Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Сделаем только замечание по поводу формулы к» хе 1п(1+х)=х — — + — —... ( — 1 <х(1). 3 9.Ы. РЯДЫ В ПРИВЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ 4О7 которая была выведена в Э 4.16 для действительных х. Если подставить в ряд в правой части вместо х комплексноегс !в~<1, то ряд останется сходящимся. Можно сказать, что его сумма равна !п(1+г), так как мы его определили выше, точнее, равна одной из однозначных ветвей многозначной функции 1п (1+ г).
Функции комплексного переменного, разлагающиеся в степенные ряды (ряды Тейлора), называются аналитиеескилги функциялги, Они изучаются в разделе математики, называемом теорией аналитических функций нли теорией функций комплексного переменного '). Наконец отметим, что если в степенном раде по степеням и а,+а,и+а,и'+ .. с кругом сходимостн ~ и! < Й положить и=г — га, где г,— фиксированное число (вообще говоря„комплексное), то получим ряд а, +а, (г — г,)+а, (г — г,)'+..., называемый степеннылг рядом по степеням г — г„. Он сходится в круге (сходимости) ! г — ге~ < )с н рас ходится для г, удовлетворяющих неравенству ~ г — г, ~ > 1! й 9.14.
Ряды в приближенных вычислениях В атом параграфе мы будем заниматься приближенным вычислением значений элементарных функций. Простейшая элементарная функция — это многочлен Р„(х)=а,+а,х+... +а„х", Вычисление этой функции при х=х, сводится к производству конечного числа сложений и умножений. Значение этой функции в точке х, может быть легко найдено с любой степенью точности. Если использовать ЭВМ (электронную вычислительную машину), то это можно сделать весьма быстро.
Г) См. вашу кннгу еднфференцаальные урааненна. Рады. Кратвые ннтегралы. Функции комплексного переменного». гл а, еяды 408 Другие элементарные функции, такие как з)п х, агс1цх, ..., как мы показали выше, разлагаются в ряд Тейлора по степеням х. Погрешность, которую мы допускаем при замене функции (суммы ряда), на многочлен Тейлора, можно узнать, оценивая остаточный член ряда. Рассмотрим степенной ряд ~(х) с„+с,х+с,х'+... ( — )а < х< Й) (1) с интервалом сходимости (-)с, 1а).
Строго внутри интервала сходимости он сходится к 1(х) со скоростью убываю. щей геометрической прогрессии, В самом деле, пусть а, и д — произвольные числа, удовлетворяющие неравенствам 0 < да < д < )т. Тогда ряд (1) сходится в точке х=д и его члены образуют ограниченную последовательность ()с„а» 1< М, аеи). Поэтому для всех х Е~ — ЮиЧа) 1с„х" 1= $ с„д" ( — ) $ = М ( — "а ) где да/д <1. Мы видим, что степеинйм рядом выгодно пользоваться для вычисления значений функции 1(х) в точках, лежащих строго внутри интервала сходимости.
Если же точка х есть один из концов интервала ( — )с, )т), то в этой точке, если ряд и сходится, то медленнее, чем убывающая геометрическая прогрессия. Обычно настолько медленнее, что нецелесообразно пользоваться непосредственно степеннйм рядом (1) для вычисления значения 1 в указанной концевой точке, Ниже мы проил. люстрируем эти факты на конкретных примерах. Йачнем с вычисления числа и.
