Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 58
Текст из файла (страница 58)
з е,е. елвноме нля сходимость Изобразим в прямоугольной системе координат график функции у=)(х) (предельной функции), которую мы считаем непрерывной на отрезке (а, Ь! (рис. !03). Зададим е > О и определим е-полоску толщиной 2е, окружающую график. Произвольная точка е-полоски с абсциссой х Е (а, Ь| имеет ординату у, удовлетворяющую неравенствам > (х) — е ( у ( > (х) + е. Если последовательность функций «Г„(х)) стремится к ~(х) равномерно на (а, Ь), то по заданному е > О можно указать такое У„что для любого и » У график у=>„(х) „окажется внутри е-полоски. У Ге> ':Если же 1„(х) стремится к г" (х) неравномерно на (а, Ь), то, хотя для каждого значения х Г„(х) стремится к )(х), все же Уе > О невозможно указать такое Ф, чтобы для каждого и > И все графики у.=(, (х) попали в е-полоску (см.
ниже пример 3). Нетрудно видеть, что ес- Рис, !ез, ли а — число, а «)„(х)) и «ч>е(х)) — две последовательности функций, равномерно сходящиеся на Е, то последовательности «аг' (х)) и «г„(х) ~- >ре(х)) также равномерно сходятся на Е. Нетрудно также видеть, что если последовательность функций равномерно сходится' на Е, то она равномерно сходится и на Е'~Е, Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Заметим, что каждой последовательности функций «Д„(х)) соответствует рял /,(х)+««,(х) — г,(х)«+[г,(х) — г>(х)1+..., и-е частичные суммы которого соответственно равны Г", (х). Пусть теперь задан ряд ;> и,(х)+и;(х)+и,(х)+..., (б) члены которого, вообще говоря, комплексные функции от х Е Е, где Š— по-прежнему некоторое множество точек и-мерного пространства или комплексной плоскости. гл.
е, ряды По определению ряд (5) равномерно сходится на множестве Е к функции Я (х), если последовательность (Я (х)) его частичных сумм равномерно сходится на Е к Я(х). В частности, определение равномерной сходнмости ряда, очевидна, можно высказать так~ ряд (5) равномерно сходятся на множестве Е, если для любого е>0 найдется такое Ж, что для и> Ф и р>0 н всякого хЕЕ выполняется неравенство ! и +, (х) +...
+ и„+ (х) ~ < е. Следующая теорема дает важный крнтернй равномерной сходимости ряда. Те ерема 1 (Вейе р штрасса). Если члены ряда (5) удовлетворяют неравенствам ~иь(х)~~(ав (я=О, 1, ...), (6) где хЕЕ, а а„— числа (не зависящие от х), и если ряд с членами ае сходится, то ряд (5) сходится на множестве Е абсолютно и равномерно. В самом деле, из сходнмости ряда с членами ае н нз (6) следует, что для любого е > 0 найдется такое й(, что прн любых и > 1ч' и р > 0 н произвольном хЕ Е в ' и„+г+ ° ° ° +ие+рР» ~~(на+в(х)!+ "-+1ии+р(х)(~~!и»+1 (х)+ "-+ин+р(х) ~. а зто и значит, что ряд (5) равномерно сходится на Е. Абсолютная его сходимость очевндна. Т е о р е м а 2, Если последовательность функций (г'„(х) 1 равномерно сходится на множестве Е к функции Г' и 7'„ непрерывны в точке х' (относительно Е), то г также непрерывна в хо На языке рядов зта теорема гласит' сумма равномерно сходящегося на Е ряда функций, непрерывных в точке х'ЕЕ, есть непрерывная функция в этой точке').
Доказательство. Зададим е>0 н подберем натуральное р7 так, чтобы ~ ( (х) — (и (х) ~ < в(3 для всех х ~ Е, что в силу равномерной сходимостн г„к г возьцикно. Имеем, далее, [1(х) — 1(х') ! < ~г (х) — ~м(х) ~+ ~~и(х) — ~н(х') ~+ + ~ Ррг(х') — 7 (х') ~ < -~-+ ~)н (х) — ~н (х') ~ (7) е) См. звмечание и $ вд2. Э ЭЭ РЛВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ для любой точки х Р Е, Но функция [л непрерывна в х',, и можно указать такое б ) О, что ~ ~,р (х) — [д, (х') ~ < е/3 для всех х~Е таких, что ~х — х'~ <б*, поэтому из (7) следует, что для таких х у()-[( И <7+ ~ =" и теорема доказана. Пример 1, Ряд 1+(х — 1)+(х' — х)+(х' — х')+ ..
