Гоноровский И.С. Основы радиотехники (2-е издание, 1957) (1095421), страница 9
Текст из файла (страница 9)
На рис. 2.10 показан график суммы первых пяти гармоник. 2 3 6 Последовательность треугольных импульсое (рис. 2.11). яд Фурье имеет для данной функции следующий вид: е(с) = Е~ — — — ~соз ьссс+ —, сов 3-сс + 1 + 5" с ' )1 Рис 2.11 Рас. 2.12 ю'(1) =у ю'(1) ат„ о (2.16) (2.2 1) 40 Сумма первых трех членов этого ряда изображена на рис. 2,12 Отметим оолее быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в пр ' Ре. дыдущих примерах.
Это объясняется отсутствием разрывов (скал ков) в функции. й 2.4. Распределение мощности в спектре периодического сигнала Пусть электрический ток Ь(г) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом Т. Средняя за этот период мощность, выделяемая током в активном сопротивлении, пропорциональна среднему квадрату тока, который может быть определен выражением где черта над функцией обозначает операцию усреднения по времеви. Как известно, зта мощность равна сумме средних мощнос-' тей, выделяемых в сопроТивлении отдельными гармониками тока мотрим сперва два периодических тока Ь овым периодом 7', и разложим их в ряды ительно, расом ла д;пощчх одинаковы.
фтрье: ~ив~" .ач 1 '~" (а„созийтс+Ь„з(пи(121), ~ 1 а 0~ ~ а( Т (а' соз и21~1+Ь' з(пи(1д 1). (2.17) П и вычислении ии средне~о значения произведения ~ ~ нужно о слагаемые, образуемые перемножением двух сом или двух членов с синусом одной и той же читывать' только с ~ снов с косинусом к среднее значение произведения двух гармони- частоты, так как ср ий с несовпадающими частотами равно нулю ческнх функции с Можно поэтому написать т ОР 4 + 2 Х (а„а.'+ Ь„Ь„').. (2 1я) О ~иная токи ( и ~' на основании (2.18) и (2.7) получаем СО + 2 х„(а,+Ьз) =1 + — ~' Г„, (2 19) 4 1 и ! ав где Х„ — амплитуда и-й гармоники тока, 7„ = ††постоя 2 слагающая.
При использовании комплексного ряда Фурье этот результат, в соответствии с ф-лой (2,10), может быть представлен в форме 1(г)= — ~ Е„Х и= — ~ 1а=Х;+ — ~„7; (220) -бо и ьэ 7аким образом, полная мощность, выделяемая в сопротивле""" г (среднее значение), Существенно, что эта мощность не зависит от фазировкн отьных гаРмоник. Это означаег, что изменение формы сигнала, й 2.5. Непериодические сигналы 11(г),~ Ыб — Г(г) е ' й. т1 ч (2. 221 Рис. 'лз получающееся при нарушении фазовых соотношений виу спектра, не связано с изменением средней мощности сигнала.
тр~ По виду функции, представляющей собой огибающую вели ~а„ 1„", можно судить о распределении мощности в спектре перно оди. ческого сигнала Это позволяет выбирать полосу пропускан анин цепи, обеспечивающую достаточно полное использование мощнос оста сигнала. Подробнее этот вопрос рассматривается в й 2.10. Пусть задан сигнал в виде функции времени, удовлетворя. ющей условиям Дирихле (см. з 2.2) во всяком конечном интер. вале и, кроме того, абсолютно интегрируемой.
Последнее условие означает, что интеграл где ',Г(г)( — абсолютное значение функции Г(г), долженсходиться. Смысл этого добавочного требования к функции Г(г) выяснится ниже (см. з 9.2). Для удобства рассуждений примем пока, что сигнал Г(г) дей- ствует в конечном интервале Ч < г < г,. Из дальнейшего будет видно, что при выполнении упомянутого выше условия абсолют- ной интегрнруемости функции У(г), это допущение не ограничи-: вает общности рассмотрения. Для проведения гармонического анализа непериодическои ', функции поступим следующим образом. Превратим нашу функ- цию в периодическую путем повторения се с произвольным пе- риодом Т> г.
