Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Условие (2) не является достаточным для того, чтобы в точке х' был экстремум функции ~. ззв гл, ь еэннции многих пвввмвнных Например, функция и =х'у имеет частные производные ди ди зх = 2хУ, э — = х', котоРые обРащаютси в нУль в точке (О, О). Однако точка (О, 0) ие является точкой экстремума, так как в любой окрестности этой точки Ли=х'у — О =х'у принимает как положительные, так и отрицательные значения.
В дальнейшем точки, в которых существуют непрерывные частные производные от )', удовлетворяющие системе (2), будем называть о/па//ионарныли точками. Перейдем к получению достаточных условий экстремума. Пусть функция и=/'(х) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно по всем переменным, и пусть х' — стационарная точка, т.
е. /(((х') =О. Тогда, разлагая функцию и=((х) по формуле Тейлора в окрестности точки х', получим йэ(х.) б/( ..) 1 1 а*/(х0.1 Ойх) р/(хэ 1 О,~х) и п = — 'ХЕ~'„'„(х'+Обх) й Ах/= /=х/ з = — ~' ~~ И„, (Х)+е//) бх/Лх~ —— 1 / //=~ Л П л а — ~' ~" „(х')Лх/Лх/+ — ~~' „~,е/г — ° — = 1 Рй Лх/ Ьхг ю е =-~~' ~~'. ~„'„~(х')Лх/йх + Р а(йх), ' /.1/-~ где О< 0<1, Лх=(йхо ..., Лх„), Р=/Лх~= Х Ьх'„ а (Ьх) — О при р — О.
Так как вторые производные непрерывны, то величины ебч зависЯщие от /хх, стРематсЯ к нУлю пРи Р=~ Лх ~ — О, но тогда и шах/з/ /=е- 0 при р- О. Поэтому, учитывая, /, / что — < 1, получаем 1ах/1 Р п и л л /а(бх)~ =~~ ~ ет — / — ~< е ~~1.1=лаз — 0 (р 0). з влв. экстивмтмы Итак, мы доказали, что 339 в п Ь)(х')=1(л'+е) — 1(х')= — ~~,' ~~~ а;~ВД~+ в а(й), (3) в=1/=! где а;,=а~,— — 1', (лв), $;=Лхо $=($о ..., $„) и / Г а($)- 0 при р=1$1= ~/ ~Ц- О. 1=1 Выражение л в А (з) = Х Х а~~$Дг (аы- — агс) (4) в=в 1=1 есть квадратичная форма относительно $=($0 ..
„$„). По знаку этой формы можно узнать с помощью формулы (3) знак Л) (лв) для достаточно малых !Лх!. Справедливо следующее утверждение: 1) Если форма А(в) строго положительно определенна, т. е. А($) >0 для всех $~0, то функция ~ имеет в точке лв локальный минимум, 2) Если форма А ($) строго отряцательно определенна, т. е. А($) (О для всех 4ФО, то функция 1 имеет в точке лв локальный максимум. 3) Если А($) = 0 для всех $ нлн А ($) ..0 для всех з и имеется $~0, для которого А($)=0, то вопрос о ло. кельном экстремуме функции Г в точке лв остзется от.
крытым. 4) Если форма А(в) не определенна по знаку, т. е. существуют векторы $' и $, для которых А (з') > О, А(э") < О, то функция г в точке лв не имеет локального экстремума. Доказательство утверждения 1). Равенство (3) запишем следующим образом: $~ $у ~,ам — — ~+а($) в=в ~= ЕЕ,в~,.~. в)~-в~Авв~. в)1, [Б) в=в! 1 где мы авеля новые переменные в)г —— $с/р (1 1, 2, ..., а), гл.
з. еэнкции многих пвгвмвииых з4о Легко видеть, что Таким образом, точка и при любых $ находится на поверхности л-мерного единичного шара. Функция А(т)) непрерывна на этой поверхности, представляющей собой ограниченное замкнутое множество, и по условию положительна на этой поверхности. Но тогда А(г)) достигает своего минимума ш в некоторой точке этой поверхности, который больше нуля (ш>О) (см. 5 8А2, свойство 2)). Так иак а($) — 0 при р ~$~- О, то при достаточно малом 6 > О ) а ($) ) < ою тв: ~ $ ) < 8.
