Гоноровский И.С. Основы радиотехники (2-е издание, 1957) (1095421), страница 13
Текст из файла (страница 13)
лаяв р(х) зх=), мав ' ев х ~ хр(х) |ух. (2.74) хв= ~ хвр(х) |ух. (2.75) чз = (х — х)в. к (2.76) Рис. 2.28 ез =- хв — (х) в. (2,77) 71 70 При,любом непрерывном Распределении существует раве вв где х„„„и х„„„— нижний и верхний пределы возможных зва ченнй. Это очевидно, так как имеется полная гарантия (стопроцент.
ная вероятность) того, что случайная величина х принимает одив нз значений в пределах х„„ < х<хе„,. Зная плотность вероятности р(х), можно определить основные параметры случайной величины: среднее статистическое значение среднеквадратичное значение и средний квадрат отклонения от среднего значения (дисперсия). В теории вероятностей доказываются следующие положения, Среднее статистическое значение случайной величины (нлн „математическое ожидание"): Среднее статистическое значение квадрата случай.
ной величины Средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения (дисперсия): Соотношение (2.76) может быть приведено к виду: аз = хи — 2хх+ (х)в. Учитывая' ), что 2 тх = 2(х)', получнм В выражениях (2.74) — (2.77) черта над случайной величиной обозначает усреднение по системам. Это нужно понимать следующим образом: повторяя много раз случайный процесс л(1) з) Величина х уже ие является случайной величиной и при усредиеви произведения ля может рвзсматриветься яви ивстоиииый множитель. дый раз значение х=д (гз) в момент г„получим и опред независимых случайных величин х.
Усреднееляя кажды и леде азан ым процессам при числе испытан1111, стремяовательность н вие х н н х' по указан тн приводит к выражениям (2 74) (2 77) щемся я к бесконечное |ражений (2.74) — (2.77) для характеристики слуопределяется следующим свойством стационарных ажность выра к сигналов оп чвины . еднение случайной величины по сис евро лен тно усреднению случайного процесса цесов: Усред мам м зквивале о времени.
по На основани нии этого свойства в случае стационарного случайса выражение (2.74) можно применить для определения ного процесса в составляющей сигнала, т. е. среднего по времени постоянной с зиачення е 1, ,1), а выражение (2.75) — для определения средней мощности сны|ада. псно также, что выражение (2.77) определяет среднюю мощность ,„луктуацнй в виде разности среднего квадрата и квадрата постоянной составляющей функции д (1). Энергетический спектр йу(ье) совместно с плотностью вероятности для л(г) (или для параметра этой функции, представляющего собой случайную величину) полностью характеризует случзйный сигнал.
В 2.(2. Совокупность гармонических колебаний с случайными фазамн Начнем с простейшего сигнала — гармонического колебания: е(г) =Ез1п(ьес+Р) =Евш Если фазу ). колебания рассматривать как случайную величи"у Равновероятную в интервале от 0 до 2п, то и мгновенные значения е, соответствующие случайно выбранным )., образуют посл оследовательность случайных величин. быть легкость вероятности )з(е) для случайной величины е может и'ть определена следующим образом. Выделив полоску в|е, ограниченную значениями е и е+17е 226), на основании выражения (2.73) можем считать, что вероятность попадания е в полоску се равна р (е) (е.
стороны, для того, чтобы е приняло одно из возможных значен„» в области е и е+ссе, фаза Л должна быть заключена в одном н ДвУх интеРвалов сСЛ. нз Ввиду равновероятности фаз в интервале от О до 2п верон . ность попадания случайной фазы в интервал сссЛ очевидно рав„ отношению отрезка 2ссЛ к 2т.. Отсюда следует, что р(е) все= — „° ДЛ Таким образом, плотность вероятности 1 ЫЛ р(е) =— ее Поскольку при е=ЕзспЛ, !се 3/ се !3 — = Е соз Л Е сеС 1 — ( — ), сь (,Е) окончательно получаем р(е) = — ° 1 1 В 1 (') (2.78) или (2.78") График р Я представлен на рис. 2.29. Формула (2.78) и рнс. 2.29 характеризуют, в частности, распределение яркости на экране электронного осциллографа при подаче на отклоняюшне пластины гармонического колебания, не синхронизованного с часто.
и. Зависимость ЯРкости свечениЯ экРана от веРтикальрззвертки. ави е „го отклонен'ся сия Е(у) совпадает с зависимостью р( — ). Особо слеДУет дует подчеркнуть независимость р (е) от частотьз атистическое зна ение случайной вели шны в оот ф-лой (2.74) определится выражением: зетствни с ч'"! +в +в "'-' 1 -(-;) ( ер(е) ве = — ~ Ие= — =- — с((ЕзспЛ) =О. (2.79У )сС 1 — етеЛ Л вЂ” к!2 П~д~бным же образом находим дисперсио: +в Д! аз= (е — е)з езр (е) с(е = — ° (2.8О) 2 Полученные выражения для е и аз совпадают с результатами усреднения е(с) и ез(с) по времени.
