной 1, где б — достаточно малое число, Предел этой функции (одной переменной Г) И/П ) (Хе+ /Ых~ Уе+ ЙЗУ) /- е />о если он существует, естественно называть пределом /' в точке (х„у,) по направлению хо. Пример 1. Функции хе+Ее хе — Ее /(х, у)= — е„ф(х, у)=,+, определены на плоскости (х, у) за исключением точки хе=-О, у,=О.
Имеем (учесть, что х" ~(хе+ух)е/е и ух( х-,'(Хе+ //е)6/е). ~)(х, у) ~х „, ~е =2(х'+у')'/' — О (х- О, у- 0). Отсюда !Пп/(х, у)=0 х е у-ех (для е > 0 полагаем б=е/2 и тогда 1Г(х, у)~ < е, если )/' х'+ у' к. б). Далее, считая, что // — постоянная, имеем для у ех равенство 1 — /хе ф(х, //х)=,+,, из которого видно, что предел ф в точке (О, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча 1 А у=ух, х) О, имеет вид «х=(, ~). )Г~+И ' 1Г1-(-Ее / Пример 2, Рассмотрим в /с, функцию / (х, у) = —,, (хе+ух ~ 0).
Данная функция в точке (О, 0) на любой прямой у=ух, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю: //ха И г(х, /1х) = х,+,х, — — —,, 0 при х О. УВ.Е пРедел Функции 29б Однако эта функция не имеет ибо при у=х' ка 1 ((х, х')= — а=-й. и х'+х' предела в точке (О, 0), 1!яг(х, х') =-.
1 2" у=к* Будем писать 1нп ('(х, у) = со, х +ка У» У если функция Г определена в некоторой окрестности точки (х„у,), за исключением, быть может, самой точки (х„у,) н для всякого й( > 0 найдется 6 > 0 такое, что !Их* уН>й! коль скоро 0 < )х' (х — х,)'+ (у — у,)' < 6. Можно также говорйть о пределе ~, когда х, у — со: !цп г(х, у)=А. (6) Справедливы равенства 1!ю(~(х, у) УЬср(х, у))=!(щГ(х, к х- ка у-ау," У У.
1ип(г(х, у) ч (х, у))= 1!П)((х, х"ака к-аха У+Ух У Уа чаи ) (к, у) к-аха 1пп — ' 1(к» у) у- у« Ча (к, у) И1Е Ча (х, у) х-»ха У Уа у) ~!(жар(х, у), (6) к ах У +Уа у) 1пп <р(х, у), (7) (1нп ~р (х, у) чь 0), (8) х, У Уа где может быть х со, у — оо. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых чаетях существуют, если суц(йсктвуют пределы ( и Чу.
докажем для примера (у), Например, в случае конечною числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого е 0 найдется такое )У'> О, что для всех х, у, для которых' ! х ! > М, ! у ~ > Ж, функция ! определена н имеет место неравенство )~(х, у) — А[ <е, 296 ГЛ. В. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПВРВМВННЫХ (10) (11) Болыие того, она сохраняепг тал( знак числа А.
В самом деле, положив е = — > О, найдем б > О (А! 2 такое, чтобы для (х, у), удовлетворяющих неравенствам (10), выполнялось !И.х, у) — А)< —. !А! (12) Поэтому для таких (х, у) —,' > ! А — Г (~. у) ! > ! А ! — ! Г (~, у) ), т. е. имеет место (11).
Из (12) для указанных (х, у) сле- дует А — — <7(х, у) < А+— !А! !А! откуда -з-<)(х, у) при А>0 А Пусть (х«, ув) — (х„у,)((хю у„) Ф(х„у„)); тогда 11пг (У(х«, у„) ч (х,, у,))= 1пп У(хю у«))л (х«««) (хо. «о) (х), «),) (хо «о) х 1ип (р (х„, у«) = 1цп )"(х, у) Ыщ (р (х, у), (9) (х(, ««) (х «Л х хо х хо « "«о ««о Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (х„, у„) стремится к (х„, уо) по л)обому закону, то этот предел равен пределу функции )(х, у) р(х, у) в точке ('(оо Уо) Теорема 1, Если функция 1(х, у) имеет предел, не равный нулю в точке (х„у„), т. е.
