Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 48
Текст из файла (страница 48)
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Обратим внимание иа тот факт, что конечные десятичные дроби х+ Лх, д+ Лд при уменьшении ~Лх~, 1Лд( становятся все более и более громоздкими. Поэтому при вычислении числа 1(х+ Лх, д+ Лд) мы должны беспокоиться не только о том, чтобы оно приближало 1(х, д) должным образом, но и чтобы производимые при этом вычисления совершались возможно экономно. В селу этого замечания из неравенства (1) следует„что если нужно, чтобы абсолютная погрешность ~ЛЕ( не превышала данную малую величину, которую мы обозначим через 2)8, то этого мы достигнем, взяв числа 1Лх~, )Лд) такими, чтобы выполнялись неравенства (2) т, е.
цтобы погрешность 1Лг( распределялась между слагаемыми в правой части неравенства (1) поровну, Из неравенств (2) видно, что вычисления будут наиболее экономными, если в качестве !Лх~, 1Лд~ (на самом деле 10 ", 10 ') взять наибольшие возможные числа, удовлетворяющие этим неравенствам. Пример 1. Функ!!Из г=!п(хд) имеет для х>0, д > 0 непрерывные частные производные, равные Р8 ! дг ! дх х ' ду у ' Поэтому приближенное равенство г = 1п хд ж 1п [(х+ Лх) (д + Лд)1 имеет абсолютную погрешность, которая при малых приращениях Лх, Лд, если пренебречь величинами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет неравенству ) Лх) и' ~ — „" ~+ ~ —" ~ (х, д ) О). Если требуется, чтобы гарантированная погрешность была меньше 2)8, надо подобрать Лх, Лд так, чтобы Мы видим, что числа Лх, Лд не обязательно должны быть равными.
Если, например, х значительно меньше, чем д, то соответственно надо взять Лх меньшим, чем Лд. Йначе наши вычисления были бы неэкономна!ми. Если З 8.6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА з!а бы, например, было, что ф~ <1,е, ~+ ~ <1„ где Х, < О,1, Х,< 0,0001, то оказалось бы, что ~ ~" ~+ ~ Ау ~ < 0,1001, и при этом на вычисление второго слагаемого ~ — ~, ввиду Ау у излишней малости Лу, мы потратили бы излишнюю ра- боту. Между тем. вычисления упростятся, если взять возможно болыпие ~ Лх(, ~Лу ~, удовлетворяющие неравен- ствам ~ — ~<0,05, ~ — У~<0,05, Пример 2. Функция г=-ху имеет непрерывные чадг дг стные производные — =у, — ==х. Поэтому приближенное дх ' ду равенство г =- ху ю (х+ Лх) (у + Лу) имеет абсолютную погрешность ~Лг~, которая прн малых приращениях Лх, Лу, если пренебречь величньами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет соотношениям ~Лг) ж ~дг<!уЛх~+ !хЛу!.
Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям !%=!%-У!+!Ф! Мы видим„что при малых Лх и Лу можно считать, что относительнал погрешность произведения не превышоео! сумму относительных погреи!ногтей сомножшпелей. Пример 3. Функция г=- для у~О имеет непреу рывные частные производные дг 1 дг х 7' дх у ' ду у ' Поэтому приближенное равенство х х+Ах 3 — ж— у+ ау й 8.7.
кАОАтелънАя плОскОстЬ в)й апплпката же Т равна ~=~(х.. уа)+ ~ —,) ( — «.)+(,— ~ (у — уа) Расстояние между точками М н Т равно !МТ)=~)(х, у) — Р(ха, уа) ~ ~ (х ха) (ЬД) (у уа)! (~) Расстояние же между точками Р и Ра равно р = у (х — )'+ (у — у )' Так как функция ) по условикг имеет непрерывные частные производные в точке (х„у,), то она диффереицируема в этои точке. Поэтому правая часть (3) стремится к иугд лго быстрее, чем р, т. е.
! М Т ! = о (р) (р О). Мы доказали, что каса. тельная плоскость П к поверхности 5 в ее точке М,=(х„, у„ха) проходит через зт у точку и обладажп свой- ствола расспгояние в н прае. ленин оси х от произвольной точки (х, у, ((х, у)) поверхности 3 до И есть о(р) (р О), еде р — расстояггие между точками (х, у) и (х„у,) плоскости х, у. Рас. 96. Это свойство является характерным, для касательной плоскости, потому что если некоторая плоскость П' вида 2 — аа-о(х — ")+Ь(у-уа) (а -/(х.
уаИ обладает атнм свойством, т. е. если для нее выполняется равенство ) (х, у) — ) (ха, Ьа) — о (х — ха) — Ь (у в уа) = о (р) (р — О) или, что все равно, равенство 1(х, д) — г (ха, уа) а (х — ха) +Ь (у — уа) + о (р) (р — ~ О), то, как мы внаем, ) дн$фереггнируема в (ха, уа) и =(В, =%). т, е, плоскость П' есть касательная плоскость к 3 (П' =- П), 316 ГЛ, К ФРИКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Таким образом, для того чтобы поверхность Ю имела касательную плоскость в ее точке (хм у„~(хм у,)), необходимо и достаточно, чтобы функция ~ была дифференцируемой в точке Р,=(х„у,).
