Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Тогда вдоль этого отрезка наша функция и=Дх, у) будет функцией от одного переменного й Цх, у) = Цх, +1бх, у, + 1АУ1 = Р (1). (1) Легко видеть, чзв разность Ь1(Р~)=Г(хо+йх~ уо+бу) — 1(х„уо)=Р(1) — Р(0) (2) У эоов ФОРМУЛА тВНЛОРА Формула й4аклорена для функции Р(у) в окрестности точки ~,=0 имеет вид (0<0<1). Полагая 1 = 1, получим Р (1) — Р (0) =,~~ †„,( ) + †„ ( ), где 0 < О < 1. (3) Вычислим производные функции Р(1) через у(х, у).
Из соотношения (1) имеем Ро(Р др(хо+ гах уо+1ьу) д д1(хо+ма, уо+олу) х+ ду У откуда при 1 0 получаем Р'(О) дг <оо Уо) дх+ 'Ч(хою Уо) д = (о(Р ] ду Совершенно аналогично Р" (1) = Г„" (х, + Их, у„+ Иу) Ьх'+ +2~ко(~„+И~о У,+ИУ)ЬхЬУ+ +Г;,о(х,+ Их, уоо+Ир) Лдо, Р" (О) =ФУ(Ро), Продолжая этот процесс, получим Р"'<О)= (У <Р,), ....,. Р'о-"<О)=до- У<Р,), В силу этого из (2) и (3) имеем (4) Формула (4) называется оуарйгрхай Тейлора для функции и=г(х, у). По внешнему виду овя такая же; как и для функции от одного переменного, ио в развернутом виде оиа гораздо сложнее. ,г(ля случая, функции от п переменных <а>2) формула Тейлора записывается в том же виде (4). При 1= 1 формула Тейлвра для функции 1 оа и веремениык имеет вид Ю вЂ” П")=Е~ф).„,„„, <,— ~ <0<0<1).
/=о ззз ГЛ а. ФУнкции мНОГих пеРеменных где символ ( ), оаначает, что функция в скобках вычисляется в точке х=а. Эта формула представляет собой обобщение теоремы Лагранжа о среднем на многомерный случай. При 1=2 и п=2 формула (4) в развернутом виде записывается так. аа(~ У)=аа(ла~ Уа)+д (аа Уа)(Х Ха)+~ (Ха~ Уа)(У Уа)+ д( дг + — 1 — а(ха+0(л — ха), у,+6(у — у,))(х — ха) + +2 — д„д„(~,+0(~-еа), у,+6(у — у,))(» — ха)(у — у,)+ + — (,+0( —,), у,+0(у — у,))(у — у,) ~. дав 'При 1=2 и 'произвольном и формула (4) выглядит следующим образом." а г(х)=~(х)+аг, ( — „~ ), (~;-~)+ а ~'а~~ ~ ~Б~дху)аа+аы-аа>( а ))( у 1 даа а=а/ а где х=(хы ..., Ха), л'=(х'„..., Е„а). й 8.11. Замкнутое множество Множество А а= ат„= аг называется ограниченным, если существует число М > 0 такое, что 1х ~ ( М аах ~ А, иначе говоря, если существует шар в Й с центром в нулевой точке, содержащий в себе А.
Множество А называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точек х" (я = 1, 2, ...), принадлежащих к А, сходится к точке хаб)('(ха — х', х" ~ А) следует, что х' принадлежит к А(ха~ А). В этом определении не утверждается, что А содержит в себе сходящуюся последовательность. В нем говорится только, что если в А существует сходящаяся последовательность, то точка, к которой она сходится, принадлежит к А.
