Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е. все граничаые точки А принадлежат к А. Ведь й»„~,А открыто н каждая точка лл~)(и»~А может быть покрыта шаром Ук», не со- держащим в себе нв одной точки А. Но н обратно, еслн А А+Г=А, то А замкнуто, потому что если х" - хв, х" ~А н есан предполо. зкнть, что хз ~ А, то получится противоречие, потому что тогда х»ЕГ г: А+Г=А., Таким образом, для того чтобы множгсгпво А было замкнутым„ необходимо и достаточно, чтобы с ним совпадало ею замыкание (А=А). В частности, А всегда замкнуто, н потому Х= А. Наконец, отметим, что пустое множество и все пространство Ян являются одновременно открытымн н заыкнутымн множествзмн, Можно доказать, что в остальных случаях, если множество А от-' крыто, то уж не замкнуто, а если замкнуто, то не открыто, $ ЕАЕ. ЙвлРеРывнкя Функция ИА множвствв 333 2 8,12, Непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве Пусть А есть пока произвольное множество простран- ства 31 = В„, и пусть на А определена функция 1(х) ) (х,, ..., х„). Может случиться, что функция 1 опреде- лена не иа всей окрестности точки хеб.А (А — замыка- ние А), а только на некоторой ее части.
В этом случае возникает понятие предела функции г в точке хеба по множеству А. Число В называетсн пределом 4ункиии 1 в точке х' й А по множеству А, если 1пп 1(ха) В, «Ч. «а, «А Е А какова бы ни была последовательность точек х" ~ А, сходяииглся к х'. По определению, функция 1 непрерывна в точке х'Е А по множеству А, если имеет место равенство Вщ ~ (хь) ~ (хе), (1) «А.+ «' «ЬЕА какова бы ни была последовательность точек хе й А, сходяи(алея и х'.
Приведенное определение непрерывности можно сфор- мулировать и на языке е, 8; функция 1 непрерывна в точке х' ~ А, если для любого е > О найдется 8 > О такое„ что 1Г(х) — )(хе)) <е 'т»ЕА, 1» — хе~ < 6. Теперь мы будем предполагать, что А есть ограничен- ное замкнутое множество пространства 1с и заданная на А функция 1(х) непрерывна на этом множестве. В этих предположениях можно доказать следующие замечатель- ные свойства: 1) Функция г ограничена на множестве А. 2) Функция 1 достигает на множестве А максимума и минимума, т. е.
существуют в А точки х' и уе такие, что Г(хе) =тахГ(х), Г(уе)= ю1п1(х). «ЕА «ел 8) Функция 1 равномерно непрерывна на множестве А, т. е. для всякого з> О найдется такое 8>О, что ~ ~ (х') — ~ (» )! < з ззе Гл а. ФУнкции мнОГНХ переменных для любых х', х" ~А, уДовлетворяющих неравенствам «х' — х" ! < б. Как мы видим, свойства !), 2), 3) обобщают известные уже нам свойств» непрерывной функции 1(х) от одной переменной х, заданной на отрезке [а, Ь].
Подчеркнем, что отрезок [а, Ь] есть ограниченное замкнутое одномерное множество. Ведь если какая-либо последовательность точек (чисел) х„ принадлежащих к отрезку [а, Ь], сходится к некоторой точке (числу) х„ то эта точка принадлежит к [а, Ь] (х,~ [а, Ь]). Доказательство свойств 1), 2), 3) совершенно аналогично доказательству их для отрезка [а, Ь], приведенному в 22 3.5 и 3.7. Оно всецело базируется на следующей лемме, обобщающей соответствующую одномерную теорему Больцано — Вейерштрасса из 2 2.9. Лемма. Из всякой ограниченной последовательности точек х"=(хе ..., с4) (а=1,2,...) можно выделить лодпоследсеаслельнссть «хас) (1=1, 2, ...), схсдяищюся к некоторой точке х' «Хос — Хо «+() (1 оо) Докааательотво, Так как последовательность (ха) огра.
ниченао то существует число М такое, что М о!ха!Ъ«ха! 0 1, " ъ лС Д=1С 2о ° . ). Это показывает, что координаты точек ха также ограничены. Педр. вая координата оорааует ограниченную последовательность «хс) (Ь= 1, 2, „,), н на основании одномерной теоремы Вольцано-Вейерщтрасса найдется подпоследовательность йс, натуральных чисел н о а некоторое число хс такие, что х,' — х,' (11- оо). Вторую коорди. нату х» рассмотрим только для йайденных натуральных Ьсг Подпоследовательнооть «ха4 ограничена, яовтому иа нее также можно ВмсратЬ ПОдПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтв «ХаС ) ИЧИСЛОХО таКИЕ, Чтс лаго — ХМ так как (йс,) есть подпоследовательйость (ьс,), то имеет место одновре.
пенно ласо — ~ хо о хан — о хо. ПРоДолжаЯ етот пРоцесс, на о о С о л-и его агапе получим подпоследовательность натуральных чисел Х =ЙС И СИСТЕМУ ЧИСЕЛ Хео ХО... „ ХО таКИЕ, ЧтО ОДПОВРЕМЕННО а а о а о а о хс охс хс — охоо о ° охс о хо (С оое) С о о Полагая хо=(хоо „„хо), получим утверждение леммы. Докааа тельство свойства 1), Допустимо что 1 не ограничена на замкнутом ограниченном множестве А.
