Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Буква е будет обозначать, вообще говоря, комплексное переменное число (точку комплексной плоскости), а буква х— действительное переменное число (точку действительной оси х). В теории степенных рядов центральное место занимает следующая основная теорема. Теорема 1 (основная). Для степенного ряда (1) сущеспгвует неотрицательное число Й, конечное или бесконечное (О ч- й ( оо), обладающее следу!ощими свойствамси 1) Ряд сходится и притом абсолютно в открытом круге комплексной плоскоспш ~ г ! < Д и расходится в точках з с )г~ >Я.
5 Е!1, СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2) Число 11 определяется по формуле 1 !пп ~/1ал1 л->л (2) где в знаменателе стоит верхний предел (см. $ 2.10), Мы позволяем себе при этом считать, что 1 1 — = оо — =О. О ' лл Таким образом, если указанный верхний предел равен О, то Ч = оо, если же он равен оо, то 1с = О. Открытый круг 1г '! < 1г называется кругом сходимости степенного ряда. При !Т=оо он превращается во всю комплексную плоскость. При !с=О степенной ряд имеет только одну точку сходнмости, именно точку г=0; 1с называют радиусом схсдимости ряда (1).
Замеч ание 1. Число 1г, удовлетворяющее утверждению 1) теоремы 1, очевидно, единственно. 3 а м е ч а н и е 2. Если для степенного ряда (1) существует обычный предел Игп 1/ 1 1а„', то он равен верхнему л л пределу 1нп ~/ ~а„!. Поэтому 1 й ! а,!+~а!г1+! а,г'1+ ..
(1') Общий член ряда (1') обозначим через и„=1а„гл! (П=О, 1, 2, ...), Читатель, не ознакомившийся с понятием верхнего предела, может проследить за ходом доказательства теоремы 1, предположив, что для рассматриваемого степенного ряда указанный предел существует. В этом случае всюду в производимых ниже рассуждениях надо заменить 1!и! На !Нп.
Доказательство теоремы 1. Пусть число 1Т определяется по формуле (2). В точке г =О степенной ряд сходится. Будем далее считать, что ~1г'1>О. Наряду с рядом (1) введем второй ряд, составленный из его модулей, гл. з. Ряды ззв Согласно обобщенному признаку Коши сходимости ряда (см. $9А, теорема 3, в)), если 1пп ~I и„< 1, то ряд (1') сходится, а-~ м если же 1пп ~/й> 1, то ряд (1') расходится и прн этом переменная и„неограничена, ио !йп ~/ и„=! пп !/! а„г" ! = 1ип (! г ! ~/( а„~ ) = =!г)1!ш ~/!а„~ Здесь мы вынесли за знак верхнего предела конечное число !г! > О. Из сказанного следует: если ( г! < )г, т. е.
(г!/и' < 1, то ряд (! ') сходится, а вместе с ним сходится и притом абсолютно ряд (1); если же (г! > )с', т. е. )г'р!г > 1, то ряд (1') расходится и его общий член ~а„г" ) неограничен, поэтому общий член ряда (!) а,г" не стремится к нулю прн и — ос н для него не выполняется необходимый признак (см, й 9.!).
Это показывает, что ряд (1) расходится. Итак, мы доказали, что определяемое из равенства (2) число Й обладает следующим свойством: если ~г~ < К, то ряд (1) сходится и притом абсолютно, если же ~г ! > Й, то ряд (1) расходится. Основная теорема доказана. Будем в дальнейшем для краткости обозначать через а, замкнутый круг !г~я" у комплексной плоскости.
Заметим, что степенной ряд сходится на открытом круге !г~ <)х, вообще говоря, неравномерно. Однако верна следукяцая теорема. Теорема 2. Стеленной ряд (1) абсолютно и равномерно сходится на любом круге ор — — (г:~г! <у), еде д < )х, а й — радиус сходимссти ряда (!). Доказательство. В самом деле, пусть а < )г, тогда а есть действительная, т. е. лежащая на оси х точка, принадлежащая открытому кругу сходимостн ряда (1).
Поэтому в этой точке наш степенной ряд абсолютно сходится, т. е. Ф Х !а„д"! < сс. Ф к!ь ствпанныв Ряды С другой стороны, для г ба, имеем ~ а„г" ! н~ ) а„д' ~ (и О, 1, 2, ...), Так как правые части этих неравенств не зависят от г ~ а, и ряд, составленный из правых частей, сходится, то по признаку Вейерштрасса (см.
э 9.8, теорема 1) степенной ряд (1) сходится на о абсолютно и равномерно. Теорема 3, Сумма Б(г)=а,+а;г+а,г'+... степенного ряда есть непрерыгн я функция на его откры- том круге сяодимости ~г~ < г1. В самом деле, члены нашего ряда — непрерывные функ- ции от г, а сам ряд равномерно сходится на круге а, д < )с. Следовательно, по известной теореме из теории равномерно сходящихся рядов (см. $9.8, теорема 2) сумма ряда З(г) есть непрерывная функция на оа, но тогда и на всем круге ~г ~ < Й, потому что д< )с произвольно. Для вычисления радиуса сходнмостн степенного ряда в нашем распоряжении имеется формула (2), но часто на практике при вычислении 1с удобно бывает воспользо- ваться признаком Даламбера.