й г» ь зАмкнутОБ мнОжество Это показывает, что надо считать, что пустое множество замкнуто. Все пространство В„тоже, очевидно, замкнуто, но неограничено. Рассмотрим в качестве примера эллипсоид в трехмерном пространстве х' у' гй —,+ —,+ —,=1 (а, Ь, с> 0), т. е. множество точек (х, у, г), удовлетворяющих уравнению (1). Обозначим зто мйожество через В. Это ограниченное множество, потому что для любой его точки (х, у, г) выполняется неравенство ! «й уй гй хй 1 ув+гв<ай ~~ 1 1 ) где ай~ай, Ь', с'. Оно также замкнуто, потому что если задать произвольную последовательность точек (хй, уй, гг)чВ, стремящуюся к точке (х„у„г,), то зта последняя тоже принадлежит к В, Ведь нз равенства к+уй+ й 1 (Ь 1 2» ''') х1 у3 4 зй после перехода к пределу при Ф- оо следует равенство показывающее, что (х„ у„ г,) ~ В.
Рассмотрим теперь более обширное множество А, состоящее из точек (х, у, г), координаты которых удовлетворяют неравенству «в уй гй — + — + — < 1. Множество А, очевидно, тоже ограничено. Оио и замкнуто, потому что если (х„, у„, гв)ЕА (а=1, 2, ), т. е. — + — + — <1 хй уй гй ай зй ай и (х„, у„, г„) (х„у„г,), то, очевидно, т. е. (х„у„гй)~А. аэ) гл. в.
еьакции мчогнх переменных Ь свяан с атим интересно рассмотреть еще трети(е пример множества А' точек (х, р, л) с координатамн, удовлетворяющими строгому неравенству хз уз аз — + — + — <1. (3) Множество А' открытое (см. 5 8.3), оно не замкнуто, Возьмем, например„последовательность точек (иа, 0„0), где из стремится к числу а, строго возрастая. Тогда (и , О, О) ~ А' (л ), 2. ..,) и (а 0„ 0) (а, О, О).
Однако предельная точка (а. О, О) не принадлежит к А'. Рассмотренные примеры легко обобщаются. Пусть на всем пространстве Рт„задана непрерывная функция Р (х) Р (хь ..., х„). Тогда множество В всех точек х (хь „.-, ха), для которых вы. нолииется равенство Р(х) Р(яь °" л) С (ч) Ншр(ха)=Р(хс) С, Ьь.е Но тотал ха~В, з. е. миояшство В замннуто. Подобным образом множество всех точек х, удовлетворяющих неравенству Р (х) ~С„ где С вЂ произвольн число, а Р' †функц, непрерывная на )с„, замкнуто, потому что из соотношений Р(х") ~С (а=1, 2, ...), ха хз вследствие непрерывности Р на )сз следует: Р (ха)~С, В силу сказанного л-мерный йтлипсонд л Е'— хь ь =! (аа)0) ,, И( (б) есть замкнутое множество в )т .
Замкнутым множеством в )юе является также л-мерный объемный зллипсоид — ь1 хз (б) оа где С вЂ” произвольное число,. замкнуто. В самом деле, может случиться, что нет вовсе точек х, удов. летворяющих равенству (4), т. е.  †пуст множество, но пустое множество замкнуто. Пусть теперь В' не пустое множество н некоторая последовательность точек (х"), принадлежащих к В, сходится к точке хзЕД' (если и состоит даже ае одной точки хе„ те можно уже построить сходящуюся последовательность точек, принадлежащих к В, а именно, (хз„хз, -...)).
Тогда Р(х") =С (а=1, 2, ...), и в силу непрерывности Р' в точке ле $ а.и. ВАмкнутОЯ инО1кествО Однако множество ~; — <1, 4 , 4 которое естественно назвать л-мерным открытым объеииыи ьтлшь ошщвм, не замкнуто. В этом можно убедвтьса. рассуждая, как а ааучае формулы (3). Это множество открытое (см. б 3.3).
Пусть Л есть произвольное множество, прииадлежшцее и Вэ, и лэ — произвольная точка Аэ(Л~ Р„, хэ~)уэ). Может быть толь. зю три взаимна искыочакацих друг друга случаю 1. Существует шзр (гю (опкрытый) с центром в точке лэ, полностью принадлежащий к А (Ух~г= А). В этом случае хэ по оп. ведгщению есзь анртрглаэя глазка лновигспыа А .(см, б 8.3). .2.
