Кугушев А.М., Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники. Электродинамика и распространение радиоволн (2001) (1092091), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Используя введснный в 8 !.9 вектор Герца, перепишем выражения (1.34) в комплексной форме Е = а'е,"р,"Х+ 8гадйч Х, Н = 7ав," го! Х. (2.15) Волновое уравнение (1.33) для вектора Герца в комплексной форме имеет вид ЕХ+я Х=- —,р, г 1.„, ва (2.16) где р- = ~Л" ж. Решение уравнения (2.16) имеет следующий вид: 4яе", 3 г г (2.17) Е1п1 = Еигг Юпп) — ))мп =и, Нн1) Ни2) ')пав~ 4г(2) мп' Эти условия выполняются в любой момент времени, поэтому они должны выполняться для любой из гармоник и составляющих комбинационных частот.
Для гармоник эти условия имеют вид Еил(па) = Еип(па), Нил(ла) — Ни (па) =.У„„(на) (2.18) 23„„,(па) — 2)мп(на) = х(ла), В„<„(па) = В„„,(па). Для комбинационных частот граничные условия имеют аналогичный вид. Граничные условия.
При решении полученных уравнений должны учитываться граничные условия. В общем случае граничные условия для тангенциальных и нормальных составляющих поля имеют внд 62 2. Поле манахраматическога источника в неограниченной среде 2,2. Энергетические соотношении и теорема Умова — Пойнтинга в комплексном виде Энергетические соотношения. Действующие значении. Запишем, согласно выражению (П.68), мгновенную плотность энергии монохроматического поля н = — (а,Е'+1х,Н') = — (е,(Е+Е )'+р,(Н+Й)'], мгновенную плотность мощности р = (ЛЕ) = — (Л + Л )(Е + Е ), 4 мгновенное значение вектора Пойнтинга П= [ЕН]= — ((Е+Е )(Н+Й)].
4 Под мгновенным значением понимается значение в данный момент времени 6 Согласно (П.69) среднее значение плотности энергии сзв = (ааЕч + 1хаНч)~ 4 (2.19) среднее значение плотности мощности р, = — Ке(Л Е )= — Ке(Л Е„)=Кер, 1 ° 1 (2.20) 1 где р = — (Л„Е„, ) — комплексная плотность мощности; среднее значение вектора Пойнтинга 1 П, = — Ке(Е Н ] = Ке П, (2.21) 7 пЕ~чТ=пЕ~Т = ']аЕ о'а в 1 ° 1 где П = — (Е„Н ]= — 1Е Н ] — комплексный вектор Умова — Пойнтинга. По аналогии с теорией линейных целей введем действующие нли эффективные значения напряженностей поля и плотности тока.
Действующши или эффективным значением напряженности переменного поля Е, называется значение постоянного поля Ет действие которого эквивалентно переменному, т. е. за одно и то же время, равное целому числу периодов, в среде выделяется та же энергия. Согласно данному определению 2.2. Энергетические соотношения и теорема Умова — Пойнтинга 63 Отсюда действующее значение напряженности электрического поля т Е, = — ~Е' а.
о В случае монохроматического поля Е = Е„соз(си+ <рг) Е Е„= —. /2 Аналогично определяется действующее значение напряженности магнитного поля и плотности тока г — ~Н' йг, Т г — ~.Т' а Т В случае монохроматического поля Н,Т Н = —,.7 /2 Г2 Соответствующие комплексные действующие значения Е,= — = — е Г2 Г2 Н ~~а Н вЂ” — е 9Н Г2 Г2 .) = — = — е 2т ж ч'2 Г2 Отсюда средние значения (2.19) — (2.21) можно представить в следующем виде: 1(е Ез+ „Нз) 2 р, = Ке(Л,Е,) = (Л,Е,) сощ„г, П, =Ее(Е,Н,]=(Е,Н,)сезар „, где ~р — сдвиг по фазе между Л„и Е,; ~р „— сдвиг по фазе между Е, и Н„. б4 2. Поле монохроматического источника в неограниченной среде Обозначим согласно (2.19), (2.20) и (2.21) П = — [Е„Н ] — комплексный вектор 1 езва 2 Пойнтинга; р„, = — 'ń— средняя плотность мощности электрических потерь 2 1~ 1 2 е2 с2 На 2 (таккакдействнтельно р„= — — =-аЕ = — а'Е ) и аналогично р, = — 'Н 2о 2 "' 2 мО 2 и ! — средняя плотность мощности магнитных потерь; и„= — Š— средняя аа 2 У плотность электрическои энергии; 2е„, = — Н вЂ” средняя плотность магнитНа 2 ной энергии; р" = — (Л"'Е„) — комплексная плотность мощности сторонних источников.
Перепишем выражение (2.22) с учетом принятых обозначений йчП+2ро(и~.о-и,е)+(р.о+рм)+р =О, или в интегральной форме ) Пдб +2Ю(Ино И,е)+(Рме+Ре)+Р =О, (2.23) где 1Г„, = )2е„, 01' — среднее значение магнитной энергии в объеме г', И' = ~2е оà — среднее значение электрической энергии в объеме Рме = ) р„, ог' — среднее значение мощности магнитных потерь в объеме Р', г Р „= ~риз оà — среднее значение мощности электрических потерь в объеме Г; г Р = )р ае' — комплексная мощность сторонних источников, распределен- Г ныхвобъеме К Теорема Умова — Пойнтинга в комплексной форме. Квадратичное соотношение, связывающее комплексные амплитуды, аналогичное теореме Умова— Пойнтинга (з 1.8), получим, умножив уравнение, комплексно сопряженное с первым уравнением системы (2.8) на Е, а второе уравнение на Й, и проделав те же преобразования, что при выводе теоремы Умова — Пойнгинга Я 1.8), получим йч[Е Н ]+ ре(Й,Н~ -а,'~Е~)+(Л 'Е )=О.
