Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 59
Текст из файла (страница 59)
а<«а в Поэтому и теорема доказана. 13» х х («ВвВа — Ь1,(аа ~- «в » х, х = ~(5(~) — 5„(~)]Ж 1«в х х 1 «(9 а — ( «.КВ»в ( = хв хв () ~5 (() — 5»(1) ~д» е. и (Ь вЂ” а) г„- О (и — оо), Гл. 9. Ряды Теорема 3. Пусть на отрезке [а, Ь) задан ряд и,(х)+и«(х)+и,(х)+...
(6) (комплекснозначнах) функций, имеющих непрерывную производную. Если ряд (6) сходится в некоторой точке х,Е[а, Ь1 и, кроме того, формально продифференцированнай ряд и,' (х) + и,' (х) + и,' (х) +... (7) равномерно сходится на [а, Ь) то ряд (6) равномерно сходится на [а, Ь) и производная от его сумма 5 (х) есть сумма ряда (7). Таким образом,. 3 (х) = и,(х)+ и;(х)+ и;(х)+..., (8) 3«(х)=и',(х)+и,'(х)+и',(х)+... (а х~Ь). (9) Доказательство. По условию ряд (7) равномерно сяодится на [а, Ь| и его члены — непрерывные функции на [а, Ь1, поэтому его сумма, которую мы обозначим пока через «р(х), непрерывная функция иа [а, Ь1.
На основании теоремы 2 ряд (7) можно интегрировать почленно и получить равномерно сходящийся на [а, Ь1 ряд Ф Ф $ ф (1) дг = )г и,' (г) «(г'+ $ и,' (У) «(Г+... (а < х ( Ь). Применяя теорему Ньютона — Лейбница, будем иметь ~ ф(1)«И=яр[и„(х) — и (х,)1. м 9 (16) Ряд справа в (10) с членами, равными функциям в квадратных скобках, равномерно сходится на [а, Ь~, ряд ~~'„,и (х,) по условию сходится, и так как его члены постоянны, то его надо рассматривать как равномерно схо- Ф дящийся ряд на [а, Ь1; но тогда ряд ~~'.«и„(х) также схоо дится и притом равномерно на [а, Ь) как сумма двух равномерно сходящихся рядов; обозначим его сумму че- 9 9.9.
ИНТВГРИРОВАИИВ И ДИФФЕРВЕ!ЦИРОВАНИВ РЯДОВ 332 рез 3(х): Тогда равенство (10) можно переписать так' х 5(х) =5(хв)+ ~ <Г (/) г(!. Но функция 5(х) имеет производную, равную 5'(х)=ф(х), и теорема доказана. Пример 1. Ряд (11) Продифференцируем ряд (11) формально! — в!и х вь! 2х вш Зх 1~" ! 2" ! 3" (12) Этот ряд сходится равномерно иа ( — со, оо) уже при а > 2, Но тогда прн а > 2 Б' (х) = !р (х), (13) Рассмотрим случай ! <а(2.
В этом случае признак Вейерштрасса к ряду (12) неприменим. Однако ряд (12) равномерно сходится иа отрезке !е, 2п — в1 при любом в > 0 (см. 2 0.8, пример 4), Так как к тому же сходится иа этом отрезке и ряд (11), то можно утверждать иа основании теоремы 3, что имеет место равенство (13) на отрезке [е, 2п — в), как бы ни было мало е > О, но тогда, очевидно, и на интервале (О, 2п). Если учесть, что члены ряда (11) имеют период 2п, то мы доказали, что при условии ! < а(2 ряд (11) законно дифференцировать почлеино для всех значений х Е( — ОО, ОО), исключая точки х„=2йп (й=О, ~1, -Е2,...). Пример 2, Пусть функция /„(х) является непрерывной на !О, Ц, линейной на каждом из отрезков!О, 1/2п) и(1/2п, 1/п) и такой, что /„(О)=/(1/п)=0, /„(1/2п) св„, /„(х)~0 на [!/п, Ц, где !х„— любая последовательность при св > 1 равномерно сходится на всей действительной оси по признаку Вейерштрасса потому, что )П-"СОЗПХ!(П-" Ч!ХЕ( — ОО, Ов) и ~п-в Соо (св 1).