Следовательно, 81 (х') -Пл'+ й) — 1 (л") = =Р (А(т))+а(ьЯ= Р [ш+а($)1~0 тв: 1$~ < 8 и функция у имеет локальный минимум в точие Ф. Утверждение 2) доказывается аналогично. Доказательство Э). В данном случае форма А($) для некоторого $'~ 0 обращается в нуль, но тогда в силу свойства однородности формы (А (ав) = а'А (й)) для $ ай', где а — число, она также должна равняться нулю. Это показывает, что для всех указанных точек $ наша форма равна нулю и, следовательно, г(х'+$) — г (х') = — р'сс($). Но знак а($) неизвестен, поэтому мы не можем сказать, имеет Г в л' экстремум или нет, Доиазательство 4). Здесь опять удобно обратиться к равенству (5).
В этом случае по условию существует точна $', для которой форма положительна и существует точка $", для которой форма отрицательна, но тогда для соответствующих им точек О'=$'/р, Ч"=$"/р будут выполняться неравенства А(п') > О, А(т)") < 0 н при малых р окажется, что А(ч')+и(4') >О, А(Ч")+а($") < О, т.е. в любой малой окрестности х' имеются точки х' и х", для которых 1(х') > ~(х') и ~(х") < Г(х'), а это означает, что заведомо нет экстремума. $ еле экстремумы Известны ') условия (Сильаесглра), выражаемые на языке коэффициентов аы, при которых квадратичная форма (4) довлетворяет перечисленным выше условиям 1) — 4), десь мы отметим только вытекающие из теоремы Сильвестра критерии в случае функции и=у" (хт, х,) от двух переменных.
Если ам= у««(хе) >О н !".":" = - -: —:. ' " ' " ! = а;,аее — а7« = ~„а (х') ~,е (х») — [~к„„(хе))е > 0 ае, а,.м (в этом случае форма (4) строго положительно определен. на), то функция и=у(х„хе) имеет локальный минимум в точке хе=(хе„хе»). Если ~"1 (х') < О, )';,"-(х') ~".; (х') — [~;„(х')1'> 0 (в этом случае форма (4) строго отрицательно определен. на), то функция и =~(х,, х,) имеет локальный максимум в точке х'. Если ама„ вЂ” а»а < О, то «(е~(х'), как квадратичная форма, не является определенной по знаку при изменении Ьхо поэтому в этом случае Лу(хе) также не сохраняет знак в любой окрестности точки х', и, следовательно, экстремум в точке хе отсутствует, Если выражение а„ае« вЂ” а»»=0, то вопрос об экстре. муме остается открытым. П р и и е р 1. Для функции и = хе — Зх+ уе точки (~1, 0) являются стационарными.
Исследуем их на экст ремум. Имеем и"„,=6х, и„",(~ 1, 0) = ~ 6, й.а=О, и"„,=2. Таким образом, для точки (1, 0): ааааૠ— а,',=6 2 — 0=. 12 > О, ан = 6 > О. Поэтому в точке (1, 0) наша функция имеет локальный минимум. Для точки ( — 1, 0): ага= — 6 < О, а««аее — а'„= — 12 < О, поэтому функция экстремума в точке ( — 1, 0) не имеет. Пример 2.
Для функции и=х»+р«точка (О, 0) является стационарной, и легко видеть, что в этой точке функция имеет локальный минимум. Между тем и",, '12х', и"„а — — О, ие» 2,т.е.а«г=О,«гт«=О„а„=2и цга„— а»«=0. «) См, нашу книгу «Высшая математике. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», 4 и1, а42 гл. з. Функции многих цеэвмянных П р и и е р 3. Для фулкции а = х'+,р' в стационарной точке (О, 0) а,т,=О, а;,=9, а„=2, т..е. снова амам— — а,', =О, мо в данном случае функции в =ха+у'в точке (О,, 6) экстремума не имеет., так как жа прямой у;=О приращение Лл =ха меняет знак прм жерехеде .через тачку х=О.
й 8.14. Нахождение наибольших и наименьших значений функции Пусть задана непрерывно дифференцирремая функция и=1(х) на множестве б<=)(„представляющем собой замыкание ограниченной области, т. е. области, к которой присоединена граница дб. Тогда 1". достигает максимума и минимума в некоторых точках хб 6 (см. й 3.12, свойство 3)). Этн точки могут быть внутренними и граничными. Если точка х внутренняя, то функция 1(х) имеет в ней локальный экстремум. Поэтому, чтобы найти наиболыпзе (наименьшее) значение функции, необходимо найти все стационарвью точки, вычислить значение функции в этих точках и сравнить их со значениями функции на границе дб. р Наибольшее из этих значений н будет наиболыииж зничением функции на б.
