Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Отсюда в частности (полагая р= 1), следует, что если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к иуляк Пш и =О. (4) Лаа Но условие (4), будучи необходимым, не является достаточным для сходимостн ряда, как зто будет видно из дальнейших примеров. Рассмотрим еще ряд и„+,+и„+»+ ° ° ° = Х и„+'». (б) » ! Так как условие Кожи сходнмостн рядов (1) и (5) формулируется совершенно одинаково, то они одновре- менно либо сходятся„либо расходятся (не сходятся). Если онн сходятся, то сумма ряда (Ь) равна Иш Х и„„1пп (8„,„— Я„)=Я вЂ” Я„. ааа» ! ааа Ряд (5) называют остатком или остави!чнь»м членом ряда (1).
Если члены ряда (1) неотрицательны (такнм образом, действительны), то его частичные суммы образуют неубы- ваавцую последовательность 3»:4! 3, -5» ', ..., поэтому, если эта последовательность огранйчена З„а..М (л 1, 2, ...), Ь 0.2. НЕСОБСТВЕННЫИ ИНТЕГРАЛ И РЯД лат то ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству 1пп 5„=5<М. Если же оиа неограннчена, то ряд расходится~ НГП З„=оо. В этом случае пишут Пример. Ряд 1+2+22+ ° ° (б) имеет (при 2 ~ 1) частичную сумму Ю„(2) а=(1 — 2" +')/(1 — 2). ЕСЛИ (2~ < 1, тО ~2а+')=~а~а+А И Еа+Ь- 0 (Л- ОО).
Таким образом, ряд (б) сходится и имеет сумму, равную (1 — 2) ' на открытом круге ~2~ <1. Если же ~21~1, то ряд (6) расходится, потому что в этом случае его общий член,, имеющий модуль, не меньший единицы ~2а~ .1, не стремится к нулю при и- оо. 5 9.2. Несобственный интпрал и ряд Рассмотрим интеграл ь ) г (х) ь(х„ а имеющий единственную особенность в точке Ь. Пусть а-Ь,<Ь,<Ь,«...Ь, Ь,-Ь, Тогда можно определить ряд ь, ф а+г ь ) 1(х) ь1х + ) 1(х)их+...
= ~~ ~ Г дх, й-й член которого равен ь„+, и„= ~ гдх. ьа ГЛ. 9. РЯДЫ 368 Теорема 1. Если интеграл (1) сходия2ся, то сходится также ряд (2) и имеет место равенство ь „> 'Ь+2 ~ !(х)дх ~ь, ~ (ах. » О ь (3) Действительно, » ь»2 ь ь„+, ь 1пп ~ ) Гдх= 11т ) )дх=)1дх. »-»» О ь ь а Если 1 неотрицательиа на (а, Ь), то и, наоборот, из сходимости ряда (2) следует сходимость интеграла (1), В самом деле, пусть (ьяд сходится и имеет сумму, рав- ную 5. Для любого Ь, где а<Ь' <Ь, можно указать такое я' = я(Ь'), что 22гя ) н', Ь' < Ь„. Позтому, учитывая, что ~(х) .=:О, ь ь» Ь Ь+2 ь ~~дх« ~ ~дх- ~ ~ ~дх<3„ »» *=О ь„ сходится, интеграл же ~ з1пхдх расходится потому, что функция от х з!и 1д! 1 — сов х не стремится к пределу при х — Оо, т, е. интеграл в левой части ограничен и, следовательно, несобственный интеграл (1) существует.
