Гоноровский И.С. Основы радиотехники (2-е издание, 1957) (1095421), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(2А8| гн, . пс! р(1?) =' - — 'чяп —, ° ! 01 (2.53) о(«) =0 при «фО о («) «?« =1. (2.54) , п|н й?„р(В) = (, .— —,соз( — — „)~' о " ', ('.|)| 2 '| сокращается, а начальное значение г'((?) (т. е. при «? =0) возрасзает В пределе прн -, — ьсо и спектр Р(1?) вырождается в спектр «ч«(1?) скачка при « =-О. Прн укорочении импульса (и постоянстве амплитуды) Р(!?) 2е падает. В пределе при т -ьО точка й?« =- †, соответствующая 7«(!?) =- О, удаляется в бесконечность н спектральная плотнос|ь бссконес««ю малая по величине, становится равномерной в полосе частот от 0 до и. Если одновременно с уменьшением т увеличивать амплитуду,4 1 по закону —, т.
е. так, чтобы площадь импульса оставала| ь постоянной, то согласно ф-ле (2.47) спектральная плотность, одинаковая для всех частот, окажется равной Ас. Таким образом, приходим к па!з)«тию об единичном импульсе, под которым подразумевается предел при т — эО функции, заданной условиями: «'(«) =0 прн «<О Часто единичный импульс определяется как функция Ь(«), о|- личная от нуля лишь при «=0 Площадь такого импульса равна единице и, следовательно, спектральная плотность для всех частот также равна единице. Особенно удобно пользоваться единичным ил«пульсом прп исследовании действия коротких (по сравнению с постоянной времени цепи) импульсов па линейные системы. в 2.8. Гармоническое колебание в заданном интервале времени Пусть функция времени 7" («) задана в интервале 0 < «< ° выражением 7(«) =сов(1? «+Р) =---е'! е'т )+ — е ' ' + !.
(2.49) 2 2 выражения (2.49) в (2.26) н интегрирование дают „дстановка выра | ормулу для спектральной плопюсти: ,„,дующую | ор' В частном с.ч й= 2 случае Рс = — — (синусоида). ф-ла (2,50) принимает он?и — |не П вЂ” !Пе ! пе 3!внес р(з?) =- — -' — 1 — е "соз«?о-.! — — —;; —,; — (2.о!! о "о Вта формула еще больше упрощается, если длительность пмпульса -. -. кратна периоду высокочастотного заполнения Т,. т. е. 2- —..=.иТ =-- н . '|« ' «д |де о — целое положительное число. Вэтом случае яп«?от=О, а соз(?от=), ввиду чего можно написазь.
Р((т) .— — — о — (! — е ) (2 52) а — | в -. пс Учитывая, что модуль выражения 1--е 'равен 2зш —, находим модуль спектральной плотности Из ф-лы (2.51) нетрудно также получить спектральную плотность для однополупериодного импульса «'(«) =з!и!? «с длитель'к|стью т= — ' (рис. 2.2!), Подставив -.=,', получим ь пе В(ы) ' е Н- Таким образом, модуль спектральной плотности рассматриваемого импульса определяется выражением (2.59) бз б б 1 йй Рис.
2.22 Р( ) Р1("))+Рй( ") =Р1(('б) (1+ е ) = = 2сой — Р ((б) е~' " ', (2.60) где (2.56) (2.57! 7"(1) =е- сов 1ббб прн б- К т" (1! = 0 прн бсО полччим йпР(И) = =,'", = †>О пй 1( 1 1 =21!а-п,+Я+а,~' ( ' бд 1Д ГД С! Рис. 2.23 й ьв График !2 Р(ьй) для однополупериодного импульса изоб а на рис. 2.22 С увеличением числа периодов в отрезке -. спектр гр группа ется все в более узкой области частот вблизи йб.
