Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 64
Текст из файла (страница 64)
е. тес. рема верна. Ф Пример 1, Рассмотрим сходящийся ряд Х2-' 2. о о Здесь о ° 1 +2 Ф э и + 2+ +2и 2И 1 ! 1 1 Отсюда и 1 1 / 1х о о 1 Г = — ~2(и+1) — 2+ — ~ = 2 — + и+! 2и ~ и+1 2п (и+1) 2 (и — оо). Пример 2. Ряд 1 — 1+1 —... расходится, но он суммируется к числу 1/2 методом средних арифметических. В самом деле, для данного ряда 5о= 1, 51 =О, Зоо-(э ~ои+1-О. Поэтому ооа= Ро+ ' ' '+лообу=» я=! [1+0+ ° ..+О+ 1~ею и+1 ! 2и+1 2 — (а — оо) Ф (а — оо). гл.
о. Ряды Наряду с последовательностью (а„) средних арифметических ряда (1) можно рассматривать произвольные средние (г'„) ряда (1), определяемые равенством 1л Х Лзио (7) о=о где Л„ (Ь =О, 1... „ и) †произвольн последовательность действительных чисел, вообще говоря, зависящая от а. Зги числа можно было бы обозначить через Л1о.
Однако ради краткости будем писать Л„ вместо Л„'"'. Если Л 1 — — то 1 =и, з и и' Если существует предел 1пп 1„Т, Имеет место преобразование Абеля следующего вида (см. также Ь 9.8): 3 а,Ь,= Х (а,— а„+Д В„, о=о «=о где В„Ь, +... +Ьо, а„+, — О. Тогда 1„= чр АЛ„5„, о о (РО) где 5» — частичные суммы ряда (1), Далее, используя (9), имеем кь г„— 5= Д" АЛ„(5о — 5). о (11) то говорят, что ряд (1) суммируем методом средних (1„) к числу Т. Естественно возникает вопрос, при каких Л„ сходящийся к 5 ряд (1) суммируется методом (г'„) к числу 5. Чтобы ответить на этот вопрос, будем считать, что Л, =1; Лз — О при А ва+1; АЛ„=˄— Л„+г.
Тогда л 3 АЛ,=(Л,— Л,)+(Л,— Л,~+...+(˄— Л„„-)=Л,=1. (9) $9лб, суммиРОВАнив РядОВ и послвдОВАтвльностей 425 1)рнмеяяя в (11) неравенство Буняковского, получим л л '»»/2 ~1„— З~~(Х~ЛЛ„~ Х(DŽ— 3) ) !/2 -(» -»»»Е~ 9) (.— „',2.»л — л»*/ (12) (и+1) ~ ~Л(1 — +) ~'- 9 (и+1) ~ч» —, 1. 9 ,,„(1 А ) 1 Теперь, если ряд(1) сходятся к числу З(сумме ряда), то последовательность ((ЗА — 5)9) сходится к нулю.
Сред- ние арифметические этой последовательности, по дока- занному выше, также сходятся к нулю. Поэтому нз (12) получаем следующее утверждение! если кисла )А таковы, что л (в+ 1) ~~ ~ д»ХА 19 ~» с, (13) 9 то сходни(ийся ряд (1) суммируется методом средних (1„) к своей сумме, Заметим, что для средних арифметических (о„) усло- вие (13) выполнено: Абеля преобразование 334 — теорема о сходнмостн степенного ряда 393 — теоремы о рядах 385 Абсолютная величина числа 17, 27 Лбсоаотио сходящийся интеграл 253 — — ряд 377 Ахдитивиость интеграла 230 Аксиоматический метод 25 Аналитическая функция 407 Аргумент (независимая переменная) 63 — комплексного числа 205 Лрифметическне действия над числами 22 Архимедово свойства чисел 24 Асимптота !81 Лсимптотическое равенство 120 Ассоциативный закон сложеняи чисел 24 — — умножения чисел 24 Бескоиечная десятичная дробь 14, 15 Бесконечно большая величина (по.
