Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 57
Текст из файла (страница 57)
На основании свойства верхнего предела (см. и" 2,10) существует псдпоследовательность й, < й, < ... такая, что ~~ и», > д, > 1 (з = 1, 2, ...), т. е. и». > Ч»»О Но тогда члены и» неограничены и ряд (3) расходится. Замечание. ряд с общим членом и„=а " (с»> 0) сходится при а > 1 и расходится при а - 1 (см. $9.2,,(5)), При этом в обоих случаях 1пп — "+' 1, (13) О«О ~О так же как Нш т",~'й 1. (14) «к«. Ряды с неОтРицАтельными членАми аов Таким ображхе, существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды с признаками (13) и (14). ! ! Ряд 1+ — +-+...
называется гармоническим рядом 2 3 (он расходится, см. $9.2, (5)). П р имер ы. 1) ~'„, — ". 2) ~~'„, — (сс > О). ь 1 Ф 6$ 4),' !п~!+ — ',). 5) Хц+' (4>0». 3) ~ (е'гь — 1). 1 (15) и,+и,+и,+ .. с неотрицательными членами сходится и имеет сумму о. Тогда полученный в результате произвольной перестановки его членов новый (заново перенумерованный) ряд (16) и,'+ и,'+ и,'+ ..
также сходится и имеет ту же сумму о', Доказательство. Пусть 3„' и,'+и,'+... +и,' Ряд 1) сходится Ух>0, Прн х=О это очевидно, а при х>0 зто следует нз того, что и„+,!иь=х/(й+1) — О, й- оо. Более того, мы знаем, что этот ряд является рядом Тейлора функции е" и сходится «гх к сумме, равной е'. Ряд же 2) сходится при 0 х< 1 и расходится для х > 1, потому что при х > 0 для него иь+,/ил —.— = х(й)(е+!))'* х, й оо; прн х=! см, выше замечание. Случай х=О тривиален.
Ряды 3) и 4) расходятся в силу теоремы 1 2 9.4, потому что еиь — ! ж 1/Й (й- оь) и !п(!+(1/й)) ж 1/й (й ьо) («жь — знак асимптотнческого равенства, см. 2 3.9, 2 3.10), а гармонический ряд Х й ' расходится. Ряд 5) сходится прн О~~о < ! и расходится при д > 1, потомУ что длЯ него ~/~и«=У'+('Л ь» — д(й- ьо). ПРи д= ! он тоже расходится — общий член ряда в этом случае равен 1. Теорема 4. Пусть ряд Гл, к Ряды 376 — частичная сумма ряда (16). Члены ее находятся в ряде (16) под некоторыми номерами й„..., й„. Пусть Ф— наибольшее число среди них и Ям есть У-я частичная сумма ряда (16).
Очевидно, 5„'«5и«5, и так как л произвольно, то ряд (16) сходится и имеет сумму 5'«5. Но теперь приведенное рассуждение можно провести еще раз, поменяв ряды (16) и (16) местами, и получить, что 5 5'. Позтому 5=5'. й 9.6. Ряд Лейбница Ряд вида а,— а,+а,— а,+..., где числа аа>О, монотонно убывая, стремятся к нулю (аз)а„„-; а„— О, й- со), называется рядом Лейбница. Покажем, что ряд Лейбница сходится и его сумма 5«а,. В самом деле, частичная его сумма 5„,+„с нечетным номером 2а+1 может быть записана в вйде 5,„,=-а„— (а,— а,) — (а,— а,) —...— (а,„,— а.„) — а,„„ откуда, очевидно, сл!~дует, что она ограничена сверху числом а,: 5„,; «а,. ! ' С другой стороны, опа может быть записана в виде 5,„+,— — (а,— а,)+(а,— аэ)+ "+(а9л — а,„„), откуда следует, что она монотонно ие убывает.
