Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 53
Текст из файла (страница 53)
е, удовлетворяющую уравнению (1), '~(х, ф(х))=О (хаий'). (6) График ее полностью принадлежит й, Эта функция единственна в том'смысле, что любая точка (х, у) б%Л имеет координаты; связанные' уравнением (4). В частности, у, =ф(х,), потому что (х„у,) ~.%й (рис. 99). Доказательство теоремы 1. Пусть для определенности 5(х„у,) >О. Так как Г„* непрерывна на Я, то существует окрестность точки (х„у,), которую мы снова обозначим через Я, такая, что в ней гг(х, у) > О. Введем замкнутый прямоугольник Л = (1 х — х, ~ ~~ а, 1у — у„~ ( Ь) (=Я (Ь < Ь ). Тогда 1;,(х, у) > О на о и пцп Д (х, у) = т > О.
(у) оь ычь ФУнкциЯ 1(хл У), РассматРиваемаЯ на отРезке [У,— Ь< < у и. у, + Ь, х= хч), как функция от у непрерывна, $ З !Ь ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 345 строго возрастает и обращается в нуль в точке у=у, (по условию теоремы 7(х„у,)=0). Значит, ! (хм у,— Ь) < О, !'(х„у,+Ь) > О. Вследствие непрерывности Г найдется достаточно малое число а, 0<а<а, такое, что 7(х, у„— Ь)<0; ((х, у,+Ь)>0 Ч!х~б'=Ях — х,$<а), Обозначим через б Цх — х,(<а, !у — у,~<Ь) открытый прямоугольник. Очевидно, А~ос() и Л'есть проекция Ь на ось х.
Рис. 99. Рассмотрим теперь для произвольного и фиксированного хбб' функцию Г" как функцию от у на отрезке. (у, — Ь, у, + Ь). Она непрерывна, строго возрастает (Д > 0!) и имеет противоположные знаки на его концах, Но тогда по теореме о промежуточном значении существует и притом единственное число у, принадлежащее интервалу (у,— Ь, у,+Ь), мы его обозначаем через у=ф(х), для которого ~(х, ф(х))=0. Этим доказано существование определенной на Л' функции ф(х), удовлетворяющей уравнению (6). Докажем, что функция ф(х) непрерывна на Л'. Пусть х> х+Лх~б', у=ф(х), бу=ф(х+Лх) — ф(х).
Тогда на В В.!6. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ 347 (», у)=(к„..., х„, у) и иепрерывги там вмачпе св своими частными производными первого порядка; пра зтзм )'„'(»' ух)='( — ) Ф'0 7(»' у")=0 (2) 4уусть, далее, ай осте лгнвжества всех точек (»х у), удовяетвораанцих уриавенив (1') (в частнвслиВ, (»В, ух)Е%) Тогда, Вваксво уы ни:было ох> О, найдется л Япрлмоуезлаиик й=((х~ — хх~~ "и, 1=1,..., п,~ у — ух) <У) (о <ЬВ), '(3") принадлежаВций Я, такой, что множество Ист описывается непрерывно дифференцаруемой функцией (т.
е. имеюи~ей непрерывные частные производные) ,.у=(р(»)=ф(хв, ..., х )„»ЕЬВ, (4') Ь'=(!х — х))<а,!=1, ..., и). (5') Частные производные от фуанщии зр нычнслякиси но формуле — — — (1=1, ..., и). ду з1 хз( дхг дхг ~дг (10') Если функция 1 (в случае теорем 1 и 1') имеет непрерывные производные более высоиаго порядка 1, то и неявная функция имеет производные порядка 1, котор ~~ найти дифференцВВру 1 рва фериулу '((0) илн (Нг$. Пример. Пусть известно, что функции 1(х, у), рассмотренная в теореме 1, имеет непрерывные частные производные второго порядка. Будем исходить из равенства (10). Дифференцируя его по х, получим ~В:Кз+Г Ф'У вЂ” 1„'(Г, +ГР~') фх() В * Х ХХ Мы нспользовалн формулу дифференцирования сложной функции. $ '3.1Ф.
4(асательная плоскость и:нормаль Пусть поверхность В задана уравнением Р(х, у, г)=0 (1) в неявном виде. Будем считать, что Р(х„у„г,) =0 и в некоторой окрестности точки (х„у„г,) функция Р имеет зча Гл. э Фгнкцки мнОГих пвввманных непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю, Тогда йгада Р ((Рв)в (РР)в (Ро)в) чь 0 (2) Мы пишем (Ф), вместо Ф(х„у„г,). Для определенйости предположйм, что (Р;), чь О. Тогдд на основании теоремы о неявной функций существует окрестность точки (х„ у„ г,), в которой поверхность 8 описывается явно нейрерывйо дифференцируемой функцией г=~(х, у).