! ГЛ. 9. РЯДЫ чисел (рнс. 105). Тогда, очевидно, Ип! („(х)=0 для всех хЕ10, 11, а 1 !(Ь2 1/22 1„1 12 ) 2,*2*4- ) 2 .( — „— *)2*- 2' 1122 Очевидно, далее, что г„= зпр (~„(х) — О) а„, О<М1 поэтому последовательность ф,(х)) равномерно сходится тогда и только тогда, когда а„ -+ О. Равенство ! ! $ („ (х)!(х ) ( (х)2!х (( (х) = 0) о о (14) выполняется тогда и только тогда, когда а„(2н — 0 (н о22), Мы видим, что из равномерной сходймостн („к (=0 на 10, 11(т.
е. когда а„- 0) следует сходимость ннтегра. лов (14), что согласуется с теоремой 2, Но последовательность У может сходиться неравно- мерно„в то время как свойство ! (14) все же соблюдается, напри! мер, при а„=1. Это показывает, что равномерная сходимость последовательности является достаточным, но не необходимым 1 Х а условием сходимости последо- Ь ~~ вательности интегралов к интеРис. !05. гралу от предельной функции.
Далее, при а„ = и последовательность ((„) не только сходится к нулю неравномерно, но и свойство (14) не соблюдается. Таким образом, если последовательность ((„) сходится неравномерно, то возможно, что последовательность ин- 6 тегралов ) 1„(х) дх сходится к интегралу от предельной а функции ) ((х)дх, а возможно, что сходится к другому 22 числу (прн а„=н сходится к 1(2, а не к нулю) илн же не сходится вовсе.
$ Е.!О. НЕРЕМНОЖЕННЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯШНХОЯ РЯДОВ 391 Пример 3. Из равенства (1 — а) г=1+а+аз+ .. '(я реге, р < 1) следует, что — — !е- — +рв +Р'в + о 1+раз 1 !е а ые 2(1 — рв~ ) а отделяя действительную и мнимую части, получим Р(р, В)= —, = — +рсоз8+рзсоз28-)-..., (16) 2 1 — 2рсозВ-1-ра 6(р, 8)=, =рз1пВ+р з!п28+..., (18) ! — 2р соз О+ ре Функггия Р (р, 8) называется ядром Пуассона' ), а !2(р, 8)-вму сопряженной фунхиией. Эгн функции являются гармоническими функциямн (для р < !), т. е, удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа з) в полярных координатах дзи ! ди 1 дзи Аи.~ — + — — + — —, ~~О.
дрз р др ра дяз (17) В самом деле, каждый член ряда (!5) является гармонической функцией (рпсозпО)в=-пр'-'созпВ, (о" созпВ)р=п(п — !)р"-'созпО, (р" с~ге пО)е= — пзр" соз пВ, Ь (р" соз пО) ==р"-з соа пВ (п (и — !)+п — и') =О. диалогично А (рп а!и пВ) = О. Законность цочлепного дифференцирования рядов (16) и (16) обу- словлена тем, что эти ряды и формально продиффереацнрованные (один или два раза) ряды равномерно сходятся при Оч~р~рз, где рв — любое положительное число, меньшее единицы. Заметам, что функция и(х, у), где х и у — декартовы коорди- наты, называется гар,панпчесявй в обвсигпи () точек (х, у), если она удовлетворяет в этой области дифференциальному уравнению д"и д'и Ьи= — + — -- =О. дхт дуз В полярных координатах зто уравнение имеет виц (!7).
$ 9.16. Перемножение абсолютно сходящихся рядов Рассмотрим два абсолютно сходящихся ряда Л= ч~„иа, о= Х ог и=о г=з х) С. Д. Пуассон (178! — 1840) — французский математик н физик. а) П, С. Лаплас (1748 — 1827) — французский математик и физик. Гл. к Ряды 392 с действительными нли комплексными членами. Перенумеруем пары (й, 1), где и=0, 1, 2, ..., 1=О, 1, 2, ...; каким-нибудь способом (Ам 1|) (йм 1а) (йм 1з) (2) Здесь важно, что каждая указанная пара (Ф, 1) входит в последовательность (2) в качестве ее элемента один раз.