Тогда дла каждого натурального числа и существует точка хмцА такая, что !1(хм) ! > т (щ=1с 2с °,.). (2) 9 8.12. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ НА МНОЖЕСТВЕ ййй ь Тзк как множество А ограничено, то последовательность точек ,(хк) также ограничена н, в силу леммы, из нее можно выделить к 1'иодпоследовательность (х «), сходящуюся к некоторой точне хз. ,По условюо множество А замкнуто, поэтому точка хе~А, Но в тачке хэ функция 1 непрерывна и потому Ню 1(х «)=1(ал), «к (з) аз«ел Свойство (3) противоречит свойству (2). Поэтому ) может быть только ограниченной на замкнутом ограниченном множестве А.
Доказательство свойства 2). По свойству 1) непрерывная аа замкнутом ограниченном множестве А функция ограни. чена„следовательно, она ограничена сверху некоторым числам 1(1 1(х) ец Л' (х~ А). На тогда существует точная верхняя грань 1 на А1 эпр 1(х)=М.
(4) кал Число М обладает следующвм свойством: для любого натурального ю найдется в множестве А точка х" (а(л, „,э лю) такая, что ! М- — ( /(х'") М (т=!, 2, „). ю Последовательность (хк), как принздлежащая к ограниченному ззмкпутому множеству А, ограничена: л )хлл) ~и~~ ~(к(~(э~К1 (ю =1, 2, ф"), гл! н потому яз нее можно выделить подпаследовательность (х "), схо- дящуюся к некоторой точке лецА, Последнее заключение вытекает нэ замкнутости множества А.
Но функция 1 непрерывна па мнохгестве А, сведавательно, она непрерывна в точке л, поэтому 1(щ )(х «)=1(ае) ° «-+ а к т« С другой стороны, М ' <)(х ')~М («=1,2, ° ") ю« Переходя к пределу в этом неравенстве прн й- ол, -получаем М ~) (хэ) ~М, т. е. 1(хэ) =М. Таким образом, верхняя грань (4) достигается в точке хацА, т. е, функция 1 достигает в точке х«~А максвмума на множестве А. 336 ГЛ. Ь. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫК Итак, мы доказалк, что существует точка хе~А, дия которой шах1(,и) =1(хс), зал Другая часть свойства 2) о минимуме доказывается аязлогнчно.
Доказательство свойства 3), Допустим, что свойство неверно, Тогда существует такое з > О, что длк любого б > О найдется пара точек х=(лы ° „> л„), У=(р>ь .„, у»)~А, удовлетворяющих неравенству для которых 11(х)-1(У) !ъе Зададим теперь последовательность положительных чнсел б„-». О прн >н — со, Для каждого б„найдутся точки х" =(ьт, „,,м»н), Ум =-(р»>, ....,«фЕА такие, что !х"'-У" ! < б„, но !1(х") — 1(У")1Гне. (3) Так как точки последовательности (хн) принадлежат к ограниченному множеству А, то этз последовательность ограничена, и из нее, яо лемме, моною выделить подпоследовательиость (х "), сходящуюся к некоторой точке хс Е А (в сазу замкнутости м>южества А). Тзк как (х "— у « ~-» О при й — «о», то подпоследователь ность (у «) также сходится к точке хз, потому что )у «-хе!=)у «-х "+х "— ха~~)у "— х « ~+~х « — хс).
По условшо функиия 1 непрерывна нз А и, следовательно, непрерывна в точке хс, Поэтому Ищ 1(х «)= Нш 1(У «)=1(х'). «-«»> «-«ь х ЬА ЬА Теперь, переходя к пределу в (5) пря й- со, получаем «) 1=(1(лс) 1(х»)~=О з~ нш ~1(х «) — 1(у «-«»> и мы пришли к противоречию: е~о, й 8.(3. Экстремумы Пусть на области (открытое связное множество) >>заданаа функция и=1(х), х=(х,,х„) и х'=(х,', ...,х„')— точка 6. Говорят, что функция и =1(х) имеет локалзносй максимум (минимум) в точке хс, если Э окрестность зтай эа.1з. экстявм«мы .
точки такая, что 1«х из этой окрестности имеет место неравенство ~(х) ~~(х) (~(х)~~(х)) (1) Точку х' будем называть точкой локального максимума (минимума), а соответствующее значение функции 1(х') максимальным (минимальным) значением функции. Локальные максимум и минимум объединяются общим названием «локальный экстремумы Из определения экстремума вытекает, что в достаточно малой окрестности точки х«приращение функции Ьи=((х) — ((х«) не меняет знака: Ьи:О в случае локального минимума (~п!п); Ли~О в случае локального максимума (щах).
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Пусть функция и )(х) имеет локальный экстремум в точке х'. Тогда, если, существуют частные производные пересев порядка —. (1=1, ..., н) в точке х, д( « де~ то все они обращаются в нуль в мной точке: — =О («=1, ..., и). д1( ) (2) дх; Доказательство. Докажем, что — =О, Зафикд1(х«) дхг сируем переменные х,=хм ..., х„ *хь. Тогда получим функцию и ((х„ х«, ..., х„') от одного переменного х„ причем эта функция имеет локальный экстремум в точке х',. Поэтому в силу необходимого условия экстремума для функции от одной переменной, заключаем, что производная от этой функции по переменной х, должна быть равна нулю в точке х,'.
Но эта производная является частной производной функции Г(х) по переменной х, в точке х', т. е. д1 (««, х'...., х«) д( (х«) д«« д«« Другие случаи рассматриваются аналогично. Следствие. Если функция и=((х) имеетзкстремум в точке х' и дифференцируема в точке х«, то ф(х«)=О и й бах«)-о. Данное следствие вытекает из определении дифференциала и градиента. Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
