Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Точку Р' (х,", ..., х„', у,', ...,, у'), для которой в силу (1) (или (3)) выполняются (4), будем называть стационарной точкой функции Р ири наличии связей (1). Мы доказали, что для того, оиобы точка Р'= (х,', ...,х„', у'„..., у,',) была точкой локального условного екстремума, необходимо, чтобь! она была стационарной точкой Р ири наличии связей (1). Дальнейшие наши рассмотрения относятся к вопросу о том, как найти указанную стационарную точку, не разрешая систему (1) относительно переменных у;, ..., у, хотя. существование функций «р;, ..., «р мы будем предполагать.
Будем писать (Р), («р,), вместо Р(Р'), «р! (М'). Б силу инвариантности формы дифференциала первого порядка условия (4) эквивалентны условиям л л> йФ (М')=йР(Р')=~,~ — ) йх«+~~"„, ~в ) ух=О, (б) ««'8! зео ГЛ, 8. ФУНКЦИИ МР!ОГИХ ПЕРЕМЕИИЫХ где входящие в дР зависимые дифференциалы дуг,...,йу соответственно равны !! а!у„= ~ ( Фз ) дх! (1=1, ..., ). 1=! Эти дифференциалы вместе с независимыми дифференциалами Йх„..., пх„связаны соотношениями дб!(Р')=~~' ( — „. ') !(хт+~Ч', ( — ') дУ„=О(!=1, ..., и), (6) которые мы получаем из уравнений связи. Итак стационарная точка функции Р при наличии связей (1) может быть определена также как такая точка Р' = (хи ..., х„', у,',..., у„',), удовлетворяющая уравнениям (1).
что для нее выполняются равенства (5) для' всех дх!з ..., дх„, !(у„..., пу„, для которых имеют место равенства (6). Введем (а+я!)-мерные векторы ига!(, бт — — йгаб б! (Р') -((%). "( — ".'), (Ф)."- (ЙЦ ='-'- игадоР=ягадР(РР) = -((~',). " ( — '.".). ( — ':,)" ( ).) (г-(!(хо ° ", дх„, Ду! ду ). На языке згих векторов уравнения (5) и (6) можно записать через скалярные произведения (йгад, Р, с(в)=0, (йтад,бм дг)=0 ()=1, „и!). Мы получили, что точка Р"=(хи..., х„', уо, ".".',, уа) есть стационарная точка при наличии связей (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям (1), н если из того, что какой-либо вектор сЫ ортогонален к градиентам йта!1, б!, „ йтад, б , следует, что он ортогонален к угад, Р. Но в таком случае (пояснения ниже) существует и притом единственная система чисел Х„..., ).,„ У 8.!В.
УСЛОВНЫЙ !ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ! ЭКСТРЕМУМ 3Я такая, что (7) йгабе Р = ~ Хв бган, 68. е=! Обратное утверждение тоже верно. Если известно, что дгаб, Р прн некоторых числах Х„..., )см может быть представлен в виде (7), т. е. в виде линейной комбинации градиентов йгадебв(й=1, ..., т), то отсюда немедленно следует, что как только какой-либо вектор г(а ортогоналеи к градиентам игад, бв, он автоматически ортогонален к ига!(е Р.
Убедиться В верности обратного утверждения не представляет никакого труда; из (7) и (6') следует, что г и (йгаг)е Р, па)=~ Х Хвйгадеб„г(г 1,8=! = Х Хв (йгаб, б„г(г) = Х Хе О = О. е=! Ф=! Что же касается прямого утверждения, то мы сошлемся на теорему из линейной алгебры ').
Все же сделаем пояснения. Пусть (, есть линейное подпространство Ка+ , натянутое на векторы ягаг)8 б (/ = 1, ..., лг), т. е. мйожество линейных комбинаций вида (7), соответствующих всевозможным системам чисел Ц...., )с„. Введем подпространство й' векторов дя, ортогональное к Ь, т. е, г',' состоит из всех векторов г(а, ортогональных к Ь, или, что все равно, ортогональных к векторам цгада бу(1 ° 1, ..., Лг). Если *) г'.' ортогонально к Ь, то и, обратно, Ь ортогонально к 1,', т. е. Ь состоит из всех векторов, ортогональных к Ь'. Как было сказано в стационарной точке Р', градиент Р ортогонален ко всем векторам ди, ортогональным к градиентам бти т. е. градиент Р ортогонален к Ь'.