(8) сходится на отрезке [О, Ц, ио неравномерно. На отрезке [О, д1, где 0 < э < 1, он сходится равномерно. В самом деле, и-я частичная сумма ряда (8) О,О<х<1, с (х) хи х= 1. Абсолютная величина разности 5(х) — Я„(х) (остатка ряда) равна х", О < х < 1, ~8(х)-~.
(хН=~ 0 -,, (8) На отрезке [О, д1, где 0 < д < 1, 15 (х) — 5„(х) ) = х" . д". Правая часть этого неравенства не зависит от хб [О, д) и стремится к нулю при а- со(д'- 0). Это показывает„ что ряд (8) равномерно сяодится на отрезке [О, д1, где О <д<1.
С другой стороны, нз равенства (9) видно, что зпр 15(х) — Я„(х)1=1. ХА[0, Ы Тййим образом, число ! есть самое малое число превышающее ~ 8(х) — Е„(х) ! для всех х~ [О, Ц. Но постоянное число 1 ие стремится к нулю прн и со, поэтому ряд (8) хотя и сходится на [О, Ц, но неравномерно. Пример 2, Ряд э1п х мп ах эгп Зх ~Э + ЯЗ + ЯЗ + ' ГЛ. 9. РЯДЫ имеет и-й член, удовлетворяющий неравенству и нри этом ряд '1т 1 «-1 сходится, Поэтому по теореме Вейерштрасса ряд (10) равномерно сходится на всей оси ( — оо, оо). Так как члены ряда (10) суть непрерывные функции, то по теореме 2 сумма этого ряда есть непрерывная функция. Пример 3. На рнс. 104 изображена функция /„(х) (и = 1, 2, ...). Оиа линейна на каждом из отрезков 1О, 1/а), 11/и, 2/п1, [2/а, Ц в отдельности, Кроме того„ /„(0)=/(2/и) =0 и /„(х)=0 на !2/и, Ц, /,(!/л)=1, Очевидно, 1пп /„(х) = /(х) = 0 'У/х ~ 10, Ц, потому что / (О) =0 О, а если 0 (х~1, то/„(х) =Оа/а > 2/х.
Далее, очевидно, что зпр (/„(х) — /(х) ~ = «110, 11 зпр /„(х) = 1, аа11, 11 Рис. !04. и при этом постоянное число 1 не стремится к нулю при а- оо, т. е. /„(х) /(х)к—а .0 на (О, Ц, но неравномерно. На рис. 104 пунктиром изображена а-полоска, окружаюшая предельнуюкривую/(х)=0(0(х<1).Прилюбом п график функпии /„(х) не попадает весь в к-полоску. Это не мешает тому, что /„(х) — /(х)=0 1гхб(0, Ц. Приведем еще более тонкие признаки равномерной слоднмостн рядов, основаннме на применении к ряду так иааываемого яраобрааоаания Абеля (аналога операпии интегрирования по частям). Рассмотрим ряд саара+ мгр1+ саара+ ° где аа, йа — функции от 1~Е (илн постоянные числа). Положим па= ба 11+она+а+ ° ° +ба+а и к усеченной сумме ряда (11) 4 о.е.
РАВНОмВРВАЯ сходимость применим преобразование Абеля.' и ап+ав +а ап+! () +!+ ° ° ° +ап+рв +р ь ! =а„+Т В!+а„+к (Вьь-ВС)+... +ап+р (Вр Вр„т) *гь (ап+ -ан+ь) Вг+(а„+е-а„+е) В,+...+( „+р ! — „+р)ВР т+ о ! +а„+ Вр . -~~~,' (ап+а сс„+а+1) Ва+апьрВ „(12) ь=! Теперь легко установить следующие два критерия равномерной сходнмости (в случае постоянных аю Ца-просто сходимости) ряда (11). Теорема 3 (признак Дирихле равномерной сход и мости ряда). Если частичньи суммы ряда В.+В,+3,+...
(13) ограничены в совокупности, а действительная функция ссг, (х) (е ахь растанием Й) равномерно (относительно х) на Е стремшпся к нули, убьмая, то ряд (1!) сходится равномерно. В самом деле, пусть константа М превышает модули частных (частичиых) сумм о„ряда (13). Тогда прн любых и и А (Ва(=(о„+ь — ап(~(оп+а(+(а„(а 2М. Поэтому в силу (12) и того факта, что ае равномерно стремится к нулю убывая, выполняется неравенство р р-! ! ~~~Р а„+я ()ь+» ~ ~2М ~~~~ (а„+а — а„+а+!)+а„+р 2М =2Ма„+! < Ь ! ь=! для любых п > ДГ я р н любых х~в, если только ДС достаточно велико. Следовательно, ряд (11) равномерно сходится.