!ип ! (х„у) = А ~ О, х х, «о« то существует б > 0 такое, чяго для всех х, у, удовлет- воряющих неравенствам 0 < Р'(х — х,)х+((г — уо)х < б, она удовлетворяет неравенству ! ~ (х, у) ! > — . в а,х !Трвдкл т! нации ((х, у) <— А при А <О (сохранение знака), Замечание. В 8 8.12 будет дано более обшее определение предела функции, заданной на произвольном множестве. !пп ) (хз) =А, ! «а-«'! з «" «ь «" какова бы вн была стремящаяся к ха последовательность точек хз цз указанной окрестности (а=1, 2, ...), атлнчных от х' (см. б 8.1). вкругое эквивалентное определение заключается в следующеьо Функция г* имеет в точке хз праде«, разина А, сслн она определена в некоторой окрествостя точки ха, за исключением, быть может, ее самой. н для любого а > 0 найдется такое б > О, что (!'(х) — А ( < е (!8) для всех х, удовлетворяюечнз неравенствам О < ! х — х«! < 6.
Это определенне в свою очередь эквивалентно следующему: для любого а > 0 найдется окрестность (Г(ха) гочки хе такая, что для всех х ~ У (х'), х Е ха, выптптется неравенство (13). Очевндно, что если число А есть предел ! (х) в х", то А есть предел функйвн ) (ха+а) от а в нулевой точке: ЦП! !' (Хз + а) = А, а-«з н наоборот. Рассмотрим некоторую функцню г, заданную во всех точках окрестности точки хз, кроме, быть может, точки ха; пусть е=(е,, ..., е„) — произвольный вектор длины единица ((е)=1) н ! > 0 — сналяр. Точка вида хз+Фе (О < !) образуют выходящий нз ха луч а напра««анни аентарп е. для каждого е можно рассматрнвать функцию ) (х'+ (е) =) (лз+ ге„..., х,',+ йо„) (О < ! < 8„) ат скалярной переменной г, где бв есть число, зависящее от е. Предел этой фуннцнв (от одной переменной !) Пщ г(х«) йа) — Пп! ((х«( ге «з ! (е ) г-«а г > а г- а,с>а По определенню фу«клич ((х)=:!'(хг, ..., з„) алеет предел а тачка хэ (хтз, ..., «4, равный числу А, обозначаемый так: 1!и )(х).= !пп )(зо ..., л«)=-А ««« ! О=г., «! (пяа|ут еще г(х) — ~ А (х хз)), если анз определена нь некоторой акрестностн точки х', за всключсннем, быть может, еа самой, н если существует предел 296 Гл.
а. Функции многих пеРеменных Например, в случае конечного числа А равенство ((4) надо понимать в тои смысле, что для всякого а > О можно указать такое 6! > О, что для точек х. для которых )х( > у, функция ! определена и имеет место неравенство 11(х) — А ! < е. Итак, предел функции 1(х) Г(хт, ..., «„) от л переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух перека!анык. Равенства (6), (7), (В) к теорема ! непосредственно распростра.
някатся иа л-мерный случай. (! 8.3. Непрерывная функция По определению функция у(х, у) непрерывна в точке (х„у,), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х„у,), н если предел 1(х, у) в этой тойке равен ее значению в ней: Нгц ~(х, у)=((хе уе) (1) к >ха и М Условие непрерывности ) в точка (х„у,) можно записать в эквивалентной форме: 1нп у(х,+Ах, у,+Ау) ~(х„у,), ак е ЬР-аз (') т.