Существует шар Ух~ с центром в ьг» хг, все точки которого пе принадлежат к А(У» г: Аэ",Л). В эхом слУчае хэ по сз(ределеивю есть ымшвяа пючха згаогкэ. ,сава А. 3. В любом шаре Ухг с центром в (7 г мг хэ имеются точки, принадлежащие и не 1 принадлежащие к А. В этом случае л" по определению есть граничная щечка множества А. Множество А' всех внутренних точек множества А вззыаается ошхрьшым Рис. 97. лдрол А. Это — открытое ьшожестао (см. $8.3).
Если А' ве пусто, то каждую точку А' мвжио иокрыхь шаром с центром в ней, полностью принадлежащим я А. Если А'— пустое множество, то ово формально считается открытым. Множество Х в дА всех граивчнаш точек А называется зраницгб ллоаггстаз А. Это — замкнутое .мвсакчстио, потому что, если ха хэ и ха~В(3=1, 2, ...), То всякий вткрытый швр Ухг с центром а хэ содержит в себе некоторую точку х*. Последнюю можно покрыть шаром У э с центром в ией, полностью нрниадае>хащим к Уае (У„а с- У» ). Но в У з имеются точки, принадаежащие и ве принадлежащие к А, но тогда н в Уэ~ имеются точки, прннадлииаацие и не принадлежащие к А. Слежшательно, леЕз. Множество А" воен инепнщх точек мнишека А, ечевидио, открытое. Граничные точки Л могут прш|адлежать и не принадлежать к множеству А.
На рис. 97 множество А г- Яз состоит из точек (хн хэ): ха+ха ~1, ха~О; ха+ха < 1, хт > О; ха=ха=!. Ясно, что А' — внутренность круга радиуса единица с центром и начале юирдвнзт; à — точки окружности хзэ+хээ=1 и точка (1„1); А — это асе точки вне окружности единичного радиуса, эа исключением точки (1, 1). Здесь правая половина окружности ие прияадле.
жит к А, но является частью гранвцы Г. Отметим, что данное множество А ве является ни открытым, ни замкнутым. Итак, если задано произвольное множество А ~ Вэ, то но отношению к нему пространство )7э можно представить в виде суммы 332 гл. ь фкнкыии многих ггеоеменнык множеств, определенных выше, попарно пе нересекающнхся. )(аз А'+Г+А"» Если в качестве множества А рассмотреть в мерный замкнутый объемный зллкпсовд (3), то А' есть открытый обьемный аллнпсовд ()), а Г есть аллвпсонд (5). Если А-открытое множестаз, лю г(йчА вамкнувие, а одран»- но, В самом деле, пУсть А-откРытое» и пУсть хл - хз, хаЕ ггн~,А.
Если бы точка хз принадлежала к А, то в снлу того, что А — открытое множество, нашелся бы шар Ув» (о центром в хе), полностью принадлежащий к А. Но зто невозможно, потому что в Ув» имеются точки х", которые прннадлежат к !~„'~А. Таким образом, хз~ йи»чА я Я„~А замкнуто.
Пусть теперь А замкнуто н точка хоЕ)(„~А Есле бы точка хе была граничной точкой А, то в любом шаре К» с центром в хв были бы точки А. Тогда можно было бы построить последовательность точек х" ~А» сходящуюся к хе. Но тогда вследствне замкнутости А точка хе йрннадлежала бы к А, что противоречит предположенню, что ло~й»в'ч,А. Мм доказвля, что произвольная точка хе~ге„А есть внутренняя точка йп~А, т. е, что ЯоччА-откры* тое мйожество, Множество А+Г называется замыканием А н обозначается таю А А+Г. Очевидно Аг+Г А+Г, потому что, с одной стороны, А' г- А, в, следовательно, А'+Г сц ~ А+Г, а с другой, если хЕА+Г, то лабо хщГ, и тогда х~А'+Г, либо х~А нх~Г, но тогда хЕА'г" А'+Г. Далее, А А+à — замкнутое множество, потому что внешность А+ Г = А'+ à — открытое множеспю. Такнм образом, чтобы получать А, надо добавить к А все ве принадлежащне к множеству А его граничные точки, Еслн А замкнуто, то А=А+Г А, . т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
