Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Числа а, и называются членами ряда, а числа Я„„= Х Ха„ о=о !=о (2) частичными (частными) суммами ряда (1). Пары целых неотрицательных индекРяы 108. сов (й, 1) можно рассматривать как точки плоскости с целыми неотрицательными координатами. Тогда в частную сумму 5 „входят члены ряда (1) с индексами Ф, 1, соответствующйми точкам (й, 1) прямоугольника [О <Ф<т, 0<1<и) (рис. 108). В силу этого частичные суммы 5 „называют еще прямоугольными частичными суммами ряда (1). Количество членов ряда (1) в 3 „будет У=(т+1)(п+1).
По определению ряд (1) сходится по прямоуеольникам к числу 3, называемому суммой ряда (1), если существует Ищ 3„=5, (3) т. е. если для любого е > 0 найдется такое число Уо (е), что /Б „— 51<е для всех т, и > Уо(е). В этом случае пишут й 8= Х Ха„ Остановимся на случае, когда члены ряда (1) — 'неотрицательные числа (а„, ~~ О).
Положим Л = ецр Я,„„. (4) Если Л < со †конечн число, то для любого е > О найдется пара т„ и, такая, что Л вЂ” е < Ям„,<Л, а о еле. понятии кгктного гядк вследствие неотрицательности аы 5, (8 „т, п) М,=шах(т„п,). Поэтому Л вЂ” е < 3„„< Л + е, т, и ) Л'„и существует предел 1пп 5 „=Л. Если же Л = оо, то, очевидно (прн ам~~01), 11ш 5„„= = Л=оо. В этом случае пишут З ~~Г ~~' а„,=со, о=о о=о Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится (по прямоугольникам) ряд Х Х)а„~.
Как и в случае обычных рядов, доказывается, что абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство базируется на критерии Коши: для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О существовало число ГЕ(е) такое, что )5 „— 5е 1<е, каковы бы ни были т, и, р, д > Ф(е).
Обоснование критерия Коши производится так же, как н в случае обычных однократных рядов. Наряду с рядом (1) можно рассматривать еще выражение которому естественно приписать число А (если только оно существует), получаемое следующим образом: если для каждого я=О, 1, ... ряд, заключенный в скобки, сходится ~О и имеет сумму Ао и ряд Х А„сходится к числу А, то о=о полагаем А = ~ А = Х ~~'. аы ° Гл. 9. РЯДЫ Теорема 1. Если ряд (1) абсолютно сходится, то имеет место равенство аида/а Х Хао = Х( Хао о о !=о о=о,г=о (6) Доказательство. Допустим сначала, что аы не- отрицательны.
Пусть левая часть (6) равна числу Ь'. Для любых неотрицательных з и п при з(т е П$ Л (у) откуда ряды Х а„(е=О, 1, ...) сходятся; поэтому, если о=о во втором неравенстве в (7) зафиксировать гп и перейти к пределу при и — со, получим, что Х Хаы <Я т л и потому 8=зцрВ „~А. Равенство (6) при ао,~~О доказано. Пусть теперь аы — действительные произвольные числа. Положим а оо (аоо=-О), / — аое (по~~О), 0 (а,<0), о' ( 0 (а„,>0).
Тогда аы — — ао' — а,-ь !аы ! =ай+ори Поэтому из сходимости ряда ~ч~~ч'„)ао,) следует сходимость рядов ~ч~~„а„'ы ~~ ао1 с неотрицательными члеиамн для любого т, откуда следует существование числа А (см. (5)1 и тот факт, что А~Я. С другой стороны, если число А конечно, то при любых т, и 5 9.М. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА н потому , ~чд, 'аА! — — ~яд»' аА! — ~~ ор! = = ~ (Х аА!) — Х (Х аА!) - Х (Х аы) .