(2.22) 2.2. Энергетические соотношения и теорема Умова — Пойнтинга 65 Выражение (2.23) представляет собой теорему Умова — Пойнтинга в комплексной форме для монохроматического поля. Приравнивая в (2.23) действительные части, получим Ке ~ П ЙБ + Р,е + Р„в + Ке Р = О, ~П (Б +Р +Р +Р =О. (2.24) Соотношение (2.24) называется теоремой о действительной (активной) мощности и характеризует баланс действительных (активных) мощностей. Если Р, < О, то сторонние источники отдают энерппо полю, если Р, > О— извлекают.
Очевидно, Р, < О соответствует сдвигу фаз между Л и Е, определяемому условием созф < О, т. е. угол у изменяется в пределах к 3 — <ф< — и, 2 2 а Р„> О соответствует условию сов ср > О, т.е. изменению ~р в пределах к и — — <ф<— 2 2 Если Р, < О, то выражение (2.24) перепишется в виде ~ Побв +Ро+Рт =Рв . Действительная (активная) мощность сторонних источников, распределенная в исследуемом объеме У, расходуется на излучение через поверхность Я, ограничивающую этот объем, магнитные и электрические потери (тепло) в нем.
Если Р >О, то 1 По '~~ — Р о + Р~о + Рв ° а зак(165 где Ке ~ П бй = ~ П вбБ согласно (2.21) поток усредненного вектора Пойнтинга или действительная (актнвная) мощность излучения через поверхность Я, ограничивающую исследуемый объем У; Кер =Р„согласно (2.20) — действительная (активная) мощность сторонних источников. Таким образом, бб 2. Поле монохроматического источника в неограниченной среде Приток действительной (активной) мощности через поверхность о, ограничивающую исследуемый объем, расходуется на потери в этом объеме и поглощение мощности сторонними источниками, размещенными в нем Кроме мощности, непрерывно излучаемой через поверхность, и мощности, непрерывно расходуемой в объеме, существует обмен энергией без потерь между сторонними источниками и полем в данном объеме.
Приравнивая в соотношении (2.23) мнимые части, получим 1щ ~ П сБ + 2а()г'„, — 6;,)+ 1ш Р = О (2.25) или 1щ ~ПОЗ +Р, + Р„" =О, в где 1щ ~ П ОБ — значение реактивной мощности излучения через поверхность Я; 1шР„=О, — реактивная мощность источников, распределенная в объеме г', 2го(И'„, — И; ) — реактивная мощность, запасенная в объеме К Соотношение (2.25) называется теоремой о реактивной мощности и характеризует баланс реактивных мощностей. В общем случае среды с потерями отношение (2.26) 188, = 188„ В И р„ ф 3 На аа или (2.27) то отношение (2.28) является действительной величиной, и сдвиг по фазе между электрическим и магнитным полем отсутствует. При этом вектор Пойнтинга направлен в одну сторону. Согласно (2.28) ~ 1щ П ЙБ = Р„= О, а согласно (2.25) и Р„= О, т.
е. обмен энергией между сторонними источниками и полем отсутствует. является комплексной величиной, и напряженности электрического и магнитного полей не совпадают по фазе. Вектор Пойнтинга в разные части периода имеет разные направления. При этом происходит обмен энергией между полем и сторонними источниками. Однако, если 2.2. Энергетические соотношения и теорема Умова — Лойнтинга 67 Условие (2.27) можно удовлетворить, подбирая параметры среды, заполняющей объем У, или так как эти параметры зависят от частоты, подбирая частоту.
Если объем У изолирован и то в общем случае согласно (2.25) (2.29) т. е. происходит обмен энергией между сторонними источниками и полем. Если запасенная энергия постоянна во времени, т. е. дИ' д ~р,)г'+е,Е~ дг дг .) 2 к что возможно, если электрическое и магнитное поля сдвинуты по фазе во времени на к/2 и запасенная в объеме Кэлектрическая и магнитная энергии равны При этом Р, = О, а следовательно, согласно(2.29) и Р„=О, т. е. обмен энергией между полем и источником отсутствует, но происходит обмен энергией между электрическим и магнитным полем. Такой электромагнитный процесс называется электрическим резонансом.
Условия резонанса при данных геометрических размерах изолированного объема и параметрах заполняющей среды могут быть удовлетворены подбором частоты (резонансная частота) или при данной частоте — подбором геометрических размеров объема (резонансный объем). Очевидно, 1пз Р" ~ О, если между Ю" и Е существует сдвиг фаз <р. Такой же сдвиг фаз будет между Е и Н, так как причиной магнитного поля является ток, и Н во времени изменяется так же, как Д . Из рис. 2.1 очевидно, что так как направления векторов Н и Е определяются их зависимостью от времени, то существуют части периода, где вектора Е и Н меняют свое направление одновременно, и части периода, например (гь гз)„в течение которых один из векторов сохраняет свое направление, а другой меняет на обратное, что соответствует изменению направления вектора Пойнтинга.
ЯН х= сопз1 Таким образом, в течение од- и-(ен) ной части периода реактивная Е энергия излучается через поверхность, ограничивающую С г с исследуемый объем, в тече- О иие другой — входит в этот объем. Аналогично не одновре- менное изменение направле- рис„2.1. К движению реактивной мощности 68 2. Поле монохроматического источника е неограниченной среде ния векторов Е и Л приводит к тому, что в течение одной части периода 1шр < О, в течение другой ушр > О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
