Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 49
Текст из файла (страница 49)
дз дх ду дг дз где / — дифференнируемая функння, есть производная по направлению указанного касательного вектора. Говорят еще, что о есть д/ дз производная от / вдоль Г. 8.8.3. Г>ради ент функции. Введем вектор йгаб / 1 д/ д/ д/ т 'чдх > ду ' дг,) ' называемый градиентом функции Г в точке (х, у, г). Ч 8.8. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ГРАДИЕНТ З~п Формула (5) говорит, что производная от / в точке (х, у, г) по поправлению единичного вектора а равна проекции градиента в этой точке на направление а: с- -* (пгад /, .а) = угад /. д/ (7) Имеет место очевидное неравенство '„~!угад/! дх ' 'св'.са-си)' д/ ~'('~)'+(~~)'+®' д/" дг ' ~'Я)'+('!)'+®' Из сказанного следует, что градиент Функции / в точке (х, у, г) можно определить как вектор, обладающий следующими двумя свойствами: 1) длина его равна максимальной величине производной по направлению — в (х, у, г) (для дифференцируемой в д/ (х, у, г) функции этот максимум существует и есть число неотрицательное); 2) если его длина нв равна нулю, то он направлен в ту же сторону, что и вектор а, вдоль которого производная — максимальна.
д/ дп для любого вектора а. Если пгад/=О, что обычно бывает только в исключительных точках, то — =О для любого д/ вектора а. Если же огай/Ныл (одна из частных производных от / не равна нулю), то (О) есть строгое неравенство для всех единичных векторов а, за исключением единичного вектора а, (сози„ соз/3„ созуг), направленного в сторону ягад/( — „-=-~ ягад/) ~ О), Таким образом, / д/ д/ зв1 ГЛ. В. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пример 1. Пусть температура и тела б есть функция от точки (х, у, г): и=/(х, у, г), (х, у, г) Е б (61=/га) 8,8А. Однородные функции. Введем в рассмотрение так называемые однородные функции.
Пусть задан вектор 1 = (л1, ..., Дл), где лг — произвольные числа. Функция 1(хт, ..., х„), заданная на йл, называется 1:однородной степени т, если для всякого 1) О й лгобых х=(хх, ...,х„)Е««л выполняется равенство: 1(1а'«1, ..., Гхлхл)= 1 " 1(х„...,хл), (10) л где )а) ~ ))гг!. 1=1 Если Дг=...=-лл=!, то 1 называется престо однородной футсЧлвй ствлвпи т. Ниже будем считать, что частные производные 1„' "1 (1=1, „и) непрерывны в йл, Теорема 3. Для тога чтобы фунхцил / была лчгдлородной втвлвли т, нгобходииа и достаточно, чтобы вылолнялввь равенство ,г лг«1/х (хо „„х„)=т — 1(хо ...,хл), )к1 1=1 /П) Если функция 1 однородная степени т, то мы получаем известную теорему Эйлера. Доказательство. Необходимость.
Пусть / является )г-однородной функцией степени т; тогда, дифференцируя тождество (!О) по Г как сложную функцжо, получим л 1ь1 Х д/(гыхг, „., Гьлх ) лг-1 )Ь) "' л лгхгг — т — 1 1(хо ..., «,). 1=1 Полагая в атом равенстве Г= 1, получаем равенство (11). и пусть дгаг) и ~ О в некоторой определенной точке (х, у, г). Выпустим из этой точки вектор, равный игас) и. Вдоль этого векторя скорость воарастания температуры и в (х, у, г) наибольшая, равная положительной величине )угас) и1. Если же в рассматриваемой точке игаг) и = О, то в любом направлении,, выходящем из этой точки, скорость изменения температуры равна нулю. 3 а д а ч а.
Найти градиент функции и = ха + у' в точках (1, О), (О, 1), (1/У'2, 1/)г'2). зе.в. ДНФФнрпнциал Функции Достаточность, Пусть.теперьнмеетместоравенство ()!),Зафнкснруем точку х=(х,ч „„х„) н составим фунппмо .)ь! ф())- " )()'хгг )' х„) ()4 днфференпнруя вту функпнго по ), находки: л 1~+ ~~ хг(! ~хт !Ьлхл) Хрх!! ф'(!)- 1ь! + л !В! ги — г !Х! — — )(Р*хт тх х ) ! )х! л л ~; х!гь! х!ги, (!"'хн ° ., ! "х,) - лг . / ()!их!, „ „ ! и„ ) г г о гл-)-Ь!+ л Последнее равенство имеет место в силу (! !) для точки 1!Нхн ..., рхлх ). Такам образом, ~р'(Г)=0 и <р(Г)=си Постояннув с никодим нз условия, что Брн )=! <р(!)=Г(хт....,х„). Значит, нз (!2) имеем !А! )(! 'хг, ...; !"лхл) =т " Г" (х„...,хл), т, е. Функпня ) является )г-однородной степени яг, $8.9.
