Гоноровский И.С. Основы радиотехники (2-е издание, 1957) (1095421), страница 8
Текст из файла (страница 8)
гармонический анализ сложных периодических функций в сочетании с принципом наложения (см. 3 !А) представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных сист м нз прохождение сигналов. Ъ' " Если под г"(г) подразумевается периодическая электродвижущая сила е(г) на входе линейного четырехполюсника, характеристики которого известны, то для нахождения выходного сигнала достаточно учесть амплитудные н фазовые изменения, претерпеваемые каждой из гармонических составляющих сигнала прн прохождении через рассматриваемую систему. Оговоренное выше условие линейности цепи позволяет рассматривать прохождение каждой из гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.
П ст усть комплексный коэффициент передачи четырехполюсника, предсзавляющчй собой отношение комплексных амплитуд выходного и входного напряжений н определяемый характером четырехполюсника и способом включения генератора и нагрузки (некоторые общие свойства коэффициентов передачи реальных цепей рассмотрены в гл, б), задан в форме +оа а Д е~ л е(г) = ~ (2.
14) +л (2.15) — — (.с) )) — 1(ч %) представля1от е четырехполюсника. аким б ваи выходе сигнала через систему потре овия задачи о прохождении сиг шения з е ачи т Е на комплексный коэффициент перед лось только умножить ешение имеет практическую ценно сть Ясно, однако, что такое ре1 п и словии быстрой сходимости рядов Фурье. Между иные в оадиотехнике сигналгя этому тем, наиболее распространенные в „а о ве ения не отвечают, и для удовлетворительного воспроизведе условию не отвечают, и л ми овать большое число ф рмы сигналов обычно необходимо сумм р ом га'моник. Следует поэтому считать, что в у в сл чае сложных периодических сигналов ряды Фурье пригод~ гарма ны более для их анализа, чем для синтеза.
Способы, позволяющие обойти это затруднение, излагаются в Ч' 10.5. Ниже приводятся примеры разложения в ряд ур я Ф ье некото- П и тно ассматпивается Рых важных периодических функций. Попутно р вопрос о сходимости рядов и о влиянии фаз отд от ельных гармоник па форму сигнала. и 2.3. Примеры периодических сигналов 2 3 1. Последовательность прямоугольных импульсов (р св ( ис. 2.3).
дмплитуда импульсов равна Б, длительность равна и. Применяя () входе и сигнал и(е) на выходе Следовательи ю, сигнал е с иа вхо и на ~ ехполюсника, в соответствии с ф лой (2 3) йиого четыр я, определяются выражениям : и: и иннина наложения, о оси сновании прин К(1~) = (К(1П) ~ е"(и). (2. 13) -т -Ю' и Рис. З.З 3. и. с.
гаиоровоииа Тогда для учета амплитудных и <разовых изменений комплексная амплитуда каждой из гармоник эдс должна быть умножена ца К(1(е). еа 1 Ео = — = .,— Ес!с = Е! 2 Т / а (2, Š— здп д! Яд тн пп (2.3. (2.3.8) Е д — — — — 2Е . п" 1 -'у'2(! — созна с)=: здп "'-'; пп 1, д 2 (2.3.()) (2.3.4) 1 — соопи 5 !го = агс !ив 51ппи -. (2.3.5) ?т,ст 41 55 ф-лы (2.4), (2.5) н (2.б). находим среднее значение („постоян составляющую") амплитуду косинусоидальной составляющей п-й гармоники а„= т~ есозпз)дссГГ=- — -- (змдпзс с]'= 2 Е Т пи, о а амплитуду синусоидалыюй составляющей п-й гармоники — Еейпп!)дссГГ= — - - ° — (созп9 с]'= 'Т пи! -1 О= о Е =- -(! — созпзсдд).
(2.3!3) С помощью ф-л (2.7) н (2.8) находим амплитуду и фазу и-й гармоники .4 = - -]l(з!ппс411)о-,'-(! — сиз пс11з)5 = Подставляя найденные коэффициенты в ф-лу (2.2), получаем оо е(с) =Š— +- — ~~ — Р+-.,--'-;-- 1 1 (1 — оп!пи!с) — Т + — — с, —.— — — созна! + — г„- — д — з!ппЫ т~= 5=! 5 ! дд — ~.
- --х иоде 2 Мп — -— =Е, + — ~ 2 т . — - — — соз(пйдс — ф )~ (2.3.5) зованни комплексной формы Ряда Фурье с помощью П н нспользова )!) с азу находим комплекснюо дх!'дчитуду (2.1!! сразу — о 2 ) — ыд! 2 Е ( — 1пис]5 Т( Т 1п11!! а — Ее '541= —..., е а Т дед (з!ил Ы! т — ! ( ! — соз и '-)! 1)]. (2.3.7) '"П т-~- -т'~ -~ '+' -'2 -2 2 2 2 2 2- Рис. 2.4 Аргумент комплексной амплитуды определяет фазу ф„, совпадающую с выражением (2.3.5). При пном выборе начала отсчета времени (рнс, 2.4) функция е(с) является четной относительно с н для нее имеем: и Г . <> "5(1 2Е . и!.',! ЕГ 5)! Ь =-- -1созп!1 с] =О 5 —:дп( -1] 5Е— Поэтому тригонометрический ряд пр:шимает вид им!-.
