Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Отсюда Ею) —— Е,(,), т. е. на поверхности раздела двух сред тангенциальная составляющая напряженности электрического поля непрерывна. Это условие можно записать в векторной форме (» (Кп) -К( )))=(), где пв — орт нормали к поверхности раздела. Аналогично из первого интегрального уравнения Максвелла (Г) 1на =1(х ° — ) д( получим граничные условия для тангенциапьных составляющих магнитного поля. Произведя интегрирование по контуру (см. рис. 1.3) и переходя к пределу при ЬЬ -+ О, получим Н,(„Ы-Н„))Ы=А1 11 ЛЬ, так как здесь интегралы, взятые по сторонам ЛЬ, и поток Р через площадь Л(оЬ равны нулю; 11п),УЛЬ представляет ток, текущий в бесконечно тонкой пленке, т.
е. вь-+О 1пп ЛЬ =,У ль-~0 Таким образом, 7~т(!) От(2) '~пав~ т. е. тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля изменяется при переходе через границу раздела, если поверхностный ток не равен нулю. В противном случае Н1()) ))~т(2) ~ т. е. тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля на поверхности раздела при отсутствии поверхностного тока непрерывна.
В общем случае это выражение в векторной форме имеет вид (по(ЛИ) -%)И= )... 24 Е,<» — - Е,„г Так как Л = <гЕ, Рис. 1.4. К граничным условиям для нормальных составляющих векторов В и 0 .1,«1 <г, У ,1,<г> пг т. е. тангенциальные составляющие плотности тока на границе раздела терпят разрыв. Граничные условия для нормальных составляющих определим, вычисляя поток вектора через поверхность, расположенную в первой и второй средах н стягивающуюся к поверхности раздела. Согласно четвертого интегрального уравнения (1У') ~Вбб =О. Применим это уравнение к цилиндру, представленному на рис.
1.4. Считая магнитное поле на верхнем и нижнем основании вследствие малости цилиндра постоянным, а поток через боковую поверхность при 1й -+ О равным нулю, с учетом направления нормали к поверхности, получим В„<»<1Š— В„<„ЛЕ = О. Отсюда Вия = 4ю<г)~ т. е. нормальная составляющая вектора магнитной индукции на поверхности раздела непрерывна.
В векторной форме это выражение имеет вид (пг(В<» — В <г> )) = О. Таким же образом, применяя интегральное уравнение (ПГ) получим 0~<<> В~<г> — 1лп Рк)г гг вь-+О т.е. нормальная составляющая вектора электрической индукции изменяется скачком, если на поверхности имеются свободные заряды. В векторной форме последнее выражение имеет вид (по(Вщ — Вр»)) = ж Условие для нормальных составляющих вектора плотности тока проводимости определим из уравнения непрерывности для полного тока Первая среда е,р,а егвег ргвн аггкгг Вто<гвя среда ег <гг аг 1.
Основные характеристики и уравнения ноля и среди Граничные условия для тангенциальных составляющих плотности тока проводимости получим из условия для тангенциальных составляющих напряженности электрического поля У. 7. Граничные условия 25 (пч,Т+ — = О 1(р ° вЂ” )рл -о. Аналогично определению граничных условий для нормальных составляющих В и Р, нормальные составляющие плотности тока проводимости дУ)„„) дУ)„„) 'Ур(1) + 'Ул(2) + дг дг или д дх 1 (2) 'У (1) + () (1) О (2)) 'У (1) + т.
е. нормальные составляющие плотности тока проводимости на границе раздела терпят разрыв. В векторной форме это условие имеет вид дх (пв(Х(2) — Л(1) )) = —. дг Сведем полученные результаты в таблицу. УКл1 Здесь х ~ — ~ — поверхностная плотность заряда, т. е. плотность заряда, не заннмающего объема, а сосредоточенного в геометрической поверхности (бесконечно тонкой пленке);,У , (А/м) — поверхностная плотность тока, т. е. плотность тока, текущего по поверхности н не занимающей объем.
