Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(3) ЗОО гл. в. пункции многих пвнвмвннык Кроме того, по условию Д„непрерывна в точке (х„уо), поэтому из (3) имеем озхаФуй(хм Уа)1=)т'Кх(хо Уо)+з1~ (4) где е- О при й О. Из (4) следует, что Совершенно аналогично, пользуясь непрерывностью Г в точке (х„у,), доказывается равенство дна (аха 1(к, Уо)1 !пп „, )х (х Уо) (о) На основании (5) и (6), в силу равенства (1), заключаем, что утверждение теоремы верно. Замечание 1. По индукции легко распространить эту теорему на любые непрерывные смешанные частные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования.
Например, 3 а меч ание 2. Если условие непрерывности отсутствует, то смененные производные могут быть различными в точке Ро, Рас- смотрим функцию )(х,у) =-à — т, если хо+узю0 и)(0, 0) О. хо+у Легко подсчитать, что хо+Охаро ) (х, у)=у — при хо+у' Ф 0 (хо+ уз) о ) (х, О) †)(О, О) к о х хо — уо 1 (х,у)=хо о о о прв ко+у'Фо и ( (О, О)=0„ л ' (хо+ уо) о Далее, по определению, ) (х, О) — ) (О, О) (О, 0) = Пгп и = 1пп †.
= 1, ха х х о х )'„(о, у) — 1',(о, о) о ) „(о, о)= пгп — = пю — =о, ух $ В.о. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 307 т. е )'„', (о, о) и: 1",„(о, о). Отметим, что честные производные 1 о и ~„х разрывам в точве 10, 0), . ха+ бхоуз — Зхоуч например, /ех (х, у) = ',,з при хо+уз Ф О, откуда (х +У) видно, что Ьнп р„(х,у)= — ~ 1", (О, 0)=0. 1 х о х Можно еще ввести понятие производной по и правлению.
В случае функции от одной переменной оно не употребляется. Пусть ю=(оз„, взв) есть произвольный единичный вектор. Производной от функции 1 в точке (х, у) ло направлению вз называется предел д) р 1(а+еых, У+(ыв) — ((х, У) о ~>о (если ои существует). Подчеркнем, что при вычислении этого предела предполагается, что ( стремится к нулю, принимая положительные значения, поэтому можно еще сказать, что — ' есть правая производнан в точке ( =() д( (х, у) до1 от функции ~(х+йо„, у+ йо ) по Г. Можно, как в случае фуйкций от одной переменной, говорить о правой и левой частных производных по х.
Надо учесть, что производная по направлению положительной оси х совпадает с правой частной производной по х, однако производная по направлению отрицательной оси х имеет знак, противоположный знаку левой производной по х. й 8.5. Дифференцируемые функции Для простоты будем рассматривать трехмерный случай; в и-мерном случае рассуждения аналогичны.
Случай и=1 был специально рассмотрен в 4 4.7. Пусть иа открытом множестве () ~ )1(в (определение открытого множества см. 4 8.3, мелкий шрифт) задана функция и=)(х, у, з), имеющая в точке (х, у, г) ~ б непрерывные частные производные первого порядка. Отсюда автоматически следует, что эти частные производные суще- зов ГЛ.
Е. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПВРВМВНИЫХ ствуют в некоторой окрестности (х, у, г), хотя, быть может, они в точках, отличных от (х, у, г), не являются непрерывными, Рассмотрим приращение ! в (х, у, г), соответствующее приращению (Лх, Лу, Лг), где ~ Лх~, )Лу(, ) Лг ~ меньше б и б достаточно мало, чтобы точка (х+ Лх, у+Лу, в+ Лг) не выходила из указанной окрестности.