Уравнение касательной плоскости к 8 в точке (х„у„г,), как мы знаем, имеет вид га ~ (1в)в(» Ха) + Ж)о (у ув)о где Юо вв (Ро)вl(Ро)в Чй)о (Ра)о!(Ра)в В силу этого уравнение касательной плоскости к 3 в точке (х„у„г,') запишется так: (Р )а(х хо)+(Рв)а(у уа)+(Ро)о(г го)=0 (3) а уравнение нормали к Я в точке (х„у„г,) — так~ в — во У вЂ” Уа в — во (4) (" а)о (рв)а (ро)о Те же уравнения (3), (4) мы получим, если предположить, что (Р„'),~0 или (РУ),ФО, В этих случаях в окрестности (х„у„г,) поверхность 8 описывается явно соответственно уравнениями х=оу(у, г), у =ар(х, г). Мы видим, что при условии (2) некоторый кусок поверхности 8, принадлежащий к достаточно малой окрест.
ности (ха, у„г,) в любой его точке имеет касательную плоскость, йепрерывио изменяющуюся при непрерывном передвижении точки (х„у„г,). Такой кусок называют гладким куском поверхностй 8. Другое дело, если пгадоР=О. В этом случае нельзя гарантировать, что в точке (х„у„г,) существует касательная плоскость к В. Она может существовать, а может и не существовать. П р и и е р.
Уравнение г'+у' — х'=0 З В.!О. 'КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ 349 определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью х (рис. 100). Левая часть уравнения (6) имеет частные производные Р„'= — 2х, Р„'=2У, г";=2», одновременно не равные нулю, если точка (х, у, г)Ф(0,0, О), В любой такой точке, которую обозначим через (хо,у„г,), касательная плоскость определяется уравнением Ао(Х Хо)+Уо(у Уо)+го(» — го) О, В начале же координат касательная плоскость к нашей конической поверхности не существует, В этом случае игад, г" О.
Рас. 100. Точки (х, у„г,), лежащие на поверхности 8, в которых дгадо1=0, называют особыми точками поверхю спш 3. Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию И о=1 (Хо Уо г) (6) на некоторой области И точек (х, у, г). Пусть в точке (х„у„г,)ЕЯ ее значение равно числу А:. А =1(х„у„го). Если частные производные от 1 в точке (х„у„г,) одновременно не равны нулю, то уравнение А=)(х, у, г) определяет в окрестности этой точки некоторую гладкую поверхность Я, называемую ловерхиосаью уровня функиии (6).
Касательная плоскость к 5 в точке (х„у„г,) имеет уравнение ~ух) (х хо)+ (О ) (у уо) ~я~) (г»о) зво тл. з. чм нкцми многих пвэимвнных Нормаль к Я в точна (х„н„. «,), т, е. прямав, проходящая через эту точку, перпендикулярно к касачеле ной плоскости, очевидно„имеет уравнезгне х — то г за х — та (й). Ж). ( — ").
д7 д1 д7 Мы видим,, что вектор "" =(%). (-",). (',—:.'Ц направлен ио нормали и поверхноет~ 8. Уравнение г=((х, у), где функция 7 имеет напра рывные частные производные, определяет некоторую гладкую поверхность Б. Положим, А =1(х„уо). Если в точке (х„у,) частные производные (, дх )е' (, ду )л одновременно ие равны нулю, то уравнение А =7 (х, у) определяет в окрестности этойз точки некоторую гладкую кривую Г (линию уровня фуннцин г=1(х, у)). Уравнение касательной к 1' в (х,, у,) имеет вид (.у-) (х — хо) — ( д ) (в — до) = О. Вектор ((.~) „(-~-) ); направлен по нормали к Г )а (, У)з (в плоскости Г) в точке (х„у,). 5 8.17.
Системы функций, заданных неявно Выше мы раесмочрелн вопрос о существовании непрерывной и дифференцируемой неявной функции„определяемой одним уравнением. Здесь мы рассмотрим. аналогячный вопрос для совокупности неявных функций д„,, у„, определяемых системой уравнений ~, (хо ...,, х„1 и„... „у ) = О, (1) (х„..., х„л„..., д„) =О. ) Таким образом, мы ищем функции уо ..., у„от х„..., х„как решения системы «1)+ у, Фт(хз, ...,х„) (1 1, „ят), $ илт. 'снстимы оуикции, Зациммьги никино 35! Въгясним те условия, которые обеспечивают суще.