Дифференциал функции. Дмфференциал высшего порядка Основные рассуждения в атом параграфе ведутся в и-мерном пространстве, Мы думаем, что это не затруднит читателя. Рассмотрим функцию М7=~(Х)=~(хт, ..., х„), (!) заданную на некотором открытом множестве бг")с„ (см. р В.З). Ее можно бесконечным числом способов записать в виде )р = р (и) = «р(и„..., и ), (2) где и = ф„(х) () = ), ..., т; лг ~ 6). 11 и. С.
Бугров, С.М. Нииолвоииа 322 Гл. «. оупжцин многих пеРеменных Кнже мы будем употреблять следующчо терминологию: переменная %' есть функцня от незавнснмой векторной переменной лц эта же переменная )р' есть функцня от зависимой векторной переменной и. Лоследняя зависит от независимой переменной хе каждому вектору х из 6 соответствует вектор и= ® (х), ..., ф,„(х)). Таким образом, роль векторной переменной х здесь носит исключительный характер — она в прнводимых ниже рассуждениях будет фигурировать только как незаеисимал переменная. Пусть функция ~ имеет непрерывные частные производные первого порядка в точке .х~ ««. Тогда, как мы знаем нз й 3.5, она дифференцнруема, т.
е. приращение ее в этой точке может быть ааписано в виде н ее днфференциал равен .» !, » Для независимых х;, ...„х„полагают Лх~ — -дх~ (1=1, ..., и) (6) / « Ясно, что йй7 есть величина, зависящая, вообще говоря, от х,, ...,х„и ахт, ...,йх„. и называют эти величнны не только приращееиями независимых переменных х„но и их дифференциалами. Мы будем их называть незаеисимыма ди4яререициалаии в знак того, что они не завксят от х=(х«, ..., х„). Формально «независимость» величин йху будет проявляться в том, что прн дифференцировании (по х»ь ...,х„) онн будут ,рассматриваться квк постоянные ф (йх ) = О), В силу соглашения (6) дифференциал Ж' может быть записан в форме $ 6 в дйееввенцилл Функции звз Длн лвбык двух функций, а и е; имеющих непрерывные частные производные в точке к, справедливы свойства й (и -Ь о) = Ии йо, (8) а(ио)=ийв+оаа, (й) й ® ='"' —,""' (о~а)х (1О) и при этом частные производные от функций, стоящих в скобках, непрерывны в точке х.
Докажем, например, третье из этих равенств ди ~Ъ и х и и в(( ) =~~'. ( ) "кт=~~';, йкт= ,=1 !=1 и Л 1(' Ч д ~ Ъ '1 .ди иди — у~' — йкл — и ~ — йх ,=1 д Рит Непрерывность — ( — ) видна из третьето члена цепи. диет(, и 1 Днфферещтиал от функции )й называют еще даф(дврвнНаалом первою порядка, потому что приходится еще рас. сматризать дифференциалы втлспни порядков, Пусть теперь функция )Р' имеет вторые непрерывные частные производные ГЬ определеиик~ втаарой диффврвя. пиал от нее, соответствующий независимым приращениям (дифференциалам), акт, ..., ах„, определяется, равенством НЧР = а'(вЛГ), (11) вде елнтаетев„ что обе операции й в правой части (11) берутся для указанных независимых ах„ ...,ая„, которые должны рассматриваться как постоянные (не зависящие от х;, ..., х„).
Таким образом„ й рр — й,'Г,— йх —,'~й( — Ь )— ;=1" 1=3 П л и = л' ю (й д ) ах~ —— ~л~и,в'.и д д ах~ аху. (12) дхт ~ дх~ дхт дзи' ди%" Так как — = — , то второй дифференциал преддх~ дхт дхт дх~' ставляет собой квадратичную ферму относительно независимых днффереицналов Фят, ..., Ик„. Мвадратичной зхч ГЛ. За ФУНКЦИИ'МНОГИХ ПЕРЕМЕВНЫХ Формой 'от переменных $1, ..., $„ называется функция и в вида Х ~~'.,' аав$Дв, где ам — — аы. 1=1 а=! Воойце дифференциал порядка 1 от Ж' для независимых дифференциалов а(ха, ...,3х„определяется по индукции пре помощи рекуррентного соотношения где а(а, а(, су ' берутся для указанных независимых дифференциалов а(хо ..., ~Ь„, которые к тому же рассматриваются при вычислениях как постоянные (не зависящие от х„..., х„).
