Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. является инвариантом. т. е. плотность заряда увеличивается при переходе от системы, где заряд непод- вижен, к системе, где заряд движется. Количество же заряда дг1 в определенном заданном объеме бр одинаково для обеих систем. Действительно, так как со- гласно (П.55) 1. Основные характеристики и уравнения поля и среды 44 1.13. Волновые уравнения для движущихся сред Перепишем уравнения для электромагнитных потенциалов (1.28) и (1.29) дляслучая 1а, =Р„а, =а, положив )=ру 1 дА АА — — — = — Нару, с' дг' 1 дакар А<р - — — = — —.
с' й' аа (1.50) Левую часть полученных уравнений можно представить как П'А и П'у, где оператор 1 д' д' д' а л 2 2 А+ А+ с дс д(/сг) Ъа — оператор Даламбера, аналогичный оператору Лапласа в трехмерном пространстве. Из четырех одинаково построенных уравнений (1.50) три уже слиты в одно векторное уравнение. Поэтому естественно предположить, что в четырехмерном обобщении у будет играть роль временной составляющей, которую нужно присоединить к пространственным составляющим А, и записать уравнения (1.50) в виде ра 7.
Переписывая калибровочное уравнение (1.27) в четырехмерной форме (1.5 1) д/'— Ч д(уА+ с дх4 дА д/— у А+ с (1 12з) дх~ дх4 и сопоставляя его с (1.51) и (1.50), видим, что Ф представляет собой 4-вектор- потенциал, пространственные составляющие которого А, (/ = 1, 2, 3), временная составляющая Ф„= /— ,ф с Ф = А„А2,Ам / —, (1.52) а 1 — 4-вектор плотности тока, составляющие которого '1 (Ри|» Риз~ Риз~ /сР)1 что совпадает с (1.47), 1.14. Тензоры электромагнитного поля 1.14. Тензоры электромагнитного поля Согласно (1.1) дА, дА, д4з Е, = — ' — ягад,<р=- — ' — — (з=1,2,3) д~ ' дг дх, и в четырехмерной записи составляющие электрической напряженности Е в со- ответствии с (1.52) имеют вид: (1.53) Согласно (1.2) В = го1А, и в четырехмерной записи составляющие В в соответствии с (1.52) имеют вид: д' 3 Вз = —— дхз дч'з дх, ' д' з дх~ дФ, дхз дФ, В = —— 2 (1.54) дд' з Вз дх, Единый принцип построения уравнений (1.53) и (1.54) говорит о том, что со- ставляющие векторов Е и В можно объединить четырехмерным образованием.
Для этого введем в рассмотрение 4-ротор дФл дФ, Ког, Ф= — — — ', дх, дх„ являющийся антисимметричным (П.65) 4-тензором второго ранга, так как Ко1 Ф=О, Ко1аФ= — Ко1вФ. Умножим (1.53) на -1', а (1.54) на с, тогда компоненты тензора Га =(сВ, -1Е) = сКо1а Ф, где (сВ, — 1Е) указывают на объединение двух трехмерных векторов в одну че- тырехмерную величину — тензор напряженности у. Основные характеристики и уравнения ноля и среды 46 -сВ, сВ, 0 0 сВ, — сВз 0 сВ, -сВ, /Ег /Ег %.) = (1.55) уЕз Векторы Н и Р возможно связать тензором, объединяющим Н н усР одинаковой размерности, и называемого тензором индукции 1 /я = (Н, — АР) = — Козе Ф, з»о Нз — Нг †.Ф)г 0 Н, — усйг — Н, 0 — усууз усйг усРз 0 (/е) = (1.56) Таким образом, в четырехмерном пространстве поле не может быть описано с помощью двух векторов Е и В, а должно описываться одним антнсимметричным 4-тензором второго ранга.
Отсюда видно, что Е и В не являются независимыми величинами. Пусть система К неподвижна, а К' движется относительно этой системы со скоростью и. На основе преобразований Лоренца тензор напряженности в системе К' будет иметь вид Г„' =аеа» гм, где у и/с у:.зу'з 0 1 0 0 0 0 1 0 [аеу= —,/и/с Так как тензор (г"е) антисимметричный, то Рп =сзг =Рзз =Ем =0 Рн =Ргг =Рзз =Ем =0 Действительно, Ю сн = аиа,„Р, = апа, 7,„+ амаг г» = апагЯ4 + анап Рц -— О, Нз Нг усР, — у'Е, — уЕг /Ез 0 1, Основные характеристики и уравнения поля и среды 48 — ~'Е1' — 7Е' — 7Е' Π— сВ' 2 сВ,' О сВ,' О -сВЗ сВ2 7Е1' (Ре) = (1.57а) — сВ' 1 Ф2 7Е3 Сравнив (1.57а) с (1.57), получим Е,' =Е„Е', = 1 — и'/с Е, +иВ, 1~:Р7е и В2+ — Е, 2 2 3 в,'=в„в' = 1 — и /с и  — — Е 3 2 2 В' — с ,ГРй' В случае произвольного направления движения систем координат Е, +1нВ,1 Е~~ = Ер Е', = 1-и /с 1 Вх — — (иЕ, ) В'=В, В' = 1 — и /с (1.58) где в индексах значком ~~ и 1 обозначены параллельные и перпендикулярные направления к вектору и.