Наконец, если оА! —— !хэ!+ФА! — комплексные числа и ~ ЕХ яд ~~~~ , '', ! аь! ~ сходится, то сходятся также ряды ~ч д~, ~ аА! ~, ЯДА!~, где с!А! и рА! — действительные числа; поэтому ~ч~~Я~ ~аА! =,Д,"аА!+ ! ~Д~))А! -Х Я „)+1Х (Х))„) =Х Я „) . Теорема доказана полностью. Пример 1. Исследовать, при каких а>0 сходится двойной ряд Ю Ю ~ (й 1 1)-а А-! ! Решение. В силу теоремы 1 исследование можно свести к сходимости обычных (однократных) рядов а 60 ~я~,'(й+ 1)-' А„и,."„, 'А„. !а! А ! Как мы знаем (см.
у 9.2, теорема 2), сходимость первого ряда ~ (й+ 1)-" эквивалентна сходимости несобст!=! венного интеграла ) (/г+у)-аду, который сходится при а>1: Ф а А, уа!-О!- <~а!-а- др —,(В+дР "'! ! ! = — й!-а (а> 1). ! Далее, А=! А=! А=2' а х!-а !1». г гл. 9.
Ряды О1а Последний интеграл сходится при а — 1 >1, т. е, при и > 2. Поэтому исходный двойной ряд сходится по прямоугольникам прн а > 2. Рассмотрим еще новый вопрос. Пусть 'двойной ряд (1) сходится и притом абсолютно. Его сумму 5, так же как сумму 5' ряда, составленного из его абсолютных величин, можно записать в виде пределов последовательностей 5 Иш~~аь,—— 1пп5„„, 5'=Иш,')",Х(аОО1=Иш5' л-~в О О л-+со л-~ю О О ч-~а обычных, зависящих только от одного индекса и, Последовательностям 15„„), 15„'„) соответствуют сходящиеся ряды 5=а„+(аг,+ам+а„)+(а„+а„+а„+а„+а„)+ +(а„+...)+..., (8) 5' ~ а„1+ (~ аеО ~+ ~ ам ~+ ! а„1) + +(1аОО!+~а„~+!аОО1+!а|О!+~аООО+...
(9) с членами, равными суммам чисел, стоящих в скобках. Но в скобках второго ряда стоят неотрицательные числа, поэтому сходимость его не изменяется, если в нем скобки вычеркнуть: 1аОО1+1а1О 1+ ) Ц; ~+ ~ аО1 ~+ 1 аОО ~+.... (18) 1-1о тогда ряд (11) а„+а1О+а„+а„+а„+..., полученный вычеркиванием в (8) всех скобок, абсолютно сходится, следовательно, сходится, очевидно, к 5. Мы доказали, что если двойной ряд (1) сходится к числу 5 и притом абсолютно, то полученный из него обычный (однократный) ряд (11) сходится тоже к 5 и тоже абсолютно.
Но члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять как угодно, не нарушая его сходи- мости н не изменяя суммы. Этим доказана следующая Теорема 2. Если члены двойного ряда (1), сходящегося к числу 5 и притом абсолютно, перенумеровать любым способом (о„о., о„...) при полощи одною индекса и составить ряд о,+о,+о,+..., то последний будет сходиться к тому же числу 5 абсолютно. Докажем следующую теорему; $ ОЛО. ПОНЯТИЕ КРАТНОГО РЯДА Теорема 3. Пусть заданы два абсолютно сходя- и!ихся (однократных) ряда Хи», Хо, и пусто всевозможо о ные произведения и»о, (й, 1 О, 1, 2, ...) перенумеро- ваны: гс„гс„гв„... любым способом п,ои помои(и одного индекса, Тогда справедливо равенство Ю О л и»хХо =Хи'». о о еде ряд справа абсолютно сходится.
Доказательство. В самомделе, пусть Х!и»!=М, о Х~о,(=М. Двойяой ряд Х Хи»о, абсолютно сходится о »=оо=о потому, что при любых т, и л~ л 3л л ~~ч~1и о,! ~,!и„(хХ!о,!~М Л', о о о о Поэтому л Ш л л л л Хи»хХоо — — Иш Хи»х1ип ХР,=Иш Х Хи»о, »=О О=О л-ьл»ло л-~л Х О л-гл»=О О=О Ф л Ю Х Хи,о,=Хи;, о сло г=о где последнее равенство справедливо в силу предыдущей теоремы. Замечан ие 1. Отметим, что теорема 3 по сути дела доказана в $ 9.13. Здесь мы привели доказательство, использующее понятие сходнмости двойного ряда.