В частном случае, когда второй средой является идеальный проводник, поле в котором всегда равно нулю, граничные условия принимают вид Е,=О, Н,=,У, Е„= —, Н„=О, ар 2б 1. Основные характеристики и уравнения поля и среды или в векторной форме (поН) = Л „(поЕ] = О, (поН) = О, (поЕ) = е, В соответствии с этими условиями электрические силовые линии подходят к поверхности идеального проводника по направлению нормали, а магнитные силовые линии — по касательной. 1.8. Теорема Умова — Пойнтинга В электромагнитном поле происходит перенос энергии от источников к потребителю. Характер движения энергии определяется теоремой Умова — Пойнтинга. Умножнм первое уравнение Максвелла (1) скалярно на Е, а второе уравнение (11) — на Н и, вычтя нз первого уравнения второе, получим дВ дВ Его1Н вЂ” НгогЕ = Š— + Н вЂ”.
дг д! Преобразуя левую часть этого уравнения по формуле (П.!5) йч(АВ) =ВгогА-Аго1В, а правую часть с учетом уравнений состояния среды (! .7) В = воЕ+ Р В = цо(Н+ М) получим йи]ЕН]+ о о + Š— + роН вЂ” + ЛЕ = 0 (1 11) двЕ +цН дР дМ дг 2 дг дг Это теорема Умова — Пойнтннга, представляющая закон сохранения энергии электромагнитного поля, в дифференциальной форме. Интегрируя (1.11) по произвольному объему и применяя теорему Остроградского — Гаусса к интегралу от дивергенции, получим теорему Умова— Пойнтинга в интегральной форме ~(ЕН]ЙБ + / о о ОК+ ~Е 01~+ ~)хоН ОР'+ ~ЛЕВ)~=0 (112) дг 2 д~ , ' дг Здесь 1ЕН) = П вЂ” вектор Пойнтинга, представляющий плотность потока мощности (Вт!м ) (направление этого вектора совпадает с направлением движения энергии); ] П ОБ — мощность, входящая (если ] П ОБ < 0) нли излучаемая . (если ] ПОБ > 0) через поверхность Я.
В частных случаях это выражение пред- 1.д. Теорема Умова — Пойптипга 27 Рлрвв = ЛЕ (1.13 а) Плотности мощности, обусловленные процессами поляризации и намагничивания среды, определяются выражениями дР р =Š—, дв дМ Р =НОН дг (1.13б) (1.13 в) В нелинейной среде в случае монохроматического источника Е=~~) Е (пв)соз1пв1 — Ор (па)], Н=ЯН (па)соз(пар-рл(пв)], л О Р=,'ГР (пв)соз(пвг-срр(пв)], л О М = Я М„(пв) соз(пвг — р, (па)]„ л О л Л = в Л (пв)соз1пвà — р (пв)], -О согласно (1.13а), (1.13б), (1.13в) плотности мощности имеют вид ставляет либо мощность, излучаемую антенной или световым прожектором, либо мощность, отводимую из данного объема проводами или волноводами, перед рвОЕ + рОН секающими поверхность, ограничивающую этот объем; — ] О О О(У— дг„2 дР изменение энергии в единицу времени в объеме К в вакууме; ]Š— бУ вЂ” издв менение энергии в единицу времени в объеме У в среде из-за поляризации; дМ 1цОН вЂ” О)У вЂ” изменение энергии в единицу времени в объеме Г в среде из-за дг намагниченности; ] ЛЕ ЙК вЂ” изменение энергии в единицу времени в объеме У и в среде из-за проводимости.