е. функция у непрерывна в точке (х„у,), если непреРывна фУнкЦИЯ ((хе+Гад, Уе+ЬУ) От пеРеменных Ьх, Ьу при Ьх Ьу О. Можно ввести приращение !!и функции -1(х, у) в точке (х, у), соответствующее приращениям Г!х, Ьу аргументоя Ьи у(х+Гзх, у+Ау) — у(х, у), если он существует, естественно назвать лредекол 1 в клочке хе ло лалравкеииго еекгпоро Ф.
Будем писать ((а ((х)= хо, если функция 1 определена в иекох-кка торой окрестиости хе, аа исклкачеиием, быть может„х', и для есяного У > О найдется 6 > О такое, что !) (х)1> Дг, коль скоро О< х — ха!<6. ожио говорить о пределе й когда х -а ао; Пщ ) (х) = А, ((4) х"а и % 6.3. НЬПРЗРЫВНЯЯ ФУНКЦИЯ 2зэ и на этом языке определить непрерывность )' в (х, у): функция )' непрерывна в точке (х, у), если 1пп Ли=О.
(1") 00-00 ЬУ-~0 ль- Из формул (8) — (8) 2 8.2 непосредственно следует Теорема !. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в тюке (х„у,) функций ) и 02 есть непрерывная функция в втой точке, если, конечно, в случае частнсгс ф (х„у,) ~ О. Постоянную с можно рассматривать как функцию г(х, у) =с от переменных х, у. Она непрерывна по этим переменным, потому что /~(х, у) — ~(х„у,)(=(с — с(=-Π— О. 0-000 0 /А Следующими по сложности являются функции ) (х, у) = х и ~(х, у)=-у. Их тоже можно рассматривать как функции от (х, у), и при этом они непрерывны.
Например, функция ~(х, у) =х приводит в соответствие каждой точке (х, у) число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке (х, у) может быть доказана так: !)(х+с0х, у+Ьу) — ((х, у)1=((х+Лх) — х(=!Лх(ч.-. ( у' Лхь+ Луе О. 00-00 ЬУ 0 Если производить над функциями х, у и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от х, у.
На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных х, у суть непрерывные функции от этих переменных для всех точек (х, у) Е Р0. Отношение РД двух многочленов от (х, у) есть рациональная функция от (х, у), очевидно, непрерывная всюду на й„за исключением точек (х, у), где Ог(х, у)=О. Функция х0 у0 1„.0у аоо гл. а егнкции многих пваамвнных может быть прямером многочлена от (х, у) третьей степени, а функция Р(х, у)=хо — 2х'у'+у' есть пример многочлеиа от (х, у) четвертой степени, Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций. Теорема 2, Пусть функция 1(х, у, г) непрерывна в точке (х,, у„г,) пространства ))), (точек (х, у, г)), а функции х = (() (и, о), у = ф (и, о), г = Х (и, о) непрерывны в точке (и„о,) пространства Яо (точек (и, о)).
Пусть, кроле того, х,=(г(и„о,), у,=ф(и„оо), г,=)((и„о,). Тогда функция Г (и, о)=г[(()(и, о), ф(и, о), К(и, о)1 непрерывна (по (и, о)) в точке (и„о„). Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то йщ р(и, о)= 11 1[ц)(и, о), ф(и, о), )((и, о)1= (и, о)-о(ио, оо) т(и. о) хо Ч (и. о)ого х (и, о) )(хо уо. го)=)[(р(ио оо) 'р(ио оо) Х(ио ооЦ=Р(ио. оо) Функцию мы будем называть влелентарной функцией от переменных х,, ..., х„, если оиа может быть йолучена из этих переменных и констант с при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций (р, где (р †элементарн функции от одной переменной (см.
2 3.8). Функции 1) з(п )пР 1+хо+у)=~(, 2) з1п'х+соз'(х+у) =~„ 3) 1п" — У=1 и+и о могут служить примерами элементарных функций. Легко проверить, пользуясь теоремами 1 и 2, что функции )( н )'о непрерывны на плоскости (х, у), функция же Г„ очевидно, определена и непрерывна в тех точках (х, у), для которых дробь (х — у)/(х+у) положительна и конечна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