Имеют место равенства (пояснения ниже): Ли !(Х-(-ЛХ, у+Лу, г-)-Лг) — 7(х, у, г)= (1) 7(х+Лх, у+Лу, г+Лг) — 7(х, у+Лу, г+Лг)+(2) +!(х, у+Лу, г+Лг) — !(х, у, г+Лг)+ (3) +!(х, у, г+Лг) — 7(х, у, г)* (4) 1„'(х+01Лх, у+Лу, г+Лг)Лх+ +7„'(х, у+О,Лу, г+Лг) Лу+7;(х, у, г+О,Лг) Лг=*(5) (7;. (х, у, г)+е,) Лх+(7;,(х, у, г)+е,)Лу+ +(!;(х, у, г)+ез)ЛХ (6) ~!к(хэ ут г)Лх+!р(хэ уа г)Лу+Р~(х! у г)Лг+о(р) (7) (Р-О), е ™ О < Оо 0„0 <1, р )!Лх'+Лу'+Лг', еы е„е, О (8) (р-О).
Переход от (2) к первому члену (5) обосновывается так. функция !(з, у+Лу, г+Лг) от $ (при фиксированных у+Лу, г+Лг) имеет по условию производную(по $) на отрезке (х, х+Лх|, и к ней применима теорема Лагранжа о среднем. Аналогичные пояснения ко второму и третьему членам (5). Переход от (5) к (6) чисто формальный: мы положили, например, 1;(х+ОГЛХ, у+Лу, г+Лг) 1„'(х, у, г)-(-е.
Но не формален здесь факт, что е,— О при р- О. Он следует из предположенной непрерывности 7; в (х, у, г). Наконец, переход от (6) к (7) сводится к утверждению, что имеет место равенство Лх+е,бу+е,Л =о(р) (р О). В замом деле, так как ~ЛХ~,|Лу~, ~Лг~~р, то при р — О ) е,Лх+ е,Лу+ е,Лг ~! р е ~ е, ~+ ~ е, (+ ~ е, ~ - О, Мы доказали важную теорему:. Теорема 1.
Если функиия и-! имеет нвпрврывныв частные производные (первого порядка) в точке 1х, у, г), $8.8.,диФФеРвициРувмыг Функ!8ии то ее приращение в втой точке, соответствующее достаточно малому приращюшю !'Лх, Лу, Лг), можно записать по формуле Ли=-у-Лх+ ! Лу+д Лг+о(р) (р — ~0), (9) р =- у'Лх'+ Лд'+ Лг', еде частные произвосные взяты в точке (х, у, г). Так как значения частных производных в правой части (9) не зависят от Лх, Лу, Лг, то из условий теоремы 1 следует, что приращение ! в (х, у, г), соответ.
ствующее приращенщо (Лх, Лд, Лг), может быть записано по формуле Ли = АЛх+ ВЛу+СЛг+о(р) (р — 0), (10) где числа А, В, С не зависят от Лх, Лу, Лг. Сделаем следующее определение: если приращение функции ! в точке (х, д, г) для достаточно малых (Лх, Лу, Лг) может быть записано в виде суммы (10), где А, В, С вЂ” числа, яе зависящие от Лх, Лу, Лг, то гово. рят, что функция ) дифференцируема в точке (х, у, г). Таким образом, дифференцируемость функции !" в (х, у, г) заключается в том, что ее приращение Л! в втой' пик!хе можно записать в виде суммы двух слагаемых: первое слагаемое есть линейная функция АЛх+ ВЛу+СЛг от (Лх, Лд, Лг) — она называется главной линейной частью приращения Л1, второе же слагаемое вообще сложно зависит от приращений Лх, Лу, Лг, но если стремить их к нулю, то оно будет стремиться к нулю быстрее, чеи )/лхй ! луй ! лг8 Легко видеть, что если функция !" дифференцируема в точке (х, у, г), т.
е. представляется равенством (10), то она имеет в этой точке частные производные первого порядка, равные д! д! (11) дх ' дг ' де Например, первое равенство (1!) доказывается так. Пусть приращение ~ в (х, у, г) записывается по формуле (10). Если считать в последней Лх=й, Лу=Лг=0, то получим равенство Л„„и = Ай+о(й) (Ь 0). После деления его на й и перехода к пределу получим 11гп — "' = — =А.
