Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 54
Текст из файла (страница 54)
д6т дд, Но тогда длн первого уравнении (1'), если его рассматривать относительно неизвестной функции ут от (х;, хв, рв), выполняются условна теоремы 1' 8 8.15. Поэтому для любого Ьв существует прямоугольник бг=(! х! — хг ! < и, )хв — хв! < сс, (рв — рв! < Рг )рз — рг! < у) (у < Ьв) (8) и непрерывно дифференцируемая функция Ут=сР(хы хв, Ув), (О) (х„хв, рв) ~ бтв «)х! — хтв! < а, )х — хек! < и )рв — рвв! < И удовлетворяющая первому уравнению (1'): Ут (хг, хв, Ф (ха, хв, у,), ув) О, (10) где (хз, хв, у,) Е Лг, (х;, хв, ср(хг, хв, ув), рв) ~ 82, (!1) При этом функция ф единственна в том смысле, что любая точка (х,, хв, ры р,), принадлежащая к Л! н удовлетворяющая первому урааненвю (1'), имеет координаты, связанные равенством (9); в частности, Рв (Р(хв, хвв, Рв).
(! 2) 3 а м е ч а н и е 2. Отметим, что в (8) мы могли бы на первом этапе рассуждений считать и=8. Но в дальнейшем придется числа и, 8 несколько уменьшить, вообще говоря, непропорционально. Уменьшенные а и () пригодны и для рассматриваемого первого этапа рассуждений. Итак, мы получили тождество (1О) верное каковы бы ни были независимые (хг, х„у,) ц двн Но это тождество остается верным и если считать, что ув есть любая непрерывно днфференцируемая функция ув=фв (хы хв), такая, однако, чтобы (хы хм ф, (хм хв)) Е йз. (18) 12 Я.
С. Бугров, С.М. Нкксккскка 354 Гж а. Фннхиии мнОГих Йеремкнных д! дуо д)а дуо д(т дуг д!о дуо (1 6) В первом равевстве (16) применено правила о производной сложной функцин, ва втором надо учесть, что, согласно (10), дф дгх ! д(1 дуо ' дуо ~ дуг Конечно, там где мы пишем частные производные от гт н !о, счи- тается, что онн вычисляются в точках ха=хм хо=ха, ут=ф(хь хь Уо), уз=у,.
В последнем саотношевнн (!6) надо учесть (2*) н (7). Мы видим, что левая часть уравнения (15) удовлетворяет всем условвям теоремы 1' 5 8.15. Поэтому в прямоугольнике ао (см. (9)) найдется новый, вообще говоря, меньшнй прямоугольник, который мы снова обозначим через Ло (см, выше замечание 2), н найдется 1 непрерывно днфференцнруемая функцня Уо фа (хн хо), (хт, хо) В Ао =(! ха — хт ! < со, ! хз — хо ( '~' ж), (»,, хо, фо(х!о хь))цйо, удовлетворяющая уравнению (15): Ф(х„хо фо(х,, х,))=)о(хю хо, ф(хн ха, фо(хт, хо)),фо(хт; х,)) = =!о (хт, х„фт (хи х,), 'ро(хы хо)) =О, (х„хо) ало, (х,, х„фз (хн хо)) Ей~о, фо (хо, хо) = уо. Но таких функций ф, бесконечное множество. Цель ваша выбрать среди ннх такую, чтобы функцнн Уа=ф (хж хо, фа(хх, хо)) =фа (хю хо), ) (1 4) Уз=фа(»Н хо) тождественно удавлетварялн второму уравнению (1').
Первому урав- ненню (1') ани уже удовлетворяют. Итак, подставим найденную функцвю ф во второе на уравнений (1'): )о (ха, хо, ф (хы х„ у,), у,) =- 0 (! 5) н будем искать функцию у, от (х„хо), ему удовлетворяющую. По. ложам Ф (хт; хя ут) — те (х1, хо, ф (ху хю уо), УД. Функцвн Ф яепрерывно днфференцнруема для любых (хх, хо, уо) ЕЬ~ (см.
(11)). Она удовлетворяет равенствам о о о о о о о о о о о Ф (хн хо, Уоо)=(о(хт хо, ф(хт, хо, Уод, Уо)=)о(хы хз, Ую Уо) 0 (см. условне теоремы н (12)). Кроме того, дФ вЂ” ЮО, ду, В самом деле„для тачек (хю хо, уо) Е Ло (пояснения ниже) дФ д)о дф д(о д)о / д(т ! д)! ~ д)о — = — — + — = — — — ' — +— дуа дух дуо дуз дуа ~ дуо'~ дух / дуо 8 8.!т. систвмы Функции, 3АдАнных нвянно звб При этом любая точка (хн хы ув)ЕЬв, удовлетворяющая уравнению (15), имеет координаты, сея»аниме равенством уз=эре(хы хв).