Если б~Р, в дб является плорес. эз. ской непрерывной кривой х=ф (г), у=~р(1), то вдоль этой границы наша функция является функцией от одного перемениого1: 1 (ф (1), ф(1)1. Находить наибольшее значение этой функции мы уже умеем, Пример. Найти наибольшее значение функции г= =1 — я+х'+ 2у в замкнутой области б, ограниченной прямыми: х=О, у=О, х+у=1 (рнс. 98).
Решение. г„'= — 1+2х=О, г,',=2ФО, т. е. стапионарных точек нет. Исследуем функцию г на дб. 1) Пусть х=О, тогда г=1)-2у, О(.у .1. 'На 10, 1) функция г=1+2у стационарных точек также не имеет, и г(0)=1, г(1)=3, 2) Пусть у=О, тогда г=1 — х+х', 0(х 1. Далее, г'„= — 1+2х=О при х=1/2, т.,е. х=1/2 — стационарная точка. Вычисляя значение функции в этой точке и на а злб таовииа сзщвстзовичим неяВнОЙ Фтнкции 3$3 границе в точкак х=0 и х=1, нолучим1 г(1/2)=З/4, а(О)=1, г(1)=!. 3)' Пусть х+у=1, тогда а=3 — Зх+х", О~хе 1.
Так как г„*= — 3+2х=О в точке х=З/2ЯО, 1), то в нашем промежутке 10, Ц нет стационарных точек. Далее г(0) = 3, г (1) = 1. Сравнивая все наибольшие значения функции по частям границы, мы видим, что наибольшее значение функции з(х, У) ка 6 равно 3 и достигается в точке х'=(О, 1). 3 ЗЛ5. Теорема существования неявной функции Зададим произвольную функцию Г(х, у) от двух переменных х и у. Приравняем ее нулин г(х, у) =О. (1) Множество всех точек (х, уу, длк которых выполняется равенство (1), обозначим через %'. Пусть (х„у,) Е%, т. е. 1(х„у,)=0. Если ие накладывать иккакия условий на г, то множество И может иметь самую различную природу; Например, в случае 1(х, У) = «х — х,)'+(У вЂ” У,)' множество% состоит ни одной единственной точки (х„у,); а в случае «(х, у)=х'+у'+1 множество % пусто, в случае же У (х у) (х хо) (у уе) = (х+ у хе уо) (х у ха+уэ) % есть пара прямых, проходящих через (хм у,). Однако часто имеют место случаи, когда %, по краййей мере в достаточно малой окрестности (х„уь), представляет собой кривую, описываемую непрерывной(однозначной) функцией уь ф(х) (хс(х,— 6; х,+Ь)) (таким образож, ф есть функция, определяемая неявно уравнением (1), см.
также $3.1). Возникает вопрос, кек по свойствам функции г узнать, что имеет место именно зтот случайр Ниже доказываются две общие теоремы, отвечающие на поставленный вопрос. Теорема 1. Пусть задано уравнение 1(х, У) =О, удоагвтваряюимв аввдуаи(изг свайстаиь 344 ГЛ 3. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функция Г определена на некоторой двумерной окрестности 11 точки (х„у,) плоскости х, у и непрерывна там вместе со своими частными производными первого порядка; при мпом ~„'(х„у,)= (-„) ФО в1 и 7(х„у,) =О.
Пусть, далее, % есть множество всех точек (х, у), удовлетворяющих уравнению (1) (в частности, точка (хы уь) Е%). Тогда, каково бы ни было Ь, > О, найдется прямоугольник. й=фх — х,~<а, )у — у,1<Ь) (Ь<Ь,),, (3) принадлежащий 41, такой, что множество%Л описывается непрерывно дифференцируемой функцией (неявной функцией) ~до (4) ьъ' = Д х — х, ) < а). (б) Другими словами, прямоугольник Л обладает тем свойством, что:на его проекции о' на ось х можно определить непрерывно дифференцируемую функцию (4), являющуюся решением уравнения (1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