Зто совпадение, являюн!еесв не случайным, вытекает из упомянутого выше свойства стационарных случайных процессов. Рассмотрим теперь совокупность гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и частотзми, но со случайными фазами: е(с) =Ех, сов(ыс+р;). (2.81) с ! Как и ранее, фаза рс считается равновероятной в интервале. от О до 2к. Величина е, соответствующая какому-либо фикснрованному моменту времени с, зависит рт соотношения фаз р слагаемых энда Есоз (Яс -(-рс). Если многократно выде!сссть момент с каждый раз при новом ~~учайном соотношении фаз, то получаемая при этом последователысость случайных величин е(с!) будет обладать вероятностным Распределением, отличным от распределения вида (2.78). Задача сводится, следовательно, к отысканию закона распределения суммы „ (2.82). с 0 Рнс.
2.29 е(сс) = ~ес(с„рс) с-! "Рн заданном распределении для слагаемых ес(с„~с). ыв Эта задача в теории вероятностей решается с помощ,, центральной предельной теоремы, доказанной русск,„ кич математиком Ляпуновым А. М. Согласно этой теореме распределение для суммы неза в ис„ м ы х случайных величин с увеличением числа слагаемых, пр„ некоторых оговоренных ниже условиях, стремится к так пазывае, мому нормальному (гауссовому) закону: (х-й)' р(х) = — е 1 )/2~а где х — математическое ожидание, равное сумме математических ожиданий слагаем.<х, а о' = (х — х)' — дисперсия, равная сумме дисперсий слагаемых. Графики функций р(х) для некоторых значений а представлены на рис, 2.30. Условия применимости центральной предельной теоремы сво. дятся к следующим: число слагаемых велико, слагаемые являются величинами одинакового порядка.
Из этих двух условий вытекает и третье: каждое из слагае- мых мало по сравпени<о егх/ с суммой. 7 Упомянутая теорема йе справедлива при любом 27 законе распределения а для слагаемых. Если дю 6.7 же распределение самих слагаемых подчинено 47 нормальному закону, то, приведенные выше ограничения отпадают. Ины. рис. 2.20 ми словами, при сложе- нии нормально распределеннных и независимых случайных величин сумма распределена также по нормальному закону при любом числе слагаемых и при любом соотношении их дисперсий. Применительно к выражению (2.82), учитывая, что в соответствии с ф-лами (2.79) и (2.80) значения е,=О, е,'= —, можем на писать: е=е ° е,=О, ез=й е'= А — ° 2 Отметим, что последний результат совпадает с усредненным (по времени) квадратом суммы гармонических колебаний с неодя з 2 )О), Это и естественно, поскольку неновы частотами отнопзепни совокупность гармонических колеба- гегическ<зм в э"ерг и частотами эквивалентна такой же совокупности ебаний с одш<аковь<мн ~во~~та~~ но с слу' с разными част т гармони" <<опущение о случайности фазы вообше исключает ы колебания на величину, вносимую данной совлив .- общую сУммУ.
Это значение опРеделаетсЯ толы<о ста аспределен я Ч я ела аемых колебании который не 3' т от частоты (см. ф-лу (278)1. Из всего х его хода приведенных вьппе рассуждений, а также из т 7рого условия применимости центральной предельной теоремы что для приолижепия распределения к нормальному -ледует, что сделанное вь ое выше допущение об одинаковости амплитуд отдельных слагаемых мых вовсе не обязательно. Достаточно, чтобы в составе е(<) отсутств ствовалн гармонические колебания с дискретной частотой, сонзмер измеримые по амплитуде с среднеквадратичным значением )<ее(~), а фазы фазы различных составляющих были взаимно независимы.
3 2.13. Хаотическая последовательность импульсов Пусть задана случайная функция е(г), образованная беспорядочным повторением импульсов е(<) произвольной, но одинаковой формы, в промежутке времени Т, Говоря об импульсах, мы имеем в виду произвольные функции, удовлетворяющие требованию Рис. 2.81 абсолютной иптегрируемости (иными словами, обладающие копечиои энергией). Модуль спе8т(7альной плотности <г(11), одинаковый для всех импульсов е(7.— г,), независимо от моментов нх возникновения, предполагается заданным.
Моменты времени г, считаем слу'<айными н равновероятнымн в заданном промежутке Т (Рис. 2.31). Таким образом, в выражении для спектральной плотности <ьго "мпульса а.(й)=а(<1) е ' "=<7((2).е (2.84) Ф а 3, может р,„,патри.а.ься как случайная величина, равно- Фаза ее о. Роятйая в интервале от О до 2к. , В пределе при Т -ь е получим а! = К ~ г О (О)~ . гп ™~~ е (2.88) (2.86) ав= !пп — ~ [е(г) — е(!))йй.
т) (2.89) ие нитере- паследовв1 т = 1 И (г!) =$=2Кв[О(а))в. (2.87) 1 '(О)-К! (1 Желательно установить связь между энергетическим спект„ ИР(1!) Результирующей случайной функции е(с) и спектрал альв ! плотностью О (й) элементарного импульса и (с) при задан среднем за 1 секунд числе импульсов К. анас С этой целью обоазуем для каждого е-го импульса пери„ ческую последовательность, взяв за период длину интервала Т одн, ги Амплитуда состав,пяющей с частотой и — этой последовате Т ельпости [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