Это видно „' то видно и р... построенного для и= !О. При -.— йэ получается крунк. ис. 2.23, ция, абсолютно не интегрируемая. Воспользовавшись, как и в слу. чае единичного скачка (см. и 2.7), множителем сходимостп е-, получим затухающее колебание: ,б(1) =е-из!пЯ 1 прн с-. 0 ) б(1) =О при с сО ) !'!о ф-ле (2.26) находим Р (12) й 1)ри с — 0 получим Аналогично, если г" (б) задана условиямн: В бщем' случае для б() = (11 1+р) при 1> О, У(1) =О при с сО спект ран~ ная плотносзь определяется выражен '.и: йайойЗ айй!йй'б Р(11) =— пй ий цй яй й й Это выражение совпадает с первым слагаемым правой части ф.лы (2.50).
6 2,9. Спектральная плотность группы равноотстоящих импульсов Рассмотрим сперва две одинаковые функции 71(1) и уй(1) = у;(1,'-Т), разделенные интервалом Т (рис. 2.24). При одннаковых модулях их спектральные плотности будут отличаться фазовыми характеристнкамв, В соответствии с 2 2.6 можем написать Р, (йб) = Р (11) е , рассматривая группу 7 (1) и 71(1) как один сигнал, получим для спектральной плотности следующее выражение: йшпГ б ( ) = 1+ сей я Т ' Рис. 2.24 бакин образом, суммирсвание сплошных спектров двух одн. "иковых функции; разделййных интервалом Т, приводит к изменению ю модуля Р1(11) го закону 2соз —, н фазы на угол ф(Й) = пт 2 =- агс1 йнй и Т 1+сойЯТ Особенно простой результат получается в случае двух единых импульсов, когда Рй(()) = Рй(Ы) = ! и модуль спектральной "лотности Р ((й) изменяется (рис.
2.25) по закону 2 ~ соз — !. Это 2 ласти ча р едливо для любых функций, если рассматривать Р(11) в обмерной. йастот, где спектральная плотность Р (11) близка к равно- 1 ответствии с выражением (2А() определяются формулой: Е А„=- - 7" (г) е " ~с [ в ~я[ /уэ ' 'й~ ~~.
Связь между А и Р((~) устанавливается ф-лой (2.28) рве. В аа Но' в соответствии с ф-лой (2.27) Р (Я) е' Ж = 2 и[ (г). Следовательно, [Р(2)]з сИ= 2п ~ [У(с)]з с[г А =- ~ [ю'(с)]з~й, н окончательно С увеличением числа повторяющихся через одвнаковые и межуткн функций модуль Р(Я) все более и более увеличива про- 22 ваетса вблизи точек 1з = н ° —. При бесконечном повторении функци т' ну(,) с периодом Т (влево и вправо от с=О) получим периодическу последовательность„которую можно представить рядом Ф ескучо чрье. Коэффициенты этого ряда в со. газ) гд 0 2АО. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала Пусть протекающий в электрической цепи ток является непериодической функцией времени.
Энергия, выделяемая в активном сопротивлении за все время действия этого тока, пропорциональна величине Так как функция г(г) предполагается абсолютно интегрируемой (см. э 2.5), то этот интеграл сходится. Выразим А через модуль спектральной плотности тока Р(й). Для этого поступим так же, как при выводе ф-лы (2.20) для случая периодического тока. Именно, представим квадрат модуля спектральной плотностц' в виде; ) 1 [Р(й)]а=-Рф)Р( Я), где Р(Я) определяется ф-лой (2.26), а сопряженная ей функция Р( — Й) формулой: Р( — Я) = ] 7" (г) е й и у(г) простирающимся от 0 до бескоПолагав, „, рчем [Р(й)]з в пРеделах от (2 = — — ~ до ' СЯ [Р(<,)].„о .
~Р(о)Г( а)Л)= „остами порядок интегрирования по с н г1, последнее выра жени запнсаГь в негьозько ннои форм СО <„~ЧГЛО. / Пу ~ /Гд'"'Ша]шь 1 [Р (О)]з,)[з ~ [Р([))]з Ы[з (".62) -~о -'СЯ о Эга форму)1а иногда называется теоремой Релея, а также равенством Парсеваля„ В отличие от выражения (2.20), ф-ла (2.62) определяет не среднюю мощность (которая для любой непериодической, абсол'отно интегрируемой функции равна нулю), а полную энергию, в"делаемую сигналом 7(г) за все время его действия. По энергии виду функции [Р (Й)]' можно судить о распределении (2.62 р "" в спектре непериодической функции, и поэтому ф-ла ) может быть использована для выбора полосы пропускания злектриче ннеэпе ги Рической цепи, обеспечивающей достаточно полное использованижних ча ергии сигнала.
