Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Он сходится на интервале ( — )7, )ч) на основании предыдущей теоремы. Оба ряда, как мы знаем, равномерно сходятся на отрезке ( — д, д), где д < зс. При этом члены второго ряда непрерывны и явля!отся производными от соответствующих членов первого. Но тогда иа основании теоремы из теории равномерно сходящихся рядов (см, 5 9.9, теорема 3) выполняется равенство зр (х) = Г (х) (9) » »ЛЬ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 4Я на отрезке( — в, в1, следовательно„и на интервале ( — Р, Я), потому что д < Я произвольно, Отметим, что в силу доказанной теоремы 2 ряд (1) законно почленно дифференцировать сколько угодно раз.
На й-м этапе мы получим равенство р»'(г) = й!а»+ (й+1) й...2а»,,г+..., справедливое для всех г с ~ г ~ < Й. Если положить в нем г О, то получим р'»> (О) й1а» а„—, (й О, 1,2, ...). и >(о) илн Отсюда, в частности, следует, что разложение функции ~(г) в степенной ряд (см, (1)) в некотором круге ~ г ~ < Й (или в интервале 1 — )т < х < Р), если речь идет о функции ~(х) действительного переменного х) единственно.
Таким образом, сумму ) (г) степенного ряда (7), имеющего радиус сходимости Я > О, можно записать еще следующим образом: )(г)-1(0)+ — „г+ — „'г»+... =ч' —,, г». (10) р(о) у" (о), " )<м(о) »=о Ряд справа в (10) называется рядом Тейлора функции )'(г) по степеням г. Мы получили, что если степенной ряд (1) имеет радиус сходимости )г' > О, то он является рядом Тейлора своей суммы )'(г). Воброс о почленном интегрировании степенных рядов во всей его полноте потребовал бы введения криволинейного интеграла от функции комплексного переменного. Мы ограничимся рассмотрением этого Вопроса только для степенных рядов 1(х) =а,+а,х+а,х'+...
(1 ') от действительной переменной х (г = х). Зададим степенной ряд (11), имеющий интервал сходимости ( — )т, 11), где 0 < )г ~ оо. Числа а» могут быть действительными и'комплексными. Зададим фиксированную точку х»Е( — )т, )т) и переменную точку хб( — Я, )с) и подберем д > О так, чтобы — )г < — у <к», к<у< Й.
ГЛ. 2. РЯДЫ Степенной ряд (11) равномерно сходится на отрезке 1 — 01, 011, находящемся строго внутри интервала сходи- мости ряда, и, следовательно, его можно почленно интегрировать (см, $9.9, теорема 2) от х, до «1 « 1(!)012=п0(х — «0)++~«' — хЗ)+ — 2(х' — х',)+... (12) «0 (Я<« «0<я). В частности, при «,=0 получим « '~~(1)(1- ° +$ *+в '+ " ( — Я<«<в) (ДЗ) о Пример 1. Очевидно, что ] !2 ! 10 10 1„ 1 1+12 Этот ряд сходится на интервале( — 1, 1) (11 1). Поэтому, если х~( — 1, 1), то законно почленное интегрирование этого ряда от нуля до х (ряд равномерно сходится на любом отрезке, принадлежащем к интервалу сходимости): « Ф «2 «0 1+12 — =агс(их х — -+ — -+...
( — 1 < х < 1). 3 5 7 Полученный ряд сходится и при х=+ 1 (как ряд Лейб- ница). Можно доказать, что он сходится к агс!91 ° я/4, я ! 1 ! т. е. 4 1 — з+-6 — +... (см. далее 5 9.14, с. 409). Пример 2. Ряд Тейлора для функции а ' имеет вид (см, $ 4.16) 2 10 10 Е ' =1 — !2+- — —,+..., З! З! причем для него К оо. Поэтому этот ряд можно почленно интегрироватщ « «2 «' «' З 2 ДГ=Х вЂ” — + — — -1-...
з з з! т з! о т. е. мы получили выражение интеграла Пуассона через степенной ряд. 4 влв диеевввнциговлнив ствпвнных гядов 453 Пример 3. Ряд Тейлора функции у 31пх имеет зид (см. й 4.16) хх х' з)пх х — — + —,—,... 3~ 5~ Ои сходится на всей оси. Отсюда прн хФО имеем зых хз х' хх — =1 — + — — + х 3! 5! 7! (14) Считая; что — ~ 1, получаем, что равенство (14) з!и х1 х ~х=О верно и при х О. Ряд(14) равномерно сходится на любом конечном интервале действительной оси, Интегрируя этот степенной ряд, получаем: х з~п 7 хх хб х1 — о'1= х — — + — — +...
3 3! 5 И . 7 7! Пример 4. Ряд Тейлора для функции у=созх' имеет впд (см. ф 4.16) хх хв хм созх'=1 — + — — + Я 4! 5! Ои сходится на ( — со, ао). Интегрируя этот степенной ряд, получим интеграл Френеля х' хм 5 31 + З.а 13.а + о Пример 6. Так как ( зЬх,, если п=2К (зп х)оо = ( ( сЬхх если п=23+1, то ! О, если п = 2/гх (,1„).