Она имеет в этой последовательности определенный номер. Докажем, что оо= Х и|о, ! О (3) и при этом ряд справа в (3) абсолютно сходится. Таким образом, если из всевозможных произведений и о„взятых в любом порядке, составить ряд, то этот ряд абсолютно сходится и имеет сумму, равную Яо. Чтобы доказать это утверждение, составим ряды из модулей 1и ~ и1о,~: Ю О ~= Х!иь!.
= Х 1о! (1 ) Положим Б, Х1иь~, о„', Х1о~. ьо |со Рис. !об. Пары (й, 1) упорядочнм сначала следующим образом (рис. 106); (О, 0), (О, 1)„(1, 1), (1, 0), (О, 2), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (2, 0), ..., тогда Бо И|п Зд, 1пп ом 1пп (Бз, ол) = Ж-~а М-ва М-~ св = 1(п| (! по 1'~по !+! ив!'Ы+1 и| !'! о|1+! и|!'1оо!+!и»! '1оа!+ Ж-~а +)иг~ )о,Г+!и,! (о,1+~и,~.!о,1+~и,) ~о,)+...+)им~ ~о,)). (1') Это показывает, что сумма справа стремится при У ао к пределу, равному Яо, и так как члены ее неотрицательные, то число Ба есть сумма ряда ~ и»1 !о»!+ ~и» !'!о| ~+~ и| ~'(|~| ~+ ' ' ' ' Ф 9.10. ПБРБМНОЖЕИИБ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ззз Так как члены этого.
ряда неотрицательные, то их можно переставлять как угодно, не изменяя его сходимости и суммы Зо. Мы доказали наше утверждение пока для рядов (1'). Пусть теперь Ол= 25 иоо ОА= Хоо о=о !=о Как в (4') в силу сходимости рядов (1) будем иметь Зо 1пп (5„а„) = 1О-ои 1!Ш (иоео+иоэо+попо+ иопо+ +иипо) (4) и и Таким образом, существует предел справа в (4) при М со, авный Яо. Но мы уже доказали, что ряд (5') сходится.
показывает, что и ряд 'попо+ иооо+ иРо + иРо+ ° ° (5) сходится и притом абсолютно. В силу же (4) сумма этого ряда равна Зоо посо+ иопо + 1йпо + иРо+ . ° ° ° Мы, таким образом, доказали равенство (3) пока для одного определенного способа нумерации пар (Й„1).
Но в силу абсолютной сходимости ряда (5) равенство (3) сохранится и при любом другом способе нумерации. Пример, Ряд + 21 + 31 (5) абсолютно сходится для любого комплексного значения г или, как говорят, абсолютно сходится на всей комплексной плоскости. В этом легко убедиться, если к ряду с общим членом !г!"/и! применить признак Даламбера. Для любых двух комплексных чисел и и о имеем (пояснения ниже) + 21 + ' ' ' ) ( + + 21 + ' ' ) ио оо ио ио оо =1+и+ о+ — 1+и.о+1 — + — 1+ — о+и — + 21 21 31 21 21 ы 1 +1 31 +...
=1+(и+о)+ —,(и'-1-2ио-1-о')-1- + — (ио+ зи'о+ зиоо+ оо) +... = 1 31 - +(.+О)+~21"'+'3„'1+...- Р(.+.). (У) гл. к гяды 394 Во втором равенстве мы расположили произведения — — в порядке, который можно усмотреть из рис. 107 и" !' а! !! и воспользовались равенством (3) для абсолютно схо- 4 дящихся рядов.
Полученный при этом ряд, как было до- Х казана з общем случае, аб- солютно сходится. Отдель- 7 ные группы членов сходяще- гося ряда законно объединить у скобками, не нарушая его сходимость. Это и сделано в последующих равенствах. я Мы доказали важное равенство Ми+о)=!р(и) Ф(о) (3) для любых комплексных и н о. О нем еще будет идти речь в 5 9.13. й 9.11, Степенные ряды Ряд нида а,+иге+а,з'+а„г" +..., где аь — постоянные числа, а г — переменная, называется степенным рядом, При этом а„и г могут быть комплексными, мы так и будем считать в дальнейшем, иногда только переходя в область действительного переменного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