Плотность мощности, обусловленная взаимодействием поля с проводящей средой, равна 28 1. Основные характеристики и уравнения поля и среды Р„, = ~~> Л„(дв)Е„(гв) соз1двг — фз (дв)) соя(гве — фе(гв)3, (1.14а) о,.-о Ю Р„= — ЯгвЕ„(гв)Р (гв)соз1двà — фе(дв)1Я)п(гвà — фр(гв)3 (1,14б) о о Р„= — Ро ЯгвН (дв)М (гв)соз1ды — фн(дв)1з1п1гвà — фи(гв)]. (1.14в) ц, =о В выражениях (1.14а), (1.14б) и (1.14в) с учетом волнового характера процессов фе(пи) = к(пв)Г+ фе, фн(пв) = к(пв)г+ фн, фр(пв) = кр(пв)г+ фр, фи(поз) = Ка(пв)г+ фи, ф,(пв)=й (пв)г+ф, где н(пв), кр(пв), К~(пв) и Фар(пв) — постоянные распространения гармоник поля, поляризации, намагниченности и тока соответственно.
Слагаемые, стоящие под знаком суммы в выражениях (1.14а), (1.146) и (1.14в) для мгновенных плотностей мощности, определяют обмен энергией между любыми гармониками поля и тока, поля и поляризации, поля и намагниченности. Если эти слагаемые положительны, то энергия от поля переходит в среду, если отрицательны — то от среды к полю. В каждой точке пространства этот процесс в зависимости от времени направлен в одну илн другую сторону. В фиксированный момент времени в одних точках пространства процесс может быть направлен в одну сторону, в других — в другую. Средние плотности мощности, связанные с проводимостью, поляризацией и намагничиванием среды, определяются соответственно выражениями: т р,„, = — )ЗЕа, т 1Г др ро = — ~Š— й, Т" дг о т 1Г дМ р = — 1цН вЂ” дб омам Т 1 о о где Т вЂ” время усреднения, много больше периода колебаний (Т» 2к/в ). При усреднении следует учитывать, что отличны от нуля будут лишь слагаемые, не зависящие от времени, т.
е. соответствующие д — г = О, и согласно (П.71) и (П.72) получим .].8. Теорема Умова — Пойнтинга 29 О ро„о„= — ~ Л„(па)Е„(пв) »»зорге(пв) = 2 .о ] О 1 Р =-,Г,КеЛ(па)Е*(пв) = —,> КеЛ (пв)Е(пв), 2„о 2 »-о (1.15 а) О р,„=- — ~~,паЕ (пв)Р„(па)в1п~ргр(пв) = и о О О = ~ — 1шЕ(па)Р (пв) = —,Г,— ]тЕ (пв)Р(па), .-о 2 .=о 2 (1.15б) ф р,„= — — по ~пвН„(па)М (пв)з]псрнм(па) = -о " па * " па = р,~] — 1тН(пв)М*(па) =-]зо,> — ]тй(па)М(па), '„„ 2 .=о 2 (1.15в) ~>,е(пв) = орг(па) — ~рв(пв), орг„(пв) = фа(пв)-~~в(пв), фнм(па) = = рн(пв) — щм(пв) — сдвиг по фазе во времени между Х(па) и Е(па), Е(пв) и Р(па), Н(пв) и М(па) соответственно.
и Я При — — «рж(пв)< — слагаемые выражения (1.15а) больше нуля и 2 2 и Зк определяют мощность, поглощаемую средой; при — < ~р (па) < — среда отда- 2 2 ет энергию полю. При к <дар „(пв) < 2к слагаемые выражений (1.156) н (1.15в) больше составляющие слагаемые меньше нуля и определяют мощность, отдаваемую средой распространяющемуся полю. Эффективный обмен энергией возможен лишь между одинаковыми гармониками поля и поляризации нли намагниченности.
Максимум энергии передается при сдвиге по фазе 1 к/2. Полагая для простоты среду линейной (принципиального значения это предположение не имеет), перепишем выражение (1.12) с учетом Л = п(Е+ Е ) в следующем виде: 2 ~(ЕН)бй, д ~~.Е + Н,РТ бУ, ~~ бУ ~]Е бУ О нуля и определяют мощность, отдаваемую полем среде н расходуемую на увеличение поляризации и намагниченности среды; при О < у „ (па) < к 30 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