Но тогда по указанной теореме градиент Р принадлежит к !., таким образом есть некотораи линейная комбинация нз градиентов бг, единственная линейная комбинация, потому что градиенты бу(1 = 1, ..., Тл) образуют линейно независимую систему в )7„+ . Дело в том, что ') См. нашу книгу «Высшаи. математика.
Элементы линейной влгеоры н анвлнтияеской геометрии», й 19, теоремы 1, 2 и следствие !. ') См. теорему ! ф 19 указанной выше книги, абз гл. в. эинкции многих пю вмвниых матрица из частных производных функций ()~ дб! дб! дб! дб! вк! '* * Зх„' ву! " ' дг„ (8) дб„, дб„, дб„, дб„ дК! ''' „дн! ''' дуа» йгай, Р = Х )!7йгай, 67. ! ! (7) Можно еще сказать так! для «юго чоибм точка = (хаа» ° ° ° » 4» уа» ° ° » уй) была стационарной для функции Р яри наличии связей (1), необходилао и достаточно, чтоб!к для нее существовали числа Х;..., Х„, для когпорыя выяолняея!ся равенство (7). Так как райг матрицы (8) в точке Р' равен т, то каждой стационарной точке соответствует единственная система чисел «ч,...,$, для которых имеет место равенство (7).
Равенство Щ зквивалентно следующему: Функцию, стоящую под знаком градиента в (9) 7.(Р, Е) Р(Р) — Х Х~бг(Р), )» (Хт, ..., $,„), ! называют функцией Лагранжа, а числа Х~ множителяяи Лагранжа. а) См. В !3 укаэанной на с, 36! книги. имеет в окрестности точки Р' ранг т, потому что мы предположили верным условие (2), но тогда строки атой матрицы определяют векторы (градиенты)„образующие линейно независимую систему '). Из сказанного следует, что стационарную точку функции Р при наяичии связей (1) можно определить еще и так: гто такая точка Р'=(х,', ..., х'„, У;...'У')* удовлетвортощая уровнениял! (1), для которой градиент Р есть линейная кол!бинация из градиентов 6 (1=1, ...,т) $ з|к услозяыи |относятельи|ни| экстРемум 3з3 ряс. и|з Запишем условия (9) в развернутом виде: дС ду ч~ дб; — — — Х вЂ” '=О (1 1, ...,и), дхЛ дхЛ ~"4 | дхЛ (9') — = — —,~„Х,— '-=0 (й=!, ..., и).
дС дя ч~ дб; дух дух, | дух Вопрос о нахождении стационарных точек Р при наличии связей (1) свелся к решению системы, состоящей вз уравнений (1) и (9'). Резюмируем сказанное. Чтобы найти стационарную точку Р' =(х,', ..., х'„, у,", ..., у') функции Р при наличии связей, надо составить функцию Лагранжа и систему уравнений (9') и решить эту систему совместно с уравнениями связи (1). Всего здесь будет и+2и| уравнений с и+2т неизвестными х„...,х„, д Рл . у Ц...,Х„. При этом решениесй- лл гу стемы отвосительйо х, н ул даст точку (хн ..., х'„, у'„..., у'), которая будет стационарной точкой.
Точки локального условного экстремума находятся среди стационарных точек. Выяснение вопроса о том, будет ли на самом деле стационарная точка Р' точкой условного экстремума, удобно проводить, рассматривая второй дифференциал функции Лагранжа. При выяснении знака г(Ч (Р', Х) нужно учитывать, что дифференциалы иу„зависят от дифференциалов л(хе Пример. Пусть на плоскости хОу дана фигура, ограниченная осями координат и параболой у+х* — 3 О (О~х()л 3). Вписать в эту фигуру прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, одна нз вершин М = (х, у) которого находится на этой параболе, так, чтобы площадь прямоугольника была наиболыпей (рнс.