Пусть существует предел (конечный или бесконечный) (4) который мы пока обозначим через 1/Рг. Тогда (см. (3))  — =Н "' (*(Ы ! ( а~+~ ° ! аа+~га+1 ( 1 а„+1! ! г1 а„а 1ааг 6 Ф а и, согласно признаку Даламбера ($ 9.4, теорема 2), если ~г~ < Кы то ряд (1'), а вместе с ним и ряд (1), сходится, если же !г~ > 1тг, то ~1и„~1- аа н ряд (1) расходится. Но число )с с такими свойствами может быть только единственным, поэтому )1г— - )с (см. теорему 1).
Итак мы доказали, что если существует предел (4), то он равен 11)с Вш ~ — "" ~=-~~Г, (б) где )с — радиус сходимости степенного ряда (1). Заметим, что мы окольным путем доказали, что если предел (4) (конечный или бесконечный) существует, то он равен верхнему пределу 1пп ~/)а„~. гл. к Ряды зза Замечание 3. В нашей учебной литературе обычно начинают изложение теории степенных рядов с теоремы Абеля, которая гласит: Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке г,чьО комплексной плоскости, то он сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге ~г~~д, где о — любое число, удовлетворяющее неравенствам 0 < о < ~ г, ~. Доказательство. Эта теорема теперь уже является следствием из теорем 1 и 2. В самом деле, так как г, есть точка сходимости ряда (1), то 1г,~ ие может быть большим, чем )7.
Поэтому 1г,~<В 0<у<!г,!<Й и о < 7г. Но тогда по теореме 2 степенной ряд (1) сходится на круге 1г~ "д абсолютно и равномерно. Пр имер ы. 1+г+г'+..., (6) 1+++ — '„'+4+... (к>0), (7) 1 1- г -1- 2! г'-1- 3!г' -)- .... (8) С помощью формулы (2) или (5) заключаем, что радиус сходимости рядов (6) и (7) равен 1; для ряда (8) он равен О. Сумма ряда (6) (геометрическая прогрессия) в открытом круге 1г ~ <1 равна (1 — г) ', а остаток ги+г г„(г)= Э ге= — — 0 (и- оо), 1 — г Однако сходимость на указанном круге неравномерна. Неравномерность сходимостн имеет место уже для положительных г =х иа интервале О < х < 1; неравенство к"+' е> —, (9) при любом заданном и нельзя удовлетворить для всех указанных х. Ведь если х взять очень близким к 1, то числитель в правой части будет тоже близок к 1, а знаменатель близок к нулю и дообь в правой части (9) можно, таким образом, сделать большей чем е.
Ряд (7) при сг > 1 равномерно сходится на замкнутом круге 1г ~я~1 его сходимости, так как при )г~ я,",1 ~гя-и~~ й-а и ч~з~й и< оо. $9.!а. диФФВРенциРОВАние степенных РядОВ ззз Если а=1, то в точке г=1, лежащей на границе круга сходимости, ряд (7) расходится. Ряд (8) сходится только в точке г=О, $ й 12. Дифференцирование н интегрирование степенных рядов Теорема 1. Радирсы сходимости степенного ряда а,+а,г+а,г'+... (1) и ряда а,+2а,г+За,г'+..., (2) полученного из него формальным дифференцироеанием, соепадагогп.
3 а м е ч а н и е. Определение непрерывности и производной от функции комплексного переменного !"(г) такое же, как и в случае функции от действительной переменной. Необходимо лишь иметь в виду, что д-окрестность точки га есть открытый круг радиуса 6 с центром в точке г . Исходя из этого определения, производная от степенной функции г' вычисляется по формуле (г")'=пг" '. Доказательство теоремы 1. Будем считать, что Р есть радиус сходнмости ряда (!), а К' — радиус сходи- мости ряда (2), Докажем теорему в предположении, что предел Дт ~/)а„)=— (8) конечный или бесконечный существует.
Имеем следовательно, )г = 11'. В общем случае, когда предел (3) ие существует, имеет место Ига и тогда —,= Нщ «~~й)а«! = Нщ ~~~л Нщ Р«Г!а«(=! — = —, « «« гл. з. ряды Но треоуетск обоснованна второго равенства — надо доказать, что если а„, ря > О н а„— 1, то Изп (ичйя) И!и 6и (4) В самом деле, существует подпсследовательность (ла) чакан, что Йщ ре=пщ Р„а=ив!я„» Ищ Р„а=пи!(и„ай„а) ~ Йщ(и„йя!.
(5) Существует также подпосаедовательность (ля) такая, что Ищ [а„зй,з! Йпз!и,р„)=ищ(оеар„а)= " " =Ищряа~Йщр». (6) Ищ и„з Нз (5! и (б! следует (4). Теорема 2. Степенной ряд !'(г)=а,+а,г+а,г'+... ()г(< Р) (7) законно формально дифференцировать в пределах его (откр того) круга сходимости !г( < )с, т. е. верни формула 7'(г)=аз+ 2а,а+За,г'+...
(!г~ < Р). (8) Дока за тельство. Эту теорему мы докажем только в предположении, что г=х есть действительная переменная, что даст иам возможность свести вопрос к хорошо известному факту из теории действительных рядов. Итак, степенной ряд (7) для действительной переменной имеет вид ((х) =а,+ а!х+ а,х'+... ( — )и < х < )з). (7') Этот ряд теперь уже имеет не круг, а интервал сходимости ( — )с, )с). Соответствующий формально продифференцированный ряд имеет вид ф (х) = а, + 2а,х + За,х'+... (8') Его сумму мы пока обозначили через р (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