а,ьи д! ь в а д Згб гл. а оннкцин многих пепемвнных Из сказанного следует Теорема 2. Для пюго чтобы функция ) била диф4вренцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в мной т<игке чистные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывном частные производные.
Напомним, что для функции Г одной переменной существование у иее производной в точке х является необходимым и достаточным, чтобы она была дифференцируемой в этой точке. Из (10) с«сдует, что если функция диф4еренцируема в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке.
Пример 1. Функция )(х, у, г), равная нулю на координатных плоскостях х=О, у О, г=О и единице в остальных точках Я„имеет, очевидно, частные производные, равные нулю в точке (О, О, 0), но она, очевидно, разрывна в этой точке и потому не может быть в ней дифференцируемой. Таким образом, одного существования частных производных в точке недостаточно для диффсренцнруемости и даже непрерывности в этой точке. Отметим отличие многомерного случая от одномерного.
При «.= ! свойство днфференцнруемостн ) в х записывается в виде равенства Л)=АЛх+о(Лх), следовательно, если А мо, то остаток стремится к нулю прн Лх О быстрее главной часта, При «>! зто уже не так, например прн «=3, каконы бы нн были числа А, В, С, одновременно ве равные нулю, всегда можно стремить Лх, Лр, Лх к нулю так, чтобы при атом постоянно выполнялось равенство АЛх+ВЛу+СЛх=о, но тогда в (!0) остаточный член о(р) восбше больше главного. Впрочем, если мы заставим Лх, Лу, Ла стремиться к нулю так, чтобы выполнялась пропорциональность Лх:Липах= А;В:С, то тогда главная часть прирашсния будет величиной, имеющей строго порядок р, и остаток будет стремиться к нулю быстрее главной части.
Пример 2. Функция и=)х((у+1) непрерывна в ди точке (О, 0). Однако легко видеть, что — не существует в этой точке. Следовательно, и ие днффереицнруема в точке (О, 0). Если функция Г дифференцируема в точке (х, у, г), то главная линейная часть ее приращения в этой точке называется еще диф4еренциалом Г в этой точке, состветанвующим приращениям (Ьх, Ьу, Ьг) независимых переменных. Он записывается так. й) =-хЬх+ ф-Ьу+ — Ьг. д) д) д!' О других обозначениях мы будем еще говорить в 9 8.9.
з кб. Пгименениа диФФБРенцизлА зы й 8.6. Применение дифференциала в приближенных вычислеяиях Рассмотрим для примера функцию х=((х, р) от двух переменных„которую будем предполагать днфференцнруемой. Мы хотим вычислить зту функцию в точке (х, у), где х=~а„и,а,..., и- ~ р.ФА Приближенные значения этих чисел запишем в виде конечнык десятичных дробей х + Лх *сбр~югиц Фа р+ьи-~К.РА "р Таким образом, имеют место приближенные равенства хжх+бх, яжд+Ьу с абсолютными погрешностями приближения, удовлетворяющими неравенствам ) Лх) ~ 10 ", ) Ьр ) ~ 1О г.
Подставив в функцию 1 вместо х, р соответственно х+Ьх, у+Ар, получим приближенное равенство г(х, у) ж~(х+Ьх, р+Ья) с абсолютной погрешностью ) Ьг ) ! 1(х+ Лх, у+ Ьр) — ((х, д) ~, которую прн достаточно малых Ьх, Лу можно приближенно заменить дифференциалом функции 1' в точке (х, р): ах + 3~К Отсюда получаем неравенство ) б х ) ~ ~ ф1 ~ ~+ ~ ~~ ~1р ~. На самом деле это неравенство приближенное, потому что мы получили его, пренебрегая некоторой величиной, правда, значительно меньшей, чем Лх, Лр. 3!2 ГЛ. 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