Полученные выражения (1.58) показывают, что составляющие векторов Е и В, параллельные направлению движения, при измерении в обоих системах (рис. 1.6, б) одинаковы, а составляющие, перпендикулярные направлению движения, различаются. При этом, если в неподвижной системе К существует только поле Е или В, то в движущейся системе К', направление движения которой совпадает с направлением Е или В„поле определится соответственно вектором Е' = Е или В' = В. Если направление Е и В не совпадает с направлением движения системы К', то при наличии в системе К только электрического или только магнитного поля в движущейся системе будет и то и другое поля. Уравнения (1.58) еше раз подчеркивают тот факт, что электрическое и магнитное поля не могут существовать раздельно.
Эти уравнения имеют большое значение при решении конкретных задач о движении зарядов в электромагнитных полях. Подбирая систему координат, можно исключить электрическое или магнитное поле, вследствие чего решение задачи упрощается. 1. 15.
Тензор поляризпиИии 49 1.15. Тензор поляризации Так как векторы В и Е, Н и 0 слиты в один тензор, то разумно предположить, что вектор намагниченности М и вектор поляризации Р также должны сливаться в четырехмерном пространстве в 4-тензор второго ранга. Формулы В Р=Р— воЕ и М= — -Н Иио объединяются соотношением Ма = — — ~;», Г, с)ио т. е. МЗ О вЂ” М 1 — /сРг Аналогично (1.58) компоненты поляризации и намагниченности связаны со- отношениями 1 Р, — — [цМ 1 Р|'=Р„, Р' = 1 — и'/с М, +[иР,) м~'=ми, м,'= 1-и /с (1.59) Из выражений (1.59) следует, что измерения, проводимые в системе К и К', дают различные значения векторов поляризации и намагниченности. Разумеется, здесь речь идет не об изменении структуры вещества движущихся сред, а об относительности электромагнитных параметров, характеризующих среды.
1.16. Уравнения для с<медленно» движущихся сред Для случая «медленно» движущихся сред, т. е. при и/с«1 выражения (1.58) и (1.59) имеют вид Е' = Е+ [пВ), В' =  — — [вЕ], 1 (1.60) Мз М вЂ” /сР, М2 /СРи М, /сР, О исР, — и'сР, О 1. Основные характеристики и уравнения поля и среды 50 Р' = Р— — [пМ], 1 С2 М'= М+ [пР]. (1.61) Согласно второму уравнению (1.61) покоящаяся в системе К диэлектрическая среда, поляризованная под действием внешнего электрического поля ЕаО, РеО, М=О, В=О, в системе К', относительно которой среда движется, будет обладать магнитными свойствами М' = [пР] и согласно второму уравнению (1.60) появится магнитное поле 1 В' = — [пЕ].
с2 В проводящей намагниченной среде, покоящейся в системе К, ВаО, М еО, Р= О, Е=О. В системе К' согласно первому уравнению (1.61) среда будет обладать и свойствами диэлектрика Р' = — — [вМ] 1 с н в ней появится электрическое поле Е', определяемое согласно первому уравнению (1.60) выражением Е' = [пВ]. 1.17. Уравнения Максвелла для движущихся сред Уравнения Максвелла в четырехмерной форме записываются через 4-тензоры второго ранга (1е) и (Гь), определяемые выражениями (1.55) и (1.56), и имеют вид Ф» а дхь (1.62) Таким образом, энергия электромагнитного поля возрастает при движении проводника или диэлектрика во внешнем магнитном или электрическом полях (при соответствующем направлении внешнего поля н направлении движения).
Механическая энергия движения переходит в электромагнитную энергию поля. На этом принципе основаны генераторы электромагнитной энергии, в частности плазменные генераторы, вырабатывающие большую энергию за счет большой скорости движения подмагниченной плазмы. 1.17. Уравнения Максвелла для движущихся сред 51 дР„дР~ дР, — "+ — з+ — '=О. дх дх, дхз (1.63) при 1 = 4 эквивалентна уравнению Максвелла (111) йчР = р. Действительно, дНз дН, дР, 3 2 1+1 дхз дхз дг ан, ан, аР, + = +Сз дх, дх, дг дН, дН, дР, з+1 дх, дхз дС прис=1 при! = 2 прис=3 аВ го1Н = Л+ —, дс дР, дР, дР, — + — + — = 1з дх, дх, дх, при с=4 нли Йч9=р.
Вторая система (1.63) содержит четыре уравнения и при 1, 1с, и, соответствуюсцим тройкам чисел (2, 3, 4), (3, 4, 1), (4, 1, 2) эквивалентна дВ го1Е=-— дС уравнениюМаксвелла (П), при с = 1, /с = 2, и = 3 эквивалентна с11ч В = О уравнению Максвелла (ГЧ). Вопросы 1. Какие физические величины характеризуют электромагнитное поле? 2. Какие параметры характеризуют среды, в которых происходят электрические и связанные с ними магнитные явления? 3.
Объясните механизм поляризации среды и как определяется вектор поляризации? Первая система (1.62) содержит четыре уравнения и при с = 1, 2, 3 эквивалентна уравнению Максвелла (1) Ю гогН= Л+ —, дС Глава 2 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ИСТОЧНИКА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ 2.1. Основные уравнения Уравнения Максвелла в символической форме.
Если электромагнитное поле возбуждается монохроматическим источником ,1 =,1" сов(ат+ р,), то поле у источника также имеет монохроматический характер: Е = Е сов(вг+ ~рл ), (2.1) Н=Н сов(сот+срл). (2.2) В общем случае поляризация диэлектрика зависит от напряженности электрического поля Р=Р(Е) и для изотропной среды может быть представлена в виде Р=Р'+Р™, (2.3) где = воХ,Е Р"" =ее(ХнЕ +у, Е +Х, Е4+...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