Правая часть уравнения (2) есть дифференциал ( в точке (х„, у„) соответствующий приращениям (х — х„у — у,). Левая же часть (2) есть соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости П, Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал функции 1" в точке (х,, у,) для приращений (х — х,, у — у,) есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности г = Г(х, у) в точке (х„ у,) для тех же приращений.
Замечание. Гели функция г=1(х, у) не дпфференцнруемз в точке (х„у,), хотя и имеет в ней частные производные, то плоскость (2) не имеет смысла называть касательной плоскостью к поверхности г=Г(х, у) в указанной точке — для иее разность ~(х, у) — 2 не стремится к нулю при р — 0 быстрее р. Например, если функция г=-~(х, у) равна нулю на осях х и у и единипе в остальных точках плоскости х, у, то ~,',(О, 0)=Д(0, 0)=0 н уравнение(2) есть 7=Оп разность|(х, у) — Я=1(х, у) — 0=1 для всех точек (х, у), не лежащих па осях х и у, Таким образом, эта разность даже не стремится к нулю при р О.
й 8.8. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент 8.8.1. П р о и з в о д н а я с л о ж н о й ф у н к ц и и. Ограничимся рассмотрением функций трех переменных, определенных на открытом множестве й~)(, (определение открытого множества см. $ 8.3, мелкий шрифт). распри.
странение излагаемых здесь фактов на и-мерный случай производится аналогично. Теорема 1. Пусть Функция и =((х, у, г) дифференцируема а точке (х, у, г) Е О, а функции л=ф(1) у=ф(1), г-К(1), (2) 8 8.8. пРОиззОдикя слОжнОЙ Функции. ГРАдизит 31т зависли(ие от скалярного параметра /, имеют производную в /. Тогда производная по / от сложной функиии (производная от / вдоль кривой' (2)) и=у(/) =/(~у(/), ф(/), т(/)) вачисляеепоя по формуле р (/)=/ (ч(/) Ф(/) х(/))ч: (/)+ +/„Ор(/), ф(/), 2(/)) ф'(/)+/;(р(/), ф(/), 2(/)) х (/), или, короче, Ви д/ дх д/ Ву д/ дг В/ дха/ дедг дг д/' — — — + — — + —— (3) В самом деле, вследствие дифференцируемостн / в (х, у, г), каково бы ни было достаточно малое приращение (Лх, Лу, Лг), Ли=/(х+Лх, у+Лу, г+Лг) — /(х, у, г)= д/ д/ д/ = 38Лх+ — ЛУ+ — Лг+о(Р) (Р=-У Лх'+ЛУ'+Лг' О).
(4) Значению /, которому при помощи равенств (2) соответствует точка (х, у, г), придадим приращение Лк Оно вызовет приращения Лх, Лу, Лг функций (2). Если именно их подставить в (4), то получим приращение Р(/+Л/)— — Р(/) Ли функции Р в точке /. После деления (4) на Л/ и перехода к пределу получим Р'(/)= 11щ— ю ои/ /д/ Ьх д/ Ьу д/ йг о(р) 1 д/ Вх д/ Ву д/ Вг =Вщ ~ — — + — — + — — + — )=,— — + — — +— , ~,дха/ дуй/ дгаг йс,) дхт дую дгд/' т. е. (3), потому что функции (2) имеют проиаводные, а — е(р) )/' ( — ) +( — ) + ~ — )— —.О Ух,'+у,"+г =0 (Л/ О) (Л/ О влечет р- 0). Замечание 1. Если функции х, у, г зависят от мнотих переменных, например от двух: = р (/, т), у = ф (/, т), г = Х (/, т), то, фиксируя сначала т, а затем /, на основании (3) получим ди д/ дх д/ ду д/ дх ди д/ дх д/ ду д/ дг = — — + — — +- — -=--+ ††+-— в/ дх д/ дуд/ де де ' де дхдт дудт дг от ' з(в гл.
з. ернкции многих парвмвиных 8 8.2. Производная и о направлению. Теорема 2. Если функбия /' дггфференл(ируема в точке (х, у, г), пю для нее имеет смысл производная по направленшо любого единичного вектора 0=(сони, соз)), сазу), выраасаелгая формула>) дн дх — = — соз и+ — сов 0+ — сову д/ д/ : д/ ' " д/ ду ' дг (б) (и, (), у — углы, которые вектор и составляет с осями х, у* г). Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определению производной по направлению (см.
5 8.4) и в силу предыдущей теоремы д/ ). / («+ г соз и, Е+ г соз Р, а+ 1соз т) — / (х, у, г) Гд = ) „— / (х+ 1 соз и, у+ 1 соз 6, г + 1 соз у) ~ ~ д/ д/ ' ' д/ дх " ду = — сони+ — сои)3+ — сову, дг где частные производные взяты в точке (х, у, г). Замечание 2. Теорема 2 ие обратима, т. е. если функция / имеет производную в точке (х„у, г) по всем направлениям, то она не обязательно дйфференцируема в втой точке. В качестве примера можно рассмотреть функцию / от двух переменных, равную иул>о всюду, кроме точек у =х' (х > О), где она равна единице. Если «=>р(з), Е=ф (з); г=Х (з) — уравнения гладкой кривой Г, где параметр з — длине дуги, то величины д» > ду > да дз ' дз — =ч>' (з), "" р' (з) — Х' (а) суть направляющие косинусы вектора касательной к Г/,Поэтому величина д/ д/, д1, д1 -=- ф' (з) +- ф' (з) +- Х' ( ) =- / (ф (з) Ч> (з), Х (з)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