следозательность) 42 — малая величина (последова. тельность) 42 Бесконечный интервал 28 — полуинтервал 28 — предел 42 Бином Ньютона 48, 161 Вейерштрасса признак равномерной сходимости 332 — теорема 94, 335 — — об ограниченности непрерывной функции 94, 335 — — — зкстремзльных значениях непрерывной функции 94, 335 Вектор касательной 192 — нормали 192 — п-мерный, единичный 297 Вектор-фуикция !90 Величина (последовательность) бе. скоиечно большая 42 — ( — ) — малая 42 Верхний интеграл Дарбу 247 Верхняя грань точная 51, 63 — сумма Дарбу 246 Вложенных отрезков принциц 60 Внутренняк точка множества 301, 331 Выпуклость кривой в точке !77 — — на отрезке !80 Гармоническцй ряд 376 Гипербола 132 Главный линейный член приращения функции 142, 309 — степенной член функции 122 Градиент функции 318 Граница множества 331 Грань точная верхняя 61, 53 — — нижняя 52, 63 График функции 66 Даламбера признак сходимости ряда 372 Дарбу суммы 245 Действительная часть комплексного числа 206 Действия над числами арифметические 22 Десятичнаи дробь 14, 15 — — бесконечная 15 Дирихле признак 259 — ядро 385 Дифференциал функции !40, 310 Дифференциалы высших порядков !48, 321 прндмптыый уцдзятнла 427 Дифференцирование парамегрнче.
скн заданных фуннций 149 — рядов 388, 400 Длина дуги кривой 268 Достаточные условия экстремума функции 17! †1 Дробно-лннейвзя иррациональность 218 Дробь простейшая 2!5' Зависимая переменная 53 Замена переменных 199 Замечательные пределы 1!6, 1!7 Замкнутое множество 328 Замыкание множества 332 Знаки включения !О Инвариантность формы первого дифференциала 148 Интеграл Дарбу верхний 247 — — нижний 247 — неопределенный !96 — несобственный 249, 367 — определенный 224 — ог монотонной функции 248 — — пепрерыввой функции 248 — с переменным верхним пределом 235 †, сходящийся абсолютно 253 Интегральная сумма Римана 223 — теорема о среднем 244 Интегральный признак сходимости рядов 369 Интегрирование нррациональкых выражений 217 — подстановкой 1!9, 241 — по частям 202, 243, 257 — рациональных выражений 214 — рядов 386, 399 — триговометрических выражений 220 Интервал 28 Иитерполяционный мнагочлен Лагранжа 279 Иррациональное число 13, 16 Касательная к кривой 128, 144 — плоскость 314 Квадратичная иррациональность 218 — форма 324 Квадратурвая формула 282, 285 Квантер всеобщности 12 — существования 12 Колебание функции ка множестве 247 Коммутативный закон сложения чисел 24 — — умножения чисел 24 Комплексное числа 205 — — сопряженное 205 Комплекснозначная функция 207 Корень (нуль) многочлена 210 Коши внд остаточного члена формулы Тейлора 162 — критерий для несобственных интегралов 250 — — — последовательностей 59 — — — рядов 366 — — — функций 80 — — равномерной сходимости 380 — признак сходнмости ряда 373 — теорема о среднем 152 Кривая гладкая !84, !91, 265 — замкнутая 266 — — непрерывная 184, 260, 301 — непрерывная 184, 266 -.
плоская 184 — самонепересекающаяся 266 — самопересекакацаяся 266 — спрямляемая 268 Кривизна кривой 273 — †, радиус кривизны 274 — — центр кривнзны 274 Критерий Коши для несобственных интегралов 250 — — существования предела 60, 366, 415 Круг сходимости степенного ряда 395 Куб 292 Лагранжа вид остаточного члена формулы Тейлора 162 — теорема о среднем 152 — функция 362 Лапласа уравнение 391 Линия уровня 350 Локальный экстремум 149, 172 — — относительный 358 Лопиталя правило 158 Луч 293 Мажоранта 29, 52 Максимум локальный 148, 336 Масса стержня 223 Матрица 19 й!свезенная скорость 126 првдыптныи укавлтвль Метод множителей Лагранжа 362 — неопределенных коэффициентов 204 — суммирования 421 Минимум локальный 148, 336 Мнимая часть комплексного числа 206 Многочлен 89, !61, 210, 212, 299 — Лагранжа 279 — Тейлора 161 Множества эквивалентные 29 Множество !0 — бесконечное 29 — всюду плотное 35 — аамкнутое 328 — неограниченное 29 — несчетное 3! — ограниченное 29, 328 †, — сверху 29 —, — снизу 29 — открытое 301 — пустое !Π— связное 30! — счетное 30 Множителей Лагранжа метод 362 Модуль комплексного числа 206 Независимая переменная 63 Необходимое условие нитегрируе.