хзз 1 1, если п=2я+1,- поэтому ряд Тейлора функции Йх запишется так: хх хх + з! + ь~ + ' (16) Так как этот степенной ряд сходится на всей действительной оси (применить признак Дзламбера)„то можно его гл, к гиды почленно дифференцнроваты хЕ хх с)1х — 1+2) + — + (16) (ряд справа в (16) равномерно сходится на любом конеч- ном интервале). й. 9.13. Функции е*, з!пл, созл от комплексного переменного хе хз е" = 1 +х +у+3! + .
° ., х' х4 з)ох х — + —... 3! 5! хе хе созх=1 — — +- —... 2! 4! сходящиеся на ( — оо, оо). Это есть ряды Тейлора этих функций по степеням х, В 4 5.3 было дано определение функции е'", где х— действительная переменная, посредством формулы Эйлера егх = сов х+ ! гбп х. (2) Подставим в правую часть(2) вместо сов х и 3!и х их степенные ряды, тогда получим разложение е!" по степеням х х~ х . / х' х~ е' =! 1 — — + — —...)+1( — — + —...)= 2! 4! ' ' ' ) (, 3! 5! !х (!хР бх!х =1+ — + — + — +...
!! 2! У Функпию е' для любого комплексного г =х+ !у естественно определить следующим образом: е' = е" +!е = е"е'". Отсюда =(1+ —,", +$+ ".) (1+-',", + — ","'+...) = 'х хе хх 1+ — + — + —,+ 1! 2! 3! Функции е", з(п х, соз х от действительной переменной х определены на всей действительной оси ( — оо < х ( оо). Из 2 4.16 мы знаем, что этн функции разлагаются в степенные ряды: $9.вг. ФУНКЦИИ ее, в!па, вава ОТ КОМПЛЕКСНОГО а 4св Во втором равенстве мы воспользовались свойством (перемножение абсолютно сходящихся рядов), которое было уже выведено ранее (см. 2 9.10, (7)).
!')ы получили, что функция е' от комплексного перемен ного г разлагается в степенной ряд по степеням г га га ее=1+ — + — + — +..., !! 2! 3! сходящийся к ней на всей комплексной плоскости. Ряд (3) есть ряд Тейлора функции еа по степеням г. Радиус сходимости ряда (3) )с=оо, и уже из общих свойств степенных рядов (см. 2 9.10) следует, что ряд (3) абсолютно сходится для любого комплексного г„при этом он равномерно сходится (к ев) на круге )г):~в) как бы ни было велико положительное число Ф Функции созг и з!пг от комплексной переменкой г естественно определить как суммы следующих степенных рядов: га созг=1 — + —... 2! 4! з!пг=г — — + —...
3! И Оба зти ряда имеют радиус сходимостн гг оо и, таким образом, обе соответствующие функции определены для лвобого комплексного г. Легко проверяется сравнением соответствующих степенных рядов, что ев*+е ва созе= 2 (4) для любого комплексного г. Теперь, пользуясь свойствами показательной функции е" (от комплексного и), легко получаем формулы соз (и+ о) = соз и. соз о — ып и ып о, ып(и+о)=ыпи созо+сози за о, верные для любых комплексных и и о. Этн формулы, таким образом, обобщают хорошо известные формулы тригонометрии, где считалось, что и и о — действительные переменные.
Отметим, что функции ыпг н созг в комплексной плоскости обладают не всеми свойствами обычных функций ыпх и созх. В частности, эти функции неограничены на комплексной плоскости, гл. в. »яды В силу (4) прн действительном х е-к -1-ек соэ ех= =сИ х- оое 2 е-к ек з!и !х= —. = ! зИх- оо, ги х оое (5) х оо. (6) Формулы (5) н (6), между прочим, устанавливают связь между «комплексной тригонометрией» и «гиперболической тригоиометриейм Функция г= 1пгэ от комплексной переменной не определяется как обратная функция к функции ш е'. Р) Если записать шчьО в показательной форме ш=регв (р=!ш!>О), то равенство (7) запишется в виде ре!в е"е'е (3 = х+ !и) е откуда р=е", О-.у — 2яи, т.
е. х=1пр, р=О+2йп (А=О, ~1, ~-2, ...). Поэтому г=1пее=х+!д=!пр+!(О+2йп)=!п)в!+! Агдгэ= 1п~ее)+(агнш+!2йп (А=О, ~1, ~2, ...)е (8) где 1и!в! (!ш! > 0) понимается в обычном смысле, Из (8) видно, что 1пи (в~О) есть многозначная функция от ие вместе с Агйш, независимо от того, будет ли ш действительным или комплексным. Например, с точки зрения этой теории (функций комплексного переменного) !п 1 равен одному нз чисел 2йп! (/г= О, И 1, ~ 2, ...), В действительном анализе для выражения 1п 1 выбирается среди этих чисел единственное действительное число О. Но мы не будем углубляться дзльше в теорию функций комплексного переменного — это не наша задача.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