— г,. Тогда для этой новой функции применимо разложение в ряд Фурье, причем входящие в выражение (2.2) коэффициенты — ', а„и Ь„, в соответствии с ф-лами (2.4) — (2.6), ' будут тем меньше, чем больше интервал Т, выбранный в качестве ' периода. Устремляя Т к бесконечности, в пределе получим бе- сконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную н е п е р и о д и ч е с к у ю функцию Г(г), заданную в интервале г <г<г (рис. 2.13), га монических нх со-тавляющих, входящих в Ряд ФУРье, Число Р б чно оольшим, так как при Т вЂ” с основ„ а этом бесконечн буд~~ при ,„ д ~' б.
Иными словами, расстояние я частота Функции " г т пект альными , и линиями (рис. 2.2), равное основной часто. б конечно малым и спектр становится становится ес те сплошш ™ что при гармоническом анализе непериоди. лучается сплошной спектр, состоящий из Отсюда следует, что функции пол ' го числа гармоник с бесконечно малымп бесконечно ольшо амплитудами. в(атематнчески э то можно выразить следующим образо ~ Подставив ф-лы (2.5) и (2.6) в ф-лу (2.9), получаем п льзуемся комплексной Формой Ряда Урье (см. ф-лу (2.3)) и подставим вместо 4„выражение (2.22) Г(г)= Е т( Г(г)е ' 1г е" ' = И = — ОЭ Здесь учтено, что Т=— 2ч и Если теперь устремить Т к бесконечности, то в пределе получим исходную непериодическую функцию Г(г), заданную в интервале к,<г< м При Т вЂ” ~ о частота Ы превращается в Щ и Я, — в текущую апготу (1, а операция суммирования — в операцию интегрироваТакии образом, получаем двойной интеграл Фурье э со 'и',(о у(х) в '"'д., (2'24) соотв етствукяпеи жение Р٠— у() (2,26) (2.28) Р(~') = с (с) е,сс (2 26) —, Т Р((з ) =' — 4 ~ = " '1»' (2.29) 1 - Р ((2) С(2 2я Р(9)=т 4 == .4 (2.29') А = уг „( с (с) е ' " 'с(с.
Внутренний интеграл, являющийся функцией ь), обозначим ь Р(ьс) называется спектральной плотностью ялн с пект. ральной характеристикой функции 7(с). В общем виде, когда не уточнены пределы с, и с,, спектраль. ную плотность представляют выражением а после подстановки (2.26) в выражение (2.24) получаем 2 / Р((2)е (2.27) -ОЭ 'Ф Пара выражений (2.26) — (2.27) называется прямым и обратным преобразованиями Фурье. Выражение (2.27) представляет непериодическую функцисо Дс) в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами.
Из сравнения выражения (2.27) с рядом Фурье (2.3.) видно, что амплитуды этих составляющих равны Сравнение (2.26) с выражением (2.11) для комплексной амплитуды соответствующей гармоники периодической фушсции позволяет в наглядной форме поясцнть смысл спектральной плотности Р (Я). Именно, выделив какую-либо дискретную частоту (с„= ссг1,, соответствующую в случае периодическоя функции С(с) я-й гармонике, получим для амплитуды этой гармоники выражение В случае же непериодической функции, совпадающей с 7(с в интервале с, < с < с,, получим для спектральной плотности астоте ь) '= (с, следующее выратой же частоте Отсюда видно, что А„ 2Р((з„) =т .4„= — ".
1 , 2Р(г1„) получается путем деления амплитуды Таким образом, иа полосу частот Р,, отделяющую соседние „-й гармоники иа п . < етного спсктра (рис. 2.2), т. е. Р(ьс) имеет смысл линии дискретного спс амплитуда плотности сти амплитуд н размерность ~ Из выражения (2.28) вытекает также следующее важное по. б ю ая сплошного спектра (модуль спект- лаженне: оги аюш нк ии и оги- альной плотности) непериодической функции и о йчатого спектра периодической нкции (полученной из непериодической путем продолжения только масштабом.