со 51П— е(с) =-Š— '+ — 'д' — — — созп 5111 . .— — д Последовательность прямоугольных импульсов чабто встрерадиотехнических задачах. В дальнейших примерах Р~ссматриваются некоторые характерные частные случаи. 2 3 2 Поеледовипсельноспдь пря.дсоугольньсх импульсов при т = Т]2 (Рис 25). Этот случай часто встречается в практике. Например, ао 1 Ео= = Е' 2 2 а„=- пв 0 при п=2, 4,6, и ф„=-! при п=1, 3,5,... Рис. 2.6 ! 1 п 2à — 1' 1=1, 2, 3,, (2.3.14 2Е = — -- при и=3, 7, вп =0 при п=2,4,6, Ь„=О при любых значениях п.
Тзким о !р:!зом, получаем е(г) =Е) — +— ,г1 2 (г за в телеграфии при использовании кода Морзе в перерывах ме!и сообщениями передщотся одни лишь точки, длительность кото равна интервалам между знаками. ь котор„ Подставляя т = — в ф-лы (2.3.1) — (2.3.5), находим Г з)пня=О при лк!бых значениях п1 Ь„= . - (1 — соз п и) = . — при и = ! 3 5 2Е Таким б нм образом, при †". = — импульсная последова ельность (рнс. 2.5), кроме постоянной составляющей, содержит одни ли щь почетные гармоники: е(!) =Е( — + — з!п!?гг+ — в!пЗЫ!с+ — з!пбьезс+ ° ° ° )= 2 (2.3.10) !,аз., со где 2Ь вЂ” ! =п. При отсчете времени относительно середины одного из импульсов (рис.
2.4) получим косинусондальный ряд, так как по ф-лам (2.3.8); 2Н . в гй а„= — ' ейп п — = + — при и = 1 5, 9 пп 2 пп ю соз(1!с — — созЗР!с+ — соз54) е —...~= г, г Зв ! 5п л-! леность знакоперелсеннь!х прямоуеольных ' ' ов одинаковой Длительности (Рис. 2,6). Рад УРье дла Ф ье чя и.ипульс~ естся от выражения (2.3.10) о гсутствием это!' Фу . „„.-, Кроме того, так как в данном случае нкции отличаетс постояв ной составляюп!ей. мплитуда импульса, составляющая половину ° ез Е обозначена ампли полного скачка функции е(!) в точках с = О, то получим е(!) = 4н[~1по ! 1 --з!п311,!+ 1 +! з!п5ье г-!г... ~ (2.3.1 ) +5 Для четнои функции соответственно 4В! в (!) =- — '! соз г)! г — — сов 3 11!г+ 1 3 -1-1 соз5г!!! — .. ° ~,(2,3,13) 5 цз выражений (2.3.10) (2,3.13) видно, что в случзе прямоуголы|ых импульсов при т=Т~'2 амплитуды гармоник убывают по закону; Для получения формь импульсов, прнближающен ся к разрывной функции показанной на рис.
2 6 требуется суммирование очень большого числа гар моиик. Постепенное прнбли жение к этой разрывной !!! н к ! Ун кц ии с увел и ч ен ием ч псла учи тываемы х га рмо н ик показано па рис . 2 . 7 и!и ~яв — ) = пя — ', т) т Рис. 2.10 а амплитуды гармоник равными 2Е иьг 2ь ю иь т Т (2.3.! 5) (2,3.17) зэ Из этого графического построения наглядно выявляется ро высших гармоник в образовании скачка функции в точи с=0, т, 2с ... и т.
д. Чем больше число учитываемых га, точках гарма ник, т. е. чем шире используемый спектр частот, тем б олыпе получается крутизна импульсов на фронтах. Ср ванне гар низких порядков, наоборот, сильно искажает „верхушку" пульсов. „е х шку" им. 2.3А. Р '. А.
адиолокас(ионная последовательность сгрямоуго ь импульсов. Этот случай (рис. 2,3) характеризуется очень мальпс отношением длительноспс импульса к периоду повто. репия, т. е. —,.<!. Велнч- и- на, обратная этому атно. л шению 'т,уыт гт гтс згг лот получила название „сква г 1 ности" импульсов. В завигу сг. Г симости от назначения радиолокатора скважность Рис. 2.8 изменяется в прел~пах 200 †; 2500. Болыпая, по сравнению с дли гельностью импульса, вели. чипа периода повторения приводит к необходимости учитывать очень большое число гармоник.
Спектр в этом случае имеет вид, показанный на рис. 2.8. Расстояние между спектральными линиями очень мало (ьсс = -;), а амплитуды соседних гармоник близки по величине. Это наглядно видно из ф-лы (2.3.4), которую в данном случае удобно записать в несколько видоизмененном виде Л„= "- и!и (нп —,;). (2.3.4') Вниду ничтожной величины отношения —,, аргумент синуса с Т ростом я изменяется медленно. При низких порядках и приближенно можно считать Существенно, что постоянная составляющая ряда А =Е--- и= т во много раз меньше амплитуды импульса Е. Это свойство ел ности с большой скважностыо опреде- ойс последователь импульсн " режима работы импчльсных систем, котояд особенностей Реж ут Рассмотрены яет Рнд рые Уд, в дальнейшем.
е(с) 2 3,5. !7оследователь- ость пилообразных импульсов (рис. 2.9). Подобные функции часто т у т т встреча ечаются на практике г г в устройствах для разки изображения в Рис. 2.9 осциллографах. Так как эта функция является нечетной, Ряд Фурье для нее содержит только сипусоидальные С мощью ф-л (2.5) — (2.7) нетрудно определить коэффициенты ряда у яда Фурье. Опуская эти выкладки, напишем окончат ное выражение для Ряда: 1 е(с) = 2Е(зш Яс с — — ейп2 1)с с+ 2 — ейп 3 2)с с — — гйп 4 Рс с+ ° ° ) (2.3.16) 3 1 Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону —, где в=!, 2, 3...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