Но тогда, как доказано выше, справедливо равенство (3). Если же функция г не сохраняет знак иа !и, Ь), то из сходимости ряда (2) вообще не следует сходимость интеграла. Например, ряд ,» 2(Ь+О» з1п х дх = "Р~ 0 = 0 2=0 22» О $9.К НЕСОБСТВЕННЫИ ИНТЕГРАЛ И РЯД 369 Теорема 2. Если функция !(х) 0 непрерывна и не возрастает на [О, со), то интеграл Ф ~)(х)дх (3') Ф Х 7(я)=Г(0)+7(1)+Д2)+... одновременно сходятся или одновременно расходятся. Доказательство. Имеют место неравенства А+ ! !(я+1)~~ ) Г'(х)дх~~(й) (й О, 1, ...). Суммируя их по й, получим и+1 И л+! и ХЦй)=Х~(5+1)~ ~ !(х)дх~ХДй). о о о Отсюда, учитывая, что все члены в этих соотношениях при возрастании а монотонно не убывают, следует утверждение теоремы, Из доказанной теоремы следует, что ряд ! ! 2~ 3" (5) ах ( < оо (а>1), (!+ х!" '( ( ~ 1) Ряд (5) при 0<а~ .1 может служить примером расходящегося ряда с общим членом (и„= а""), стремящимся к нулю, В случае а~О непосредственно видно, что ряд (5) рааходится (общий член не стремится к нулю).
сходится при а>1 и расходится при а 1 потому, что функция !/(1+х)" при а>0 непрерывна и монотонно убывает на [О, оо), а гл. ь гиды ф 9.3, Действии с ридами Если ряды ~~о, и„и ~ о„сходятся и а — шсло, то ряды о о $ аим ~,(и„~и„) также сходятся и о Ю М ~ аи„= а ~',, им (1) о о Ю Ф Ф Х(по~по)=био~ Х "о. 6 о о (2) Действительно, ,х, аио = 1пп ~ аио = а 1йп Х ио — — а Х ио, о о~ю О и о о о Ю и Х (ио ~ о„) = 1пп Х (ио ~ о„) = о о ю о л о Ф = 1пп ч~~",из~ 1пп ~ч''„из=-~и„~- ч~Г о„. а->а о 'л оооо Подчеркнем, что из сходимостн ряда, стоящего слева в (2), вообще не следует сходимость каждого нз рядов, стоящих справа в (2).
Например, ряд (1 — 1)+(1 — 1)+ "- (3) сходится (все его члены равны нулю), ио выражение Х1 — Х1 ие имеет смысла-ряды, входящие в него, о о расходятся. Если ряд ио+иг+и,+ .. образуя новый ряд, члены которого равны суммам чисел, сооящих а скобках. Новый ряд будет сходящимся и притом к 8, потому что его частичные суммы образуют подпосле- сходится и имеет сумму 3, то члены его можно любым образом сгруппировать скобками (однако ие переставляя их), например, так: "о+ (и1+ ио) + (из+ "о+ ио) + О зь гяды с нзатзиньтвльными членами ЗЗ1 довательиость сходящейся последовательности частичных сумм ряда (4).
Наоборот, раскрывать скобки в ряду, вообще говоря, незаконно, например, после раскрытия скобок в сходящемся ряду (3) получается расходящийся ряд 1 — 1+! —.... Впрочем, если внутри скобок всюду стоят только неотрицательные или неположительные числа, то раскрытие в таком ряду скобок не изменяет сходнмостн ряда н величины его суммы. й йА. Ряды с неотрицательными членамн Теорема 1 (признак сравнения рядов). Пусть данае два ряда: 1) Х и,.
о с неотрицательными членами. а) Если иь о„(й=О, 1, ...), то из сходимости ряда 2) следует сходимость ряда 1), а из расходимости ряда 1) следует расходимость ряда 2). б) Если 1пп — "=А ) О, о. а оь то ряды 1) и 2) одновременно сходятся и расходятся. Доказательство. Пусть ряд 2) сходится и 3— его сумма. Тогда ~ и„< ~ о„< 5 (н = О, 1, ...), о о т. е. частичные суммы ряда 1) ограничены и ряд 1) сходится. Его сумма 5' удовлетворяет неравенству Б' =3.