Но тогда выполняется такое соотношение (см. (11))1 (хо хв, фх(хп хв), врв(хы хв))йЬь Итак, доказано существование непрерывно дифференцнруемых функций ф ( ) 1 ( )цД уз=чрв (хо хв) удовлетворяющих обоим уравнениям (1') и притом тах; что ув=фт(хв, хв), ув=чрв(хв, х!). При этом Оч хв ф! (зъ хв) вув (хп хв))ЕЬт (!7) и любая точка (хо х„уь у,)~дп удовлетворяющая уравнениям (1'), имеет вид, как в (17).
Переход от Ьз к Ь моэхяо осуществить с помощью замечания!, Замечание 3. Укажем способ нахождения частных дуу производныд ч — . Пусть все условия теоремы 1 выполнены, Тогда, подставляя функции у» ф»(х) в (1), получим систему тождеств! »!(х, фт(х), "° ф (х)) -О (!8) 3' (х, фх(х), . „ф„(х)) О, Ддфференцируя по х„каждое тождество системы (18) как сложную функцию, получим: — + — — +...
+ — — О, д»т д»т дфт д»! дэу в дх» дув дх» ' ' ' дум дх» ° ° ° ° ° ° ° - ° ° - ° ° ° ° (19) — + —" — +... + — — =О. д»,„д»м дф, д»и дф„ дх» ду! дх» ' ' ' дум дх» Система (19) является линейной относительно неизду7 дф7 вестных производных — — = — (»= 1, .". и). Опредедх» дх» лителем ее является якобиан ' »и) чь О. 17 (у„..„у„) а 356 Гл.
г, функции мнОГих пагамвнных Поэтому система (19) имеет единственное решение: ду, Р(й,)„) )РВИ ...,1„) дхх Р(хх,уг, ...У,„)( Р(ун ..ОУ,„) ' Р(В, ...,1.) (Р();,.",1.) дх, = Р(ун"„у -„хх)(Р(у„...,у,.) ' $8.18. Отображения Пусть задана система непрерывно дифференцируемых функций рт =<р~(х) =р~(хо ..., х„), хай() =1, ..., лх), (1) где Й вЂ” открытое множество точек х=(хг, ..., х„).
Будем говорить, что система (1) определяет неарерывно диф4ерениируе иое огнображенне У=Ах, хай, (1') множества Й на некоторое множество Й' точек у = =- (у„..., р„). Будем еще писать Й' = А (Й) и называть Й' образом Й, а Й вЂ” прообразом Й' (посредством отображения А). Наряду с А рассмотрим другое непрерывно дифференцируемое отображение В: г,=ф,(у)=ф,(д„...,у.), уЕЛ()=1,, „т), открытого множества Л точек у на некоторое множество точек х=(гн ..., г,), Таким образам, х=Ву,уЕЛ, Замечание. Отметим, что если х'Ей ну'=Ах'ЕЛ, то в силу непрерывности А найдется окрестность У„. точки х', образ которой посредством А принадлежит к Л.
Уменьшая Й, положив Й=У... получим тогда, что Й'~=Л. Если Й'~" Л, то имеет смысл сложное непрерывно дифференцируемое отображение х=ВАх, хЕЙ, определяемое равенствами г =ф (р1(х), ..., ~р„(х)), хай (1=1, ..., Гл). Якобианы отображений А, В, ВА связаны зрмечательными равенствами Р (гь ° г~х) Р (у» ° ° у х) (о) Р(ун,„,у ) Р(х, ...,х 1 5 ЗЛЗ. УСЛОВНЫЙ (ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ! ЭКСТРЕМУМ 35Т доказательство которых, как мы видим, основано на применении формулы производной от сложной функции и правила умножения определителей. В частности, если В обращает А иа множестве точек х~ь), т. е. х=ВАх, х~ь), есть тождественное отображение, то и силу того, что его якобиан равен 1, получим формулу ~~ь,...,] в|ь, ..., ~ 1)(уа, ..., у ) (з(хт, ..., х„) ' Будем теперь считать, что определяемое равенствами (() непрерывно дифференцируемое отображение у= Ах имеет якобнан () (хт,, хи) т, е. не равный нулю всюду на открытом множестве ГЬ Приведем без доказательства следующие свойства: !) ()'=А (Й) — открытое множество (вместе с Н!), 2) если Я вЂ” область, то и Я' — область, 3) отображение А локально взаимно однозначно, т.