(02). Решение. Пусть х и у — координаты вершины М. Тогда площадь прямоугольника З=ху. Далее, так как точка М лежит иа параболе, то ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы: у+х' — 3 =О. Таким образом, мы должны исследовать на условный экстремум зэ4 гл. э. егнкции многих пээвмвнных функцию В=хр при наличии связи р+х' — 3=-0. Составим функцию Лагранжа Е(х, у, й) ху — Х(у+х' — 3). Найдем стационарные точки задачи из уравнений — *= у — 2Хх 0 дЕ дх \ дь — =х — Х =0 ду Ф у+ х' — 3 =О. Решая эту систему„находим, что х 1, у=2, Х 1. Таким образом, точка (1, 2) стационарная и ей отвечает множитель Лагранжа Х=1, Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функции Лагранжа Е(х, у, 1)=ху — р — х'+3.
Имеем д'Ь (х, у, 1) = Е,вдх + 2Ь"„эбх ду+ (.„ч(у + Ь„'4.( х+ ЦА у где последние два члена в правой части возникают потому, что дифференциалы г(х н ду зависимы и, вообще говоря, ~(ФхФО, с(эучьО. Однако в стационарной точке (1, 2) э— яэт =О.
И. И. дх Поэтому дЧ. (х, и, 1) =Ь;,Нх'+ 21",фх ду+ Ь"„,Иу'=2Их (Иу — дх). Если считать дх н йу как дифференциалы независимых переменных, то РЕ(х, у, 1) не является определенным по знаку. Однако иэ уравнения связи видно, что др= — 2хйх и в точке (1, 2)Ир= — 2йх. Таким образом, дЧ,(1, 2, 1) — Их'<0 (Их~О), а следовательно, и приращение функции Х. (х, у, Х) в точке х 1, у 2, $~ 1, соответствукицее приращению х, рав'ому г(хча0, меньше нуля (ЬЬ(1, 2, 1) <0).
Значит, ункция 5 ху имеет в точке (1, 2) локальный условный Максимум, так как на параболе у+х' — 3=0, о,),б*цЬ. Итак, из всех прямоугольников указанного вида, наибольшую площадь имеет прямоугольник со сторонами ОА 1, ОВ =2. ГЛАВА 9 ряды 2 9.1, Понятие ряда Выражение но+ и1+ио+ ' ' '~ (1) где числа ио (чяены ряда), вообще комплексные, зависят от индексов А=О, 1, 2, ..., называется рядом. Этому выражению мы не приписали никакого числа, потому что сложение бесконечного числа слагаемых не имеет смысла. Ряд (1) еще записывают так: Х по=био. о=о о (2) называются п-ми частичными суммами ряда (1), По определению ряд (1) сходится, если существует 1пп 5„=5. В этом случае пишут Ф 5=и,+и, +ио+ ...
= Х и„ о=о и называют 5 суммой ряда, т. е. выражениям (1) или (2) приписывается число 5. Говорят еще, что ряд (3) схо- дится к 5. Эта чисто формальная запись часто более удобна, чем запись (1). Числа 5„=и,+и, +... 4-и„(п=О, 1, ...) гл. ». г яды Замечание. Равенство 11ш Ял =8, гдв Я„и 8— комплексные, определяется так же, как для действительных Я„, 3, т. е.
оно обозначает, что У з > О яУ ! 15л — 8~ < е »гн > У. Здесь ~ ߄— 3 ~ — модуль разности двух комплексных чисел Я„, Х Для комплексных переменных доказывается в точности так же, как для действительных переменных, что предел суммы, разности, произведения и частного переменных и„, о„равен соответственно сумме, разности, произведению, частному пределов этих переменных о обычной оговоркой в случае частного (Пш о, „-ь О). В силу условия Коши (верного и для последовательностей комплексных чисел), для нюео епобьг рад (1) сходился, необходимо и достаточно, чпюбь» для всякого е > О нашлось такое У, чтоб»» для всех натуральна»л н>М и любого натурального р емаолнялось неравенпиео 1и а»+...+и,+г(=)8,»р — Я„) <е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