Рассужаая, как в (12). легко получим, что 'дхвйх дк дхв ха ку Так как мы предполагаем, что функция 1 имеет непрерывные частные производные, то запись дифференциалов можно упростить. Например, для функции от двух переменных и =((х, у) имеем иаи Г,"в1ха+2(;аа(на(у+ 1" а(уа еааи = И (а(аи) =* ="йка а(х +3дт — а(х а(У+ 3 дкх)ах а(х а(У + д а а(У ' да! а да) а да) а Применяя метод математической индукции, легко получим, что ,(юи а(хв 1. и а(хв а а(У+ д"1 д"1 дкв дх" "' ду л (л — 1)...
(л — а+ 1) дв) „в в дв) ''' + М дх» вдув У +'''+дул У ' Символически зто можно записать так: Г(ви <(в~ (х 1 1(у (д д (дк ' ду где в правой части мы сначала возводим выражение в сте- пень а, а затем подписываем ) при символе дв. 46.9. ДИФФЯРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ В многомерном случае умеет место аналогичная снмво.
лическая формуле (14) Мы определили понятие дифференциала функции йг. в терминах независимых переменных хг, ..., хл (или независимой векторной переменной л), Но пусть, как зто было объяснено в начале этого параграфа, %' рассматривается теперь как функция от зависимой векторной переменной а =(ио ..., и ).
Возникает вопрос, как выражаются дифференциалы первого и высшего порядков в терминах этой переменной и. Начнем изучение этого вопроса в случае дифференциала первого порядка, БУдем пРедполагать, что фУнкцнн 1Р(и) и фг(л) (1' 1, ..., т), о которйх шла речь в начале параграфа, имеют непрерывные частные производные. Тогда л Л ГЛ1 ! л1 Г Нл1 Ьл1 Л1 Л Л1 и мы получили, как в случае одной переменной, что первый дифференциал от )Р' выражается через завнсймые переменные так же, как через независимые. В этом проявляется инзариананость формы нерззго дифференциала. Чтобы исследовать поставленный вопрос в случае второго дифференциала, будем предполагать, что функции 1р и ф имеют непрерывные частные производные второго порядка. Дифференцируя обе части (15), приняв во внимание свойства (8) и (9), получим (пояснения ниже) ~а'= и~)=Е~( — ,'„'~,) = 1=1 ~л Ф длк1 дк' дит ди1 Г 1 ди1 1=1 Нл1 Л1 Л1 т 326 гл.
в дикции миотих пягзмзнных Во втором равенстве этой цепи мы впсаолъзпвались свойством (8), в третьем же — свойством (9$, и, кроме тоня тем фактом, что форма первого дифференциала сохраняется и для зависимых переменных и. я(ы видим, что второй дифференциал от 77, выраженный в терминах зависимых переменных ин существенно распадается на два слагаемых.
Первое слагаемое нредставляет собой квадратичную форму, аналогичную форме (12), где дЧГ' выражалось через независимые переменные. Второе же слагаемое представляет собой некоторый добавок, с которым надо считаться: если и О =1,,... т) не является линейной функцией от лР то вптг добивок отнюдь не равен нулю. Отме'гим, что из наших рассуждений следует, что если выражение (!6) взято для дхх, ..., бх„, которые фигурируют в выражении (12), то оба эти выражения тождественно равны, каковы бы ни были л, для которых существуют указанные непрерывные частные производные второго порядка и каковы бы ни были независимые, Нхг Вычисление дифференциалов ВЗИ', гр)р..., через зависимые переменные л производится подобным образом последовательно.
Приходится считаться с тем фактом, что выражения для них становится все более громоздкими. й 8.10, Формула Тейлора Ограничимся рассмотрением функции от двух переменных. Пусть и=)~(х, у) имеет в окрестности точки Р,= = (х„уз) непрерывные производные всех порядков до 1-то включитзельио. Возьмем в этой окрестности точку Р; = =(х,+Ах, у,+бу). Соединим точки Р„и Рх отрезком прямой, уравнение которого можно записать в параметрической форме следующим образом: х=х,+Их, у=у,+1ЛУ (0~~1а 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