е. какова бы ни была точка хе~Я, найдется юар У~Я с центром в ней та. кой, что отображение А, рассматриваемое только на У, взаимно однозвзчно, Свойство 3) утверждает только локальную взаимную однознач. ность. Глобальной взаимной однозначности может и не быть. На. пример, преобразование х=р соз 3, р= р а!п а полярник координат точек плоскости в декартовы прв р > О и произвольном 3 непрерывно дифференцируемо и имеет положительнмй якобиан, равный р. Оно отображает точки (р, 3) (р > О, — се < О < ее) плоскости (р, й) в точки (х, и), отличные от нулевой точки, локально взаимно одно.
значно. Однако каждой такой точке (х, р) соответствует котя н одно р, но бесконечное число различных значений 6, отличающихся между собой на 2йи (й == ~- 1, х 2... ) 9 8.19. Условный (относительный) экстремум Рассмотрим в пространстве )ч!; функцизо и Р(х, у) = х'+ уз. О геометрической точки зрения эта функция представляет собой квадрат расстояния точки Р =(х, д) от начала прямоугольной системы координат х, у. Она пе ййтеет наибольшего значения в В,. Но если ее рас.
сматривать только для точек (х, у) эллипса 6(х, 9) == хз ра = -г + ь, — 1 = 0 (Ь > а), то ясно, что она достигает а наибольшего значения в точках Р, = (О, Ь) и Р, =(О, — Ь) (рис. 101). Таким образом, функция и = Р (Р)„рассматриваемая во всей плоскости Ра, не имеет наибольшего значения, 358 ГЛ.
8, ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ но эта же функция при условии, что точка Р находится на эллипсе, принимает наибольшее значение (два раза). Эта ситуация приводит нас к задаче об отыскании экстремума функции при условии, что ееаргумептыудов- летворяют некоторым дополнительным 1,„1р ограничениям. к 1ооеС Итак, пусть дана функция И=Р(Р)=Р(хн ..., х„, у„..., у„) от и+т переменных.
Требуется найти экстремум функции Р(Р) при условии, что переменные х„у„связаны т соотношениями 61(х„...,х„, у„..., уи)=0, (1) .л б„(х„..., х„, у„.. „у„)=0, рис, пп. которые обычно называются уравнения- ми связи. Система уравнений (1) определяет в пространстве Р +лн вообще говоря, некоторое множество, которое мы будем называть поверхностью. Определение. Будем говорить, что точка Р'= = (хо, ..., х,', ун ..., уо), удовлетворяющая уравнениям (1), является точкой локального условного (относительного) максимума (минимума), если в Й„Э окрестность точки Р' такая, что ЧР из этой окрестйости, удовлетворяющих уравнениям связи (1), выполняется неравенство Р (Р) ( Р (Ро) (Р (Р) ~ ~Р (Ро)) Точка локального условного максимума или минимума называется точкой локального условного (относительного) экстремума.
В рассмотренном выше примере точка Р, (О, о) является точкой условного локального максимума, так как для всех точек Р, лежащих на эллипсе, и(Р). и(Р,). Займемся сначала выяснением вопроса о необходимых условиях, чтобы точка Р' была точкой локальногбз этно. сительного экстремума. Пусть Р' — точка условного экстремума и функции б„..., б„имеют непрерывные частные производные и якобиан 1~0 (2) ~ ЬН "о УФ) в окрестности этой точки. 8 8.!9. услОВный «Огиосительнып! экстремум зкз 1(ак иам известно, система (1) разрешима относительно переменных у«ь ..., у„в некоторой окрестности точки Р': у,=«р«(хт, ..., х„) (1 1, ..., т), где функции «рг(х«, ..., х„) имеют непрерывные частные производные в точке М'=(х,', ..., х„').
Подставляя эти функции «р, в Р, получим, что Р бу. дет функцией только от и переменных х«, ..., хл, незавнсимых между собой! Р (х!» " ' ' хл> «р! (хо ' ' '> хл)» ' ' ' Ч>л(х«> ' ' ° хл)) лл> л««Ф(х«, ..., хл). (3) Очевидно, что если Р достигает локального условного экстремума в точке Р', то Ф(х;,..., хл) достигает в точке М'=(хн... „х„') обычного локального экстремума, илн, как говорят, абсолютного локального экстремума, и обратно, Но тогда, как мы знаем, должны выполняться равенства — О (! =1, ...,и) или йФ(М) —,Г,— йх«=.О, (4) «=! где йх«(1=1, ..., и) — дифференциалы независимых переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