Но в таком случае сушествует предел 1пп 5,„+, — — 5 «а,, Очевидно й-~а также, что Ит 5,„= 1пп (5 „,— а „+ )=5 — 0=5. Теорема доказана. ! 1 Пример Ряд 1 — 2+ з — ° ° ° есть, очевидно, ряд Лейбница. Таким образом, он сходится и его сумма 5 не превышает 1 (на самом леле, 5=1п2, см.
$ 4.16, п. 4). $ В.В. АВСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 377 9 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды Ряд с комплексными членами и,+и,+и,+,. называется абсолютно сходяи!имея, если сходится ряд <и,<+<и,<+<и,<+... (2) модулей его членов. Абсолютно сходни!ийся ряд сходно!ся. В самом деле, пусть ряд (1) абсолютно сходится; тогда сходится ряд (2) и в силу признака Коши для любого а ) 0 найдется такое У, что В ) <и„,<+... +<и„+р < для всех р и и > У.
Тем более, тогда е > <и„+,+... +й„~е<, Поэтому в силу признака Коши ряд (!) сходится. Сходящиеся ряды с неотрицательными членами три! виальпым образом сходятся абсолютно. Ряд 1 — "— „+ ! + — „—... (и>0) сходится, потому что он есть ряд. Лейбница. Однако абсолютно он сходится только при а > 1, Теорема. Если ряд абсол!атно сходится, то при любой перестановке его членов сходимость полученного нового ряда не нарушается и его сумма остается презснеи.
Доказательство. Сначала докажем теорему в слу. чае, когда члены ряда и„— действительные числа. Положим (для действйтельных и„) и+ и„, если и» ."О, ( — и», если и»~0, и» =! (3) О, если и»<0, ( О, если и„>0; числа и„' н и», очевидно, неотрицательные и и„= и»+ — ир. (4) Наряду с рядом (1) будем рассматривать два ряда, Ф Ю „В~, и»' и й,' и; (б) о В (с неотрицательными членами). Пусть ряд (1) абсолютно сходится и члены его — действительные числа ию Тогда ряды (5) также сходятся, потому что, очевидно, и» (<и»<, и» ~<и»<.
Пусть ряд, полученный после перестановки исходного ряда (1)„имеет вид о,+о,+о,+..., Для его членов гл. о. Ряди зта введем, как выпье, числа о(' и в». Тогда (пояснения ниже) Ф О> Ю О0 ф»=' и»= ~~~(и»' — и»)=Хи»+ — Хи„= о о о Ф ОР Ю Ю ф и»+ — ~, и-, = ~~о (и; — о;) = ~оп„. о о Первое равенство в этой цепи следует нз (4), второе — иэ $ 9,3, (2), если учесть, что ряды (5) сходятся, третье следует из того, что сходящиеся ряды с неотрицательными членами перестановочны, четвертое иэ 9 9.3, (2), и, наконец, питое — потому, что п»=о»+ — о;. Теорема для действительных и» доказано.
Пусть теперь и = а»+ф» — комплексные числа, а числа и» имеют прежний смысл. Так как ~а )(~и ~, )()»)(~и»~, то ряды с (действительными членами) ~~'а» о ф1 и ~ ~)» абсолютно сходятся, и члены их, как сейчас было доказано, можно переставлять. Поэтому, считая, что о»= у»+73», получим Ю Ю Ф~ Ф Хи»= Х(со»+Ф»)=Х'"»+(.~~»а»= о о о Ю Ф 40 4Э = Ху»+(,Еб»= Х(Т»+»б»)=,'~Ьо» о о о о Теорема доказана полностью. 9 9.7. Условно сходящиеся ряды с действительными членами Из предыдущего параграфа мы знаем, что абсолютно сходящийся ряд с действительными или комплексными членами после перестановки членов остается абсолютно сходящимся и имеющим прежнюю сумму.