В частности, прн действии сигнала 7(с) на фильтр |астот с затуханием, равным нулю в полосе частот от 0 до 42„ и равным бесконечности вне этой полосы, энергия на ны де фильтра равна >ях "1 и,х(г))'/~=-'- [р(и))'Ии, -со с (2.6 где /" „(с) — сигяал на выходе цепи. Тан, например, в случае злектродвижущей силы в виде пр„ моугольного импульса с амплитудой Е, действующей на вхп„.
фильтра с полосой пропускапия от 0 до ьвгм согласгго ф-ле (241 получим пь» и» /п«1 (ги)Я '"'(2/ 2П ° вы х в с Я» где х= — ° 2 Произведя и>гтегрированиеа), получим +О« с 2 в(пв-~~-~ [у (г))вг/г=Е~.с ~в((квас) — — - — ~ = 2 вмх я и, Ос "ф["-'-) (2.6ь5! и в -1» 'г'( 2 ) = . [ вв! (1>а т) (2.66) характеризующая исгюльзуему.ю часть энергии, изображена иа рис. 2.26. Из этого рисунка видно, что прн †,,'-" ) и, т. е. ггри 2и (в, > —, используется более 0,9 полной энергии импульса.
Аналогично устанавливается связь между я, и степемып использования энергии импульсов различной формы. в Яс ) Заменив сперва пределы О и —,— ив х, и» в также ппдстввив Мпв»= 1 1 1 — сов2х, 1-совах» 2 - 2 сов2х, пссле яятсгрироввиия получим — - — - — — †' ' + 2х, ' 2хв +в(2х,— в(2»>, ири х, — и О первое и четвврто. слагаемые ссрвщжотся в нуль в и»оров и третье лвюч (2.66!. Множитель йяс есть полная энергия входного импульса, вы. деляемая в сопротивлении, равном 1 олг. Функция и>» (г лг лг 2 Рис.
2.26 -"> 1 ,(г> )в ы ~ ~~/- е 4«пгг> )/2« — е в(х =- — =- (2.67! ц и» >« ../У 2 ! Где > ) (.—,=, — .-- ! е-ы,(х — >ш гегрпл вероятности. ( у'2«/=)/с !! оскольку полная энергия импульса (т. е. при ьах= ) Рави~ ~ (/(г))вас=- -=" Ф,(,) =- (г/ — ', то отношение эыеРг(ги в полосе » /,„ Я . 2«' »ч частот 0 до <>, к полной энергии определяется табличной Функцией >) ф ( гч ()/2«/' лйспввя >вплипв Ф (х! приводится в кинге м.
КЬ Сегвлв и К. д. Се'! (!с ° ~епдяевв, Пятили;жиые математические твилииьь ичд. АН (УССР, 1948 г. укачачисй е>-„' , ' '"" клипс для ч>(х! ппииятс опозивчвппв ссгх иисгдв (э (х! иввывв"" >'вк'кс ' ч>кс йуикцисй Лапласа или фуинпией Крампв. импульса полная энергия, равномерно распре- онечпо широкому спектру, очевидно, равна единичного по оесконеч делеинчн В полосе частот от 0 до гад сосредоточена энергия, песк нечности. и> пропор и циональная -„-. Это полож ожение может быть,1> нено на импульсы аспространен формы, но столь пронзвольн мало дл делаемой спектральнУю плоти до ас можно о считать постоянной и равво" вой площади импульса.
Б частности, для рассмотренного выше прямоугольного льса, при амс -: 1 ЭнеРгию выходного сигнала можно пв чв П считать пропорциональной величине —" — ' ° Для „колокольного" импульса (№ 9 в нижеследующей табли- це) и соответствии с ф-лой (2.63) находим: ОО Если длительность импульса определять по уровню 7(1), ра 1 ' Рав««с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