Пусть теперь ряд !) расходится: тогда (см, З 9.1) его частичная сумма неограниченно возрастает вместе с а, что,вв силу неравенства л л Хил<Хил (я=О, 1, ...) о о влечет также неограниченное возрастание частичных сумм ряда 2), т. е, расходимость последнего. Этим доказано утверждение а). ГЛ. 9. РЯДЫ 872 верные при достаточно большом Ф, нлн неравенства (А — е) оа < и„< (А+ е) о„(А > Лг). (2) Если ряд 2) сходится, то сходится также ряд Ф Х (А+з)оа, и на основании второго неравенства (2), а=В+1 сходится ряд Х и, а тогда и ряд 1). Обратно, схоа=н+! Ф димость ряда 1) влечет сходимость ряда Х (А — з) о «=и+ 1 и, следовательно, сходимость ряда 2). Аналогично доказывается, что нз расходимости одного ряда вытекает расходимость другого. Этим доказано утверждение б).
Теорема 2 (признаки Даламбера' )). Пусть дан ряд (3) с положительными членами. а) Если †„„ < д < 1 (я = О, 1, 2, (4) пю ряд (3) сходится; если же — "„'>1 (71=0, 1, 2, ...), (б) то расходится, б) Если 1пп а'1= д, а-> и ма (б) то ряд (3) сходится при д < 1 и расходится при д > 1. з) Ж. Даламбер (1717 — 1783) — французский математик. Пусть теперь имеет место (1), Зададим положительное число и, удовлетворяющее неравенству А — е > О. Из (1) следуют неравенства А — з « — ". А+ з (и > Аг), еа 5 зн.
РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ зтз Доказательство. Имеем и„=и,-~ -'...—" (Н=О, 1, 2,...), (7) мо и1' ич-1 поэтому из (4) следует, что и„<ичд", д< 1 (п=О, 1,...), и так как ряд ~ри,д' сходится, то вместе с ним сходится 1 и ряд (3). Из (5) следует, что и„- и, (п=О, 1, 2,...), и так как и, > О, то ряд (3) расходится (общий член ие стремится к нулю). Если теперь выполняется свойство (6) и д < 1, то для положительного етакого, чтод+ е < 1, иь„/и, < д+ з <! (й вУ), где У достаточно велико. В силу признака (4) в таком случае ряд ~~1,иь сходится, а вместе с ним сходится и ряд (3). Из свойства же (6) при о > 1 вытекает, что и„+,/иь> 1 (й>У) при достаточно большом У, и тогда в силу признака (Ь) ряд,~~и„расходится, а вместе с ним расходится и ряд (3).
Теорема 3 (признаки Коши), Пусть дан ряд(3) с полозсительньши членами. а) Если 'у"и, <ц < 1 (й=О, 1, ...), (8) то ряд (3) сходится; если же ~/и„>1 (й=О, 1, ...), (9) то ряд (3) расходится. б) Если 1нп ~/и =д, (! О) то ряд (3) сходится при д< 1 и расходится при д> 1. в) Если !нп ~/и =д, (И) то ряд (3) сходится при д < 1 и расходится при 11 > 1 и при этом члены ряда неограничены, гл. 9, РЯДЫ 374 Доказательство. Из неравенства (8) следует, что и»< о» (д< 1, А=О, 1, ...), и так как в этом О случае ряд,3 о» сходится, то сходится и ряд (3). ю Из неравенства (9) следует, что и» «1 (й=О, 1, ...), т.
е. не выполняется необходимое условие сходимости, и поэтому ряд (3) расходится. Далее из свойства (10) при д < 1 следует, что «Гп» < д+ а < 1 (й > У) (12) при достаточно большом Ф, откуда и» <(д+е)» (Й- У), и так как ряд,~~(~)+ з)" сходится, то сходится и ряд Н О ,,"„и», а вместе с ним ряд(3). Из свойства (10) при д > 1 вытекает, что ~/'и» > 1, т.
е. и, > 1 (й > Л/) при достаточно большом Ф, откуда следует расходимость ряда (3). Из свойства (11) (так же как из свойства (10)) при и< 1 следует (12), откуда, как уже доказано, вытекает сходимость ряда (3). Наконец, пусть выполняется свойство (11) при д > 1. Подберем конечное число о, так, чтобы 1<д,<д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