Оказывается это свойство — ие менять сумму после перестановки членов — присуще только абсолютно сходящимся рядам. Рассмотрим ряд и,+и,+и»+... ()) с действительными членами сходящийся, но не абсолютно. » 0,8. Р»вномегнля сходимость Можно доказать, что, каково бы ни было число 5, конечное или бесконечное, т. е.
удовлетворяющее неравенствам — оо ~ 5 ~+ оо, существует перестановка членов ряда (1), в результате которой получится ряд, сходящийся к Я. Поэтому неабсолютно сходящиеся ряды называют условно сходящимися. Сделаем еще следующее замечание. Пусть задан ряд (1) из действительных чисел, условно сходящийся, В ряде (1) имеется бесконечное множество положительных и отрицательных членов, и, очевидно, они в отдельности образуют расходящиеся ряды (в противном случае исходный ряд был бы абсолютно сходящимся). й 9.8.
Последовательности и ряды функций. равномерная схаднмость Рассмотрим последовательность функций «Д»(х) ), определенных на некотором множестве точек х= (х,, ..., х„) и-мериого пространства. Они могут принимать комплексные значения ()» (х) = с»» (х) + (р» (х)). Можно считать также, что х — комплексные точки (х=5+ (т1), пробегающие некоторое множество Е точек комплексной плоскости, и тогда 1» (х) — функции комплексной переменной х. Пусть для каждого значения х Е Е последовательность «1„(х) ) стремится к числу 7(х) (функции ат х). По определению последовательность г „(х) сходится (стремится) к г (х) равномерно на Е, если существует сходящаяся к нулю последовательность неотрицательных чисел р, (не зависящих ат х) такая, что «1(х) — 1„(х) ! ~» Р„Ух ЕЕ. (1) Это определение эквивалентно следующему: для любого а > О найдется У такое, что при и > У «1(х) — 1„(х) «С а»»»х~ Е.
В' самом деле, если выполнено первое определение, то для любого е > О найдется Ж такое, что е> р„>~ «1(х) — ~„(х)«Ух~Е, т. е. »>У е> «1(х) — ~„(х)! УхЕЕ, п>У. (2) гл. к гиды Обратно, по второму определению для любого е>0 найдется й( так, что выполняется (2). Но тогда е > зпр! г (х) — Г„(х) ~ = р„(п > )у). (3) Мы вадим, что неотрицательные числа р„не завксят от х и ~((х) — г„(х)~<р„, р„- О, т.
е. выполняется первое определение. В первом определении в качестве р„ можно взять точную верхнюю грань р ~ ~ (х) — 1„(х) ~ = р„. ХЕЕ Если она стремится к нулю при л- оо(р„- О), то ~„(х) стремится к ((х) равномерно на Е, если не стремится, то не равномерно. Можно еще дать третье определение равномерной сходимости в духе Коши: последовательность ()„(х)) равномерно сходится на Е, если для любого е > 0 найдется такое Л', что выполняется неравенство Д„+р(х) — )„(х) ~ < е (4) при любых и > У и р > 0 и для всех х ЕЕ. Из того, что последовательность равномерно сходится в смысле второго определения, следует, что для всякого е>0 найдется такое У, что для и> У и любых р выполняется неравенство ~ ~,+р (х) — ~„(х) ~ = ~ („+р (х) — г (х) ~ + ! )' (х) — 7„(х) ~ < 2е 'КхЕЕ, т.
е. выполняется третье определение. С другой стороны, пусть выполняется третье определение; тогда для каждого отдельного значения хЕЕ выполняется, очевидно, обычный признак Коши скодимости последовательности, поэтому она сходится к некоторой функции ~(х). Зададим теперь е > 0 и подберем Ф так, как указано в третьем определении. В неравенстве (4), где и> Ж фиксийпвано, перейдем к пределу при р со; в результате получим ~ ~ (х) — )„(х) ~ < е (х ~ Е), откуда р„=зпф~ (х) — Г„(х) ~ <е, ка и так как и > У можно взять любым, то р„- 0 (и-+ ео), т. е. выполнено первое определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