Последнее неравенство в втой цепи верно для всех хаев в силу равномерного стремления ап+т(х) к нулю. Теорема 4 (признак Абеля равномерной сходни о с т и р я д а). Если дейспиипыльньм функции а» не возрастают (с возрастанием Ф) и ограничены в совокупности, а ряд (13) равномерно сходится на Е, то и ряд (П) сходится равномерно на Е. В самом деле, пусть М3ь)аа) (Й=О, 1, ...) (функцнн сс» могут быть и отрнцательнымн!). В силу равномерной сходнмостн ряда (!3) для любого е > О можно указать такое Л', что ) Вь) < е лля любых п > Ф и й.
Поэтому в силу (12) и монотонности ав для любых и > гг' н р ! р р-! ~ а„+а()л+а ~е чь (ил+а-ал+аь!)+е(апьр( ! = е (а„+ ! — ил+ р) + е ( ап+ р ( л~ ЗеМ, т. е, ряд (11) равномерно сходится. Пример 4, Ряды (14) 13 Я, С. Бугров, С. М. Никольский Гл. в. Ряды Зйй при сс > 1 равномерно и абсолютно сходятся на всей действительной оси ( — оь < х < сь), потому что абсолютные величины их Ь-х членов не нреаышают Ь-о, а при и > 1 ряд ~а Ь-" сходится. Мы приме. яилн признак Вейерштрасса.
Прн а~1 он уже не применим, так как вэтом случае рад ~„д-о расходится. Однако при О < ил"„! паши ряды равномерно сходятся на отрезке (е, 2п — е), наково бы аи бьшо з > О, где О < а < и. В самом деле, частные суммы рядов 1 -ли+сов т+ сов 2х+ сов Зх+, „, знг х+ з!п 2х+... соответственно равны вгп (л+ — ) х !г„( ), К„(х) = 2мп— 2 х 2 е1п— 2 (л = 1, 2, ...).
(1й) В этом можно убедиться, если частные суммы рассматриваемых рядов умножить и разделить иа 2згп (х/2) и в числителе произвести соответствующие тригонометрические преобразования. Фуиинии (1й) ограничены в совокупности на (е, 2п — е) 1 г)„ (х) 1 ~ У вЂ” — 2-, 1 Кл (х) 1 ~ — их- (и 1, 2, ...); 1 ! кроме того, л-" ~ (л+ 1) -и и л-" - О, поэтому по признаку Днрихле ряды (14) равномерно сходятся на [е, 2л — е). 9 9.9.
Интегрирование н дифференцирование равномерно сходящихся рядов Теорема 1. Пусть на отрезке [а, Ь) задана последовательнсспгь ()„(х) ) (комплекснозначньгх) непрерывных функций, сходящаяся к функции у. Боли сходимость равнсь мерна на [а, Ь~, то 1ип ~ !'„(!) Ю = ~ !" (!) г(ь (1) и оа и равномерно на [а, Ь). В частности (при х=Ь), ь ь 1гт $ у„(!)аг! ~ у(!)г(!. (2) л +Фл и Доказательство.' Из условий теоремы следует (см. 2 9.8, теорема 2), что предельная функция у непрерывна иа [а, Ь1 и тах )~„(!) — у(!))=г„- 0 (п- оо).
а<ась $9.9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ 3$7 Поэтому ! х к х В У„ЯДТ вЂ” У(Г) Д) ~(~11„Я вЂ” 1 Я ~Д(-.4~Г„ДГ=(Ь вЂ” а)г„, а » а » где правая часть ие зависит от х и стремится к нулю ери и- оо, а зто доказывает теорему. Теорема 2. Равномерно сходящийся на отрезке (а, Ь] ряд (компвекснозначных) непрерывных функций 5 (х) = и, (х) + и, (х) + и; (х) +... (3) махсно почвенно интегрировтпь (а -.х,(Ь)1 ~ 5 (Г) й = ~ и, (Г)ДГ+ (Зи, (1) й+ ..
(4) «в Полученный при етом ряд (4) равномерно сходится на (а, Ь]. В частности, ь в к ~ 5 (Г) й = ~ и, Р) й+ ~ и, (() ДГ+,. (3) Доказательство. Заметим, что 5(х), как сумма равномерно сходящегося на отрезке (а, Ь] ряда непрерывных функций, есть в свою очередь непрерывная функция на ~а, Ь]. Пусть и 5„(х) = «', и (х). Так как ряд (3) равномерно сходится к 5(х), то зпр ) 5„(х) — 5(х) ~ =- е„- О (и — оо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