В заключение заметим„что можно рассматривать и-кратные ряды (п~)3) Ю Ю Х ° ° ° Х а»л »о „, »л. »,=о»„=о Замечание 2. Выше мы ввели понятие прямоугольных частичных сумм 3„„, содержащих Ф членов ряда (1) (Ф=(т+1)(и+1)). Любую сумму, состоящую из конечного числа У слагаемых ряда (1), принято также называть частичной суммой этого ряда. В случае кратного ряда (1) частичные суммы, содержащие М членов ряда, которые мы будем обозначать гл. е. аяды 420 через 5м, можно строить различными способами.
Например, можно взять частную сумму, содержащую члены ряда с индексами к, 1, отвечающими точкам плоскости (й, 1), принадлежащим кругу радиуса 11 с центром в начале координат (рис. 109) 5м — 5я — Х аы. и+в~я* Отметим, что числа М и й связаны соотношением У *0(К') (можно доказать, что количество точек (я, !) с целочисленными координатами, находящихся в круге радиуса )т, пропорционально площади этого круга). Рис. !!О.
Рис. !09. Сумма 5я называется круговой (сферической) частичной суммой ряда (1). Для а-кратного ряда (а»»3) сферическая сумма имеет вид 5я Х ам,„„е,, е3+, е$кяв Если в частичную сумму включить члены ряда (1) с индексами ()е, 1), удовлетворяющими условию О~у+1(М (й»>0, 1>О), то соответствующая частная сумма 5м=5м (д!=0(М')) называется треугольной (рис. 110) частичной суммой ряда (1). В зависимости от характера частичных сумм можно определить различные виды сходнмости ряда (1) (по сферам, треугольникам, и т. и.). Ряд (1) называется сходящимся к числу 5 по сферам, если чз > 0 ЭЛ',(з) такое, что прн Я > !у,(е) выполняется неравенство 15я — 5~ < е.
з 9.!е, суммиРОВАние РядОВ и последоВАтельностей Аналогично определяется сходимость по треугольникам. Представляет интерес вопрос о том, как связаны между собой различные виды сходнмости кратного ряда (1), но мы не будем на этом останавливаться. Задачи !. Исследовать, при каких а > О сходитса тройной (трехкратный) ряд Ф Ф и Х Х Х(й+1+м)-" Ответ: а > 3. 3. Исследовать, при каких а > О сходится л-кратный ряд Ю 1ь ~чр ~ч1 (й+ (й) а а, Ответ: а >л. 3. Исследовать, при каких а > О сходится двойной ряд Ф Ф Х Х(й+!')-" л !!=! ~,' ... ~ (йр+...+ф)-". аз ! Ап=! л т~ 1 Ответ: а> г т .ь'л р ф 9.16. Суммирование рядов и последовательностей Пусть задан числовой ряд лю+ о!+ и!+ ' н последовательность его частичных сумм ~,=не+их+ ° ° ° +л .
(2) Ответ: а > 1. 4. Исследовать, при каких а, йт, йе > О, сходитсн двойной ряд Ф Ф лчз ~(йз,.~!в.)- . и !1=! 1 1 Ответ. а > — +-. р! Уе' 3. ИССЛЕдОВатЬ. Прн КаКИХ а, йь „ ., рл > О СХОднтея Л-Хратиый ряд 14.1о стммиговинив гидов и послвдовитвльиостви 422 и =-'Е (З вЂ” З„,.)+~-' — ' ) ЕЗ„„— " о=1 и=! 1 и+р+ откуда, учитывая, что 1 1 и+1 р и+р+1 р(и+р+!)' получим !Ю вЂ” 6„~„((е+и — — ( М+ +,„М <е+з+е Зе (р) Ро) если Ро достаточно велико. Следовательно, о,+р — 8 (р - оо) или, что все равно, ог- 8 (~ - оо), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