В 4 9.12 в примере 1 показано, что ха х' агс1цх=х — — + — —... ( — 1<х<1). (2) 3 В точке х=! этот ряд также сходится. Докажем, что он сходится именно к агс(ц!=п/4. В й 9.12 этот факт мы не доказывали. Рассмотрим тождество 1 а ха" +а 11. а' ха+ха +( 1)ахах+( 1)а+а 1+ха ' $ Э,!4, РЯДЫ В ПРИБЛИЖВННЫХ ВЫЧНСЛВНИЯХ Вез Интегрируя зто тождество на 10, Ц имеем ! ! ! Π— '*, -. О ~--"-Р.-)~~*И ..-Н вЂ” ~!)"*"и И !+ к' о о Р кои+о 1 1 1 + ( — 1)ло о — 4(Х = 1 — — + — —... -1- ( — 1)л — + Ох ,) 1-1-ко 3 5 ' ' ' 2л-1-1 О где ! Р КоиИО а =( 1)л+!" 4(Х !+к' О Легко видеть, что )ОО ) ~ ХОи+44(Х= — 0 а — оа.
1 л 2л+3 Отсюда следует, что ! и агс!я 1 — Р— 0 а- оо ч-и ( — ])О ~ и+! Э !=о т. е. агс(а'1 является суммой ряда п чл ( — 1)О агс(н 1 = — =,ои— 4 ~ ° 2В+1 о=о илн Ф 2л+ 1 (3) Ф О=ли! Отсюда видно, что при пл 2 10', ()с„(<!О '. Таким образом, нужно взять два миллиона слагаемых ряда (3), Мы видим, что этот ряд сходится медленнее любой убывающей геометрической прогрессии.
Для того чтобы вычислить число н с помощью ряда (3), с точностью до 10-", надо взять столько слагаемых ряда (3)„чтобы остаток был меиыпе 10 '. Так как ряд (3) есть ряд Лейбница, то его остаток меньше модуля первого его члена 410 гл. о. гяды чтобы гарантировать значение числа и с требуемой точ костью. Вручную такую работу выполнять бессмысленно, На ЗВМ эту работу можно выполнить, но и на ЭВМ эта работа будет не производительной, если мы будем пользоваться рядом (3).
Укажем ряд более быстро сходящийся к числу и. С этой целью рассмотрим число а такое, что !д я = — 1!5. Тогда 2!як 2!б б !д 2(э=в ! — 129 с( 1 — 1123 12 ' 2!а 2а 120 1 — 12'2и 119 ' 9(') !и4сс — !2(к)4) 1 4,! 1-)- !(( 4(х 12 09!4) 239 ' Огсюда 4со — 4 — — агс( д (1/239), н — 15(х —. 4 агс(д (! /239) = 16 агс19 (1/5) — 4 а ге(д (11239). Используя теперь ряд (2), получаем ( — 1)' 4 ~9 ( — 1)' С, Ф~ ) ~ )(9~~)~99 о=о А=О причем первые пять десятичных знаков точные.
Вычисление логарифмов. Ряд Тейлора для функции д=1п(1+х) можно получить, интегрируя тожде- ство — =1 — х+х' — х'+... ((х( < 1), ! 1+х Г ((х хО х9 49 1п (! + х) = ) — = х — — -1- — — '+.... ,)1+х 2 3 4 о (4) Последние два ряда сходятся довольно быстро (быстрее убывающей геометрической прогрессии). Легко проверить, что остаток первого ряда уже при а=4 меньше 1О '. Поэтому, вычисляя четыре слагаемых первого ряда н два слагаемых второго ряда (с точностью до седьмого знака), в результате получим и ж 3,141592, гиды в пгивлижвг!ныл вычислвнияк 4!! При х=1 данный ряд сходится и притом к !п2, В самом деле, интегрируя тождество хи+ 1' — х+хх +( 1)ххх+( 1)х+1 !+Х !+х по (О, 11, получаем ! ! ! 1п 2 = 1 — — + —...
+ ( — ! ) — + (1„, 2 3 ''' х+! где ! 1 ~ Г„Х+1 !'!1 ~= ) — !(Х ()) Х"+1ИХ= — — О, П- со. ° — 1 + -1 ' —.+2 1о о Ряд (4) при х=1, так же как и ряд (3), сходится медленно. Заменяя в (4) х на — х, получаем ха 1п (1 — х) = — ~' —. (6) Вычитая (5) из (4), имеем 1и — = 2 ~ч',— !+х ХЯХ+1 ! — х 21+1 к=а (6) Это равенство и используется для вычисления логарифмов от натуральиых чисел.