мости функции 228 — — сходимостн рада 366 — — экстремума функции 172, 363, 377 ?!еопределенностей раскрытие 44, !56 Непрерывная вектор-функция !90 — кривая 184, 265 — функции 85, 298, 333 — — комплексного переменного 404 Непрерывность действительных чисел 61 Неравенство треугольника 27, 269 — чисел 17 Несчетность действительных чисел 31 Неявная функция 71, 343 Нижний интеграл Дарбу 247 — предел последовательности 57 Нижняя грань точная 52, 53 — сумма Ларбу 245 Нормаль к кривой !30, 192 — — поверхности 348 Ньютона — Лейбница теорема 228 Область 301 — определения функпни 63 — сходимости ряда 165 Образ посредством функпнн 64 Обратная функция 99 Обратные тригонометрические функции 1!5 Объединение (сумма) множеств 11 Объем тела нращения 264 Однозначная функция 63 Однородная функция 320 Односторонние пределы 83 Окрестность точки 28, 78, 290, 292 Операция диффереицировзния !23, 302, 309 — интегрирования 196, 224 Ориентированная кривая 266 Остаточный член квадратурной формулы 283 — — ряда 366 — — формулы Тейлора в интегральной форме 245 — — — — — — — Коши 162 — — — — — — — Лагранжа !62 — — — — — — — Пеано 163 Отображение 64, 356 Отрезок (числовой) 28 Отрнцание утверждения 12 Парабола И2 Первообразпая !95 Переменная величина 10 — зависимая 63 — независимая 63 Переместнтельный (коммутативный) закон сложения 24 — ( — ) — умножения 24 Пересечение множеств 11, 79 Плоскость касательная 314, 348 Площадь в полярных координатах 263 — криволинейной фигуры 222 — поверхности вращения 277 Поверхность уровня 349 Подмножество 10 Подпоследовательность 55 Подстановки Эйлера 219 Показательная форма комплексного числа 208 Поливом (многочлен) 89, 161, 210, 212 Полнота действительных чисел 61 Полярные координаты 72 — †, график 74 НРВДМВТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ 429 Полярные координаты, площадь 263 Порядок переменной 119 Последовательность 19, 32, 379 — бесконечно большая 42 — — малая 42 — монотонная 19, 45 — неубывающая 19, 45 — ограниченная 19, 29 — — сверху 19 — — снизу 19 — стабилизирующаяся 19, 46 — фундаментальная 59 — фувкций (функцнональиан) 379 — —, равномерно сходящаяся 379 Правило Лопиталя !58 Предел по направлению 298 — последовательности 25, 33, 379 — — верхний 57 — — комплексных чисел 366 — — нижний 57 — фУнкцин 74, 292 — — слева 83 — — справа 83 — частичный 56 Преобразование Абеля 384 Признак равномерной сходнмостн Абеля 385 — — — Вейерштрасса 382 — — — Дирихле 385 — сходимости ряда Даламбера 372 — — — интегральный 369 — — — Коши Приращение аргумента 84 — функции 84, 301 — —, главный линейный член 140, 309 Произведение комплексных чисел 215 — последовательностей 39 — скалярное 319 — функций 64 .Производная 123 — бесконечно большая 128 — вектор-функции 192 — в параметрическом виде !49 высшего порядка 145 — левая 123 — обратной функции !37 — по направлению 318 — правая 123 — суперпозицнн функции от функции 136, 316 — частная 302 — элементарных функций 133, 138 ространство и-мерное 70 рямоугачьник 392 Равенство действительных чисел 17 Равномерная непрерывность 101, 333 Равномерно сходящаяся после.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