ечвоваиие ращения системы (1') н диффереииируемость функций уо Теорема 1. Пусть вадана .система уравнений (1)и удовлетворяющая следующим свойствам. Функции ~л определены на некоторой ((п+т)-мерног1) окРестностм 11 точки (хо Уо) (хит хо. У1 У~ ) .пространства 11в+,и точек (х, у)=(хв„..., х„; ул...., у,„) и непрерывньг там вместе со своими часотгиллиг производными первого лорядка с якобианом (определителем Якоби т)) дуг,д)л дв, "дв дП ~ хг(11», Р") ~0. (2) дву') О(вг, ° -, в ) д1 '61м дуг ' "дум Кроме того, точка (х', у') удовлетворяет системе (1). Пусть 'Ф есть мггаисество всех точек(х, у), удовлетворяющих системе 41) (в часгпности, (х', у') ~%). Тогда, какого бы ни было Ь,>0, найдется прямо.
угольник гй = Д хг — хог ! ~ а Ц = 1...,, и) )уг — уг) (Ь (1=1, ..., гп)) (Ь(Ьи), (3) принадлежащай Й, такой, что множество Ч)(А опистивается непрерывно даффергнцируемыми функциями уг — — фг(х) (г'=1,, ..., т), х~а", (4) Л" =()х.— х'~ ~,а (=1, ..., п)„(5) Другими словами, прямоугольник Л обладает тем свойством, что на ехо проекции Ле иа координатное иодпространство .(ха, „х ) можно определить непрерывно дифференцируемые функции (4), удовлетворяющие урав. иеиням (1): 1 (х, т)в(х), ..., т)> (х))=0, (х~Л", 1=1, ..., ип) и неравенствам )трг(х) — уг( < Ь.
Эти функции единственны в том смысле, что любая точка (х, у)~%А имеет координаты, связанные уравнениями (4), В частности у';=т)г (х') (1'=1, ..., т), потому что уо) ~ п))л т) К. Г. Якоби (1604 — 1651) — иемеииий математик. гл. к юрнкцин многих пи вмвиных Замечание 1, В теореме можно считать, что прямоугольник ()» и его проекция й»» определяются неравенствами (1=Пл~-Ф < ~~ 0=1, ". ); !у,— у'»(<Ь, ( 1, ..., т)), (3) А»=((х — х»;! <ау, 1=1, ..., а), (бе) с различными, вообще говоря, числами ау, Ьг Ведь если теорема верна для прямоугольника (3.*.) при некоторых а, Ьо то, положив Ь=щ!пЬ,, можно вследствие непрерывности функций ф, указать такое число а < а (! =1, ...
.. „и), что точкй (х, ф,(х), ..., ф„(х)) с х~()ху — ха((<а, 1=1,...,я) б!» о»*» бу» ду~ О)з О)з бу» оуз за О в Мз, то длв любого ба ) О найдетсЯ пРЯмоУгольник »)=д«,— х»( < а, )хз — х',! < а, )у,— уе) < В. !у» — уз»( < Ь) (в < в), (з') прннадлежащнй указанной окрестности, н существуют непрерывно днрференцируемые функцнн (х», «з)ца», (4') уз=»р» (х» «») определенные на его проекцнн о»=(!х,— х»! < а, (ха — х»! < а) (б') такие, что онн удовлетворяют уравпенвям (!') н обладают свойствами у» ф» (х» «Ь у»=фз (хт х»), окажутся в прямоугольнике (3).
Заметим, однако, что вообще невозможно добиться, чтобы а и Ь в (3) были равными, в чем легко убедиться на примере одного уравнения г(х, у) =у — х'=О, х,=у,=О. Приведем доказательство теоремы ! только для частного случая двух уравневнй (т(х», х„у„уз) О, ~ (!') 1»(х», хз, у„уз) О. Нам надо доказать, что если функцнн 'гд н 1~ непрерывно днф. феРенцнРУемы в некотоРой окРестности точки Ма=(хе, х»», У»а, Узе)Е Ч»сю удовлетворяющей уравненням (!'), н якобнан 4 алт, системы Функций, 3АдАнных нняпнО 853 При этом для (хы хв)цйв (хг, х„ф, (хы хв), фв(хг, х,))~ й, (8) Указанные функции фы ф,— единственные, описывающие все решения уравнений (1') в прямоугольнике Ьл иначе говоря, если какая-либо точка (х„хэ йы уе) ц 8 удовлетворяет уравнениям (!'), то ее координаты связаны соотношениями (4').
Из того, что якобнан (2') не равен нулю в Мв, следует, что один из его элементов не равен нулю в Мв. Не нарушая общности, считаем, что ж О. д/г дуг К этому неравенству всегда можно прийти, соответственно перенумеРовав в слУчае необходимости (н (в и Рг, дв. Так как частные производные от Гг н Гв по условию непрерывны, то существует достаточно малая окрестность точки Мв, на которой не только якобизн (2'), но и производная — не равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