Например, полагая х= 1(3, получаем ! 1п 2=2~: „„~ ц„„„, (7) !=О где ряд справа сходится даже быстрее геометрической прогрессии. Для вычисления 1п2 с точностью до 1О ' достаточно взять пять слагаемых ряда (7): !п2 ж 0,693146 ! х 1 вт+! 1 (каждое слагаемое ряда вычисляем с шестью знаками после запятой).
Вообще, полагая Гл. к Ряды т — натуральное число, получим !+х в+1 1 — к и Ф !п(л!+1)=!пя 2 1 9(29+1) (2Я+1)999х (8) или Нахождение чисел 25 и 49 можно производить так: выписываем квадраты натуральных чисел 1,4,9,16,25,36;49,64, ..., (1 1) затем выписываем ряд чисел, получаемых из (11) умножением иа подкоренное выражение, в данном случае на два: 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, .... (12) В строках (11) н (12) ищем числа таким образом, чтобы их отношение было близким к единице. Среди выписанных чисел зто и будут числа 49 и 50=2 25.
Если зги строки продолжить, то можно найти еще близкие числа 289 и 288, т. е. /2.144.288 1Т /288 17 / 1 )-М9 9 144 288 12 У 289 !2( +БЦ Полагая последовательно и = 2, 3, ..., найдем !п3, 1п4, ... . Ряд справа в (8) сходится очень быстро. Вычислен не корней. Ряд Тейлора для функции ~(к) =(!+к)" мы получили в $ 4.16: (1+к)~ = 1+~ ( ';.'( к".
(9) А=! Ряд (9) называют бииомиальным. Известно, что ряд (9) при к=~ 1 ие всегда сходится, а если сходится, то медленно. Поэтому, если, например, надо вычислить )/ 2, то ие рационально воспользоваться формулой (9) при к= 1, о,=1(2.
Но вот как можяо поступить. Обычно преобразуют подкоренное выражение так, чтобы оно мало отличалось от единицы: 1 9.!4. РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЪ1Х ВЫЧИСЛЕНИЯХ 413 Теперь уже можно использовать ряд (9). Например, в сиду (13), при х= 1/288 получаем рг2 17 2 2/ 2 ''' 2 1( З1~ 8) 1 (14) 12 ы 288" е о Ряд справа в (14) сходится очень быстра Кроме того, он знакочередующийся, т. е. остаток ряда меньше модуля первого члена этого остатка. Запишем ряд (14) в развернутом виде:.
Третий член ряда (15) меньше 8 10-' < !О !, поэтому Р 2 ж — 2 (! — — ) = 1,414207... с точными четырьмя знаками. Отметим, что вычисление ~' 2, исходя из (1О), очень удобно, так как в знаменателе мы сразу получаем сте- пени 10. Если взять три первых слагаемых этого ряда, то 1Г2ж!,41421. Пример 1. Вычислить ~~'5 с точностью до 0,01. Выпишем кубы натуральных чисел 1, 8, 27, Б4, 125, 21Б, и ряд этих чисел, умноженных на 5, 5, 40, 135, 320, 525, 1080, ....
Отсюда '5- 1 ~.уд = В (" 26) з ('+Ю) 8 1 8 2 8~ 2 8 8~ 3 ( 3 1О' 3~ 2110~ зюз! 10~ третий член ряда зз 10» ( 0 01~ 3 8Р поэтому = З ~ + 00~1= ' с точностью до 0,01. гл,о. гиды ф 9.16. Понятие кратного ряда Выражение ,Х,Хпо„ где а„— числа (действительные или комплексные), зависящие от пар индексов й, 1=0, 1, 2, „называется двойным или двукратным рядом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