Итак, Отметим, что для нулевой частоты (постоянной составляюсцей) в соответствии с определением (2.4) можно написать Спектральная плотность Р(ьс) обладает ..всеми основными свойствами комплексной амплитуды 4, По аналогии с выражением (2.9) можно написать следуюнсее соотношение Р(ьс) = 4((с) — 1В((1) =Р(Я) е й, (2.30) 4(ы) и В(Я) ' — соответственно действительная (вешествен") " мнимая части спектральной плотности, а Р((2) и ф (ьс)— ам"литудная и фазовая характеристики спектральной плотности, Непосредственно из ф-лы (2.26) вытекают следующие выраж ння для А(11) и В(11), аналогичные ф-лам (2.5) и (2.6): А (11) = У(с) соз 12 с асс, (2.3 .31) В(.) = У(с) э(я~с„с (2.32) Очевидно так же, что модуль и фаза спектральной плотности определяюсся выражениями; Е (11) = (С[А (11))с + [В Я))с, ф(сс) =агссй 1- (2.3ч) Как н в случае ряда Фурье (си.
3' 2.2), модуль спектральной плотности есть функция четная, а фаза — нес~дтная относя. тельно частоты 1с'. На основании ф-лы (2.30) нетрудно привести интегральное преобразование (2,27) к тригонометрической форме. Имеем У()=-,'-.— Е(11) '"' ~) Н)= +с с 1. сч Е(ьс) соз (1сс — ф) 1 о 1; 1 — с — сэ Из упомянутых выше свойств модуля и фазы следует, чтп подннтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором интеграле нечетной относительно Ы.
Следовательно, второй интеграл равен нулю, и окончательно /'(с) = — — ~ Е(О) сов(1сс — ф) Ы= 11 Обычно этот пер~~од ц' б асти озршга значении все промежуточные выкладки при конце анализа; вс н . . ° ф ° удобнее и проще производить на н интеграла Урье Уд П11ЕНЕННН Н ' ые и еобразования (2.26) — (2.27) очень удобны непериодических сигналов через исследован Р 1ия п охождеиия н сепи. По аналогии с выр ажениями (2.14) — (2.15) можно линейные цепи. дные соотношения для сигнала е(с) на еле ующие очевиднь ) ходе линейного четырехполюсннка; входе и с игнала и(с) на выход -1 СЧ (' — 11 С ,() =,'- у Е(Ме (2,36) 1 Ег((1) К (1 11) е с111 = (2.37) (7 ((с) е с111, 2сс где Е(Я) =Е(ьс) е ~ — спектральная плотность напряженна на входе, а (с ((с) =Е((с) К(1ьс) =-Е(12) ~К(111) , 'е ф э~ — на выходе четырехполюсника, коэффициент передачи которого есть К(111) =- = 1К (1 11); е' ~. Прикладное значение интегральных преобразований (2.26) н (2.27), позволяющих осуществить гармонический анализ непериодических сигналов еще более велико, чем значение рядов Фурье, так как непериодические сигналы встречаются в практике чаше, чем периодические.
Большим облегчением при использовании интеграла Фурье ~~~яется возможность получения. выражения для выходного сигв замкнутой форме, а не в. виде медленно сходящегося Ряда, как это имев~ место, например, в--случае периодической п"следовательности прямоугольных импульсов (см, 6 2,3). Подробно этот вопрос буде, разобран в гл. 9 при изучении воздесствия сигналов на линейные системы. --у Е(11) соз(ос — ф) с1г1 1 С (2.35) ь Как видим, при переходе от комплексной формы (2.27) к 1рйгонометрическои (2.35) отпадает необходимость интегрирования й 2.6 Некоторые свойства преобразования Фурье Из Рассмотрения прямого н обратного преобрззованнй Фурье (226) и (2 27) можно сделать некоторые общие заключения о хаРактере Е(Я) при заданной функции у'(с) н, наоборот, о функции У(с) — при заданной функции Е(()).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
